有數學素養嗎？
新北市立五峰國民中學
鄧家駿
一、前言
這一年來PISA相關的新聞一直搶得教育新聞的頭版，不論是國際排名的下降，或是特色招生的參考，2012年為PISA三年一輪的評量，其考試的主軸數學素養及閱讀、科學素養等，均使得國內的教學及評量隨PISA的風潮開始有所轉變。筆者有幸參與PISA的國內閱卷及臺灣師範大學數學系辦理的數學素養命題工作坊，其中設計了部分素養評量問題，並且嘗試在教學及評量中使用，所以在此與大家進行相關資訊的解讀與分享。
二、PISA的數學素養評量
PISA (the Programme for
International Student Assessment) 國際學生能力評量計劃，為OECD (Organisation for Economic
Co-operation and Development) 經濟合作暨發展組織自1997年起籌劃、2000年正式運作的一項國際評比，其宗旨是針對十五歲學生，生活知能的學習成效提供跨國際的比較，以及各國教育效能的分析，並由此界定國民素養的內涵。評量內容涵蓋閱讀，數學和科學三個領域的素養程度。
經濟合作暨發展組織將數學素養的意涵視為是：「個體應能確認與瞭解數學在這個世界所扮演的角色、能做出有充分根據的判斷並且能使用及投入數學以符合作為積極的、參與的（concerned）以及具反思（reflective）之公民的需要。(OECD, 1999, 2003) 」
以臺灣目前所參與的兩次(PISA 2006、2009)的數學素養結果來說，臺灣的排名從2006年的第一落到2009年的第五，而第一的位置被首次參加的上海取代；代表未來前端競爭力的在分數水準5與6學生百分比（28.5%）也相較鄰近競爭的地區香港（30.7%）、新加坡（35.6%）、上海（50.5%）低。因此在此風潮及評量的成績下，許多臺灣的數學教師也開始思索我們在教學與評量可以做些甚麼？
三、PISA數學素養試題的特色與臺灣數學評量的異同
其中數學素養評量內涵，其主要定義包含四大概念；數量、空間與形狀、改變與關係、不確定性，與國內的四大主題數與量、幾何、代數、機率與統計可以相互對應。而其中強調國民所需的數學力包含了情境與數學間的溝通、問題數學化、使用及轉換表徵、推理和論述、發展策略、使用符號形式及術語與運算、使用數學輔助工具等，也正與我國在數學的第五大主題連結有相關性。
以PISA2006數學素養樣本試題的「搶劫」題目為例，可以來討論其特色或與臺灣數學評量內涵的異同之處。相同之處，以主題概念而言，其為統計圖表的判讀，其答題所需的數學力，包含將新聞情境中的數學要素抓取出來，轉換統計圖表與情境中搶劫量的變化。但不同於臺灣一般統計圖表的試題，其圖表有部分資訊遭省略，也是一般報章雜誌在圖表上常做的修飾，容易引起推理及論述的誤解，其評量要點因而增加了溝通，甚至發現問題後，如何設定正確的策略重新讀取圖表資訊，並以適當的數學語言說明理由。其可以接受的理由包含觀察出圖表省略的訊息，還有比較量或比率等，但絕非要學生去作情境上過度的推論及猜測。
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PISA2006樣本試題-搶劫
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電視主播呈現了下圖並報導：
「從圖表顯示，從1998 年到1999 年搶劫案數量有巨幅的上升」。
你認為這位主播對於上圖的解釋是否合理？請寫出一個理由來支持你的答案。
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參考答案：其一皆可（附註：答案「否」包括所有認為「該詮釋是不合理的」的句子，而答案「是」則包括所有認為「該詮釋是合理的」的句子。）
1.
不，不合理。指出我們看到的只是整個圖表的其中一小部分。
2.
不，不合理。用比率或百分比的數字作論據，論點正確。
3.
