你想知道生活中有甚麼數學嗎?

2015年3月31日 星期二

科學史上的今天】3/31——笛卡兒誕辰(René Descartes, 1596-1650

image
【科學史上的今天】3/31——笛卡兒誕辰(René Descartes, 1596-1650)
1618 年 11 月,參加志願軍而來到荷蘭 Breda 駐守的笛卡兒走到市集閒逛。22 歲的他雖然出身於法國貴族豪門,並於兩年前拿到法律學位,卻因為對於學校教育感到失望,而決定到處旅行,透過自身體驗探求知識。當他走過廣場的公佈欄時,目光不禁被上面的一張佈告所吸引──那竟然是一道數學題目?!他好奇地走上前去,央請一位正在饒富興味地讀著的路人解釋,才知道是在徵求解答,而這位路人竟是當地大學的助理校長 Beeckman。
在 Beeckman 的鼓勵之下,笛卡兒重拾數學與物理,並在一年後派駐德國時經歷了著名的「神啟之夜」,澈悟應以