要有趨勢的數據資料才可作出判斷。
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參考國內PISA國家研究中心翻譯的PISA2006樣本試題，可以發現所需的數學知識均在國中三年內的程度，其中包含圖表的判讀、基本幾何的知識(勾股定理、相似及全等性質)，將問題數學化以列出及解方程式，有理數與根式的基本運算或線型函數的概念等。反倒是國內測驗重視的二次函數、配方法、多項式運算、根式有理化或複雜的計算未包含在內。
PISA用到的數學概念基本上不難，而且每個問題僅需以單一的數學概念解決，沒有繁複的計算，即使有，也准許學生運用計算工具進行計算，評分時會以多重計分的方式，因此即使計算錯誤，但概念、列式正確也會得到相當的分數。
而進一步分析這些樣本試題，可以發現，題目提供的訊息由於搭配情境，因此提供相當多元的訊息，其中包含解題時用得到與用不到，只因其在乎的是學生擷取情境中的數學元素，統整、分析的能力。而其中的計算依實際情形，有時數字較大，也直接鼓勵學生使用計算工具及估算。非選題部分，更是數學素養評量的特點所在，往往需要學生列式或說明理由，對於長期習慣面對選擇題的臺灣學生而言，有時就會顯得其一向以來的訓練有所不足，尤其是敘明理由。更可以看出此國際數學教育趨勢相當著重思考能力、推理綜合的能力、以及學生面對問題時可以做出正確合理、具有根據的判斷之素養養成。
四、臺灣數學教師在評量上可因應的改變
由於前些日子，北北基的特色招生公布將採聯合命題，且考科改採類似PISA測驗，採開放式的題目，以臺灣升學領導考試，考試領導教學的風氣下，建議數學教師可以在評量上做些許的調整。
1、參考PISA2006樣本試題及臺灣2011數學素養評量樣本試題
除去PISA研究中心提供的樣本試題外，中央數學輔導團及臺灣師範大學數學系透過數學素養命題工作坊，蒐集參與教師的命題並做修改集結產生兩冊《臺灣2011 數學素養評量樣本試題》，其中有180道樣本試題，可以提供目前國中現場教師試用與推廣。雖然國際版與臺灣版的走向仍有不同，但是給現場教師一窺數學素養相關試題仍是有一定的幫助，教師可以取材其中的題目，稍做修改，在日常評量或是段考評量讓學生多接觸，對於學生的學習也未嘗不是一個刺激與幫助。
2、自行設計非選擇題
由於前幾年基測中心都只考選擇題，所以有鑑於數學素養並非只有選擇能力，因此在考試宜多評量非選擇題，培養學生寫出正確算式的習慣，也可以設計一些基本的證明，請學生找出說明原因的條件，適當推論所需要的結果。其實非選擇題的試題設計比之選擇題的選項設計要更為容易，而且平時的測驗都有出現，教師只要針對學生作答時，給予合適的修正，協助孩子進行正確論述，而避免不相關的敘述，學生在敘理、列式的功力也一定能夠提升。
五、臺灣數學教師在教學上適當的調整
如果以臺灣在PISA數學素養評量的分數來看，從2006年的549分到2009年的543分，其實並沒有大幅退步，只是在2009年的排名前面多了上海、新加坡等城市或國家。因此筆者建議國內的數學教師不要因而氣餒，概念的說明、定理的講授與例題的演練仍是不能偏廢。我們對學生的教學應可進行些微的調整，協助他們從考試能力轉換到生活中數學素養的表現。以下幾點是筆者的一些小小見解：
1、以情境搭配課程佈題，引導學生學習
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題組：動物園門票與人數(修改自93基測I)
假日的時候，許多家庭都會帶著孩子，一家前往動物園遊玩，票價分為兩種，全票60元一張，優惠票30元一張，對於團體或其他身分沒有其他優惠。
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問題一、
文文說他們一家人花了180元，請問他們家買全票及優惠票的方法可能有哪些種不同組合？請寫下至少三種組合。
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問題二、
善善說他們一家人花了150元，且去了4個人，請問善善一家共買了幾張全票與幾張優惠票？
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問題三、
量量說他們一家人花了250元，你認為量量的話是否合理？請寫出算式或是理由來支持你的答案。
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以上題為例，其實是傳統的二元一次方程式的問題，其中包含問題數學化、使用及轉換表徵、推理和論述、使用符號形式及術語與運算等數學力，在教學中跟學生討論，請學生寫出不同的情形並做發表。對於這樣類型的題目，其實跟我們在學習二元一次方程式的情形是類似，只是評量題目的放置順序不一定與教學討論安排的順序一致，討論二元一次方程式多組可能的非負整數解，到二元一次聯立方程式的列式與解，之後則是利用因倍數的推理來討論方程式解的合理性，因此課程中，教師適當的引導，搭以與情境間的連結，並提供學生說理論述的機會，都是在做數學素養相關的教學。
2、結合生活周遭常識，培養學生以數學分析、說理
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題目(組) 世足賽(取材自臺灣2011 數學素養評量樣本試題)
 世界盃足球賽每四年舉行一次，在剛開始32強分成8組（A至H）的分組賽。，分組賽內採積分制，勝隊得到3分積分，打平則各得1分，輸隊獲得0分。小組賽的排名方法為依據積分高低順序，每組晉級前兩名。若積分相同，以「淨球數」來決定。所謂淨球數就是進球數減掉失球數的結果。若淨球數又相同，就直接比「總進球數」；倘若總進球數又相同，就比雙方對戰的戰績，若還是相持不下，最後就只能憑運氣抽籤來決定。 |
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問題1.世足賽
以下是A組的賽程及比賽結果。
請問這個分組晉級的隊伍是哪兩隊？請分別寫出國名以及晋級的原因。
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問題2.世足賽
新聞報導說，「號外！！目前日本隊積分8分，已經在分組晉級！！」
請判斷此新聞報導是正確或錯誤，並舉出理由說明。
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問題3世足賽
以下新聞報導公布C組目前的比賽結果積分表。
但是其中有不合理的地方，請指出不合理之處。
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問題4世足賽
請問甲隊取得三和後，是否仍有可能晉級？能否用甲、乙、丙、丁四隊的對戰成績說明。
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四年一次的世界盃足球賽，每到賽程開始時，電視、平面新聞都會大篇幅的報導，其中各隊的明星球員、戰績或對戰組合都是那時候的精采話題，敏銳度高的老師應可以發現，這個情境中可以羅列出相當的數學概念來進行設計，從積分的計算及晉級的規則，充滿了數字的計算及思考推理各種不同的可能性。從中引導學生透過題目中提供的資訊，要如何擷取，讓其感受數學就是用來解決生活中的問題，並協助做出決策。上面的舉例問題2及問題3，解題者若對於數字有基本的感覺，並多做推論或嘗試推算，可以發現其中有些不合理之處，並且需要進一步以數字說服別人。如果課堂中的問題能夠常與生活周遭的常識結合，數學學習又怎會覺得無聊呢？
3、鼓勵學生說出對問題的看法
以上述足球賽題組為例，即使是回答不合理，說明看法時應可以從不同的角度來回答問題。數學正具有這種一題多解的特性，未來教師教學時應提醒學生在觀察問題的時候，將所有的條件列出，並嘗試彈性的思考邏輯，培養學生寫出或講出答題的關鍵概念。以問題4來說，只踢了三場球，三場球都是和局，現實中以防守見長的隊伍正是以此為策略來謀求晉級，但是學生在思考時，他需要建立一個四隊對戰的模型，試驗不同對戰結果的影響。教學時學生即使一開始的看法與分析不夠清楚，也可以透過他們的討論或是口頭發表時，同學的意見與問題而讓道理越辯越明。
4、培養學生寫出理由、找出證據的習慣
證明不是只有在幾何學習才能使用，例如，代數解題時，讓學生說明該數字為此方程式的解，就是將之代入，使方程式成立即可。題目中讓學生嘗試指出敘述錯誤的地方，只要能夠舉出反例，即是最有力的證據。此外，基礎數字運算時用到的交換律、分配律、遞移律、三一律，有時也是引發論證的好工具。當然在幾何推理中更是充斥著許多找出條件、說明理由的練習，養成學生說話有理，證據佐證的習慣，這樣的素養在未來社會的生存也是學生長大能表達、溝通的最好後盾。
六、家長在自已的孩子學習數學可以做的幫助
1、分享生活中解決問題方法，讓孩子動手做
PISA在其問卷也會關心孩子在生活的過程中有無自己解決問題與動手做的經驗，從做中學到課堂以外的常識，往往更能與數學結合在一起。因此，家長可以嘗試讓孩子動手解決問題，例如裝配電腦，組合櫥櫃，整理房間等，讓孩子閱讀使用手冊，依圖操作，分類依序，規劃推論的能力。家長若有空閒時，陪著孩子一起規劃要出去玩的行程，討論房間整理後的家具配置，那將是很棒的親子活動。
舉例來說，侯老師的未婚妻要幫侯老師訂製一套西服，但她遠在南部，侯老師又沒有空可以回南部一趟，其實他可以將自己合身又習慣的衣服挑一件郵寄回南部，他的未婚妻也可以提供西裝師傅參考。在數學中，為了說明兩個放置在不同位置的圖形甲、乙相似，藉由製作一個與甲全等的圖形丙，疊在乙上，再說明乙、丙相似，即可以推論，不也是同樣的作法。
2、鼓勵大量閱讀書籍與新聞
這邊談到的書籍、新聞不是八卦雜誌，也非漫畫，而是文章、小說、甚至社論、新聞。孩子從文字中自行摘要、預測後面的情節、思考社論的論點、反思新聞表面及背後傳達的訊息，甚至鼓勵寫下自己的觀點及想法。上述的足球賽這題原先命題來源就是來自新聞，新聞中許多的論點及想法都有其因果關係，引導孩子依循著論點去思考，也可以養成他們議論有據的習慣。
從新聞裡面可以發現一些與數學有關的內容，筆者就時常在自己的部落格http://tw.myblog.yahoo.com/mathnews-teng『新聞中的數學，從數學看生活』放置一些網路抓取的新聞，其中有的是新聞中談論到數學與數學教學的議題，也有部分新聞其中可以數學或數字來對其做小分析。舉例來說，對孩子介紹許多數學家(如陶哲軒)學習歷程與喜好、科學新知的內容，或是有趣的
day(三月十四日)。讓孩子時常接觸，也許會覺得數學、科學並不是像課本內容那樣的距離遙遠，喜好數學的人也不是都像數學老師那樣嚴肅；另外許多的新聞都需要數學才能順利解讀的內容，例如討論到樂透開獎的機率、討論GDP國內生產總值與GNP國民生產總值等，甚至討論『海角七億』如果用小貨車搬運，需要多少台車，適當的閱讀及討論，可以提升親子的數學對話，並增添孩子學習數學的樂趣。
day(三月十四日)。讓孩子時常接觸，也許會覺得數學、科學並不是像課本內容那樣的距離遙遠，喜好數學的人也不是都像數學老師那樣嚴肅；另外許多的新聞都需要數學才能順利解讀的內容，例如討論到樂透開獎的機率、討論GDP國內生產總值與GNP國民生產總值等，甚至討論『海角七億』如果用小貨車搬運，需要多少台車，適當的閱讀及討論，可以提升親子的數學對話，並增添孩子學習數學的樂趣。
參考資料
3、
林福來教授主編（民100）。臺灣2011數學素養評量樣本試題。
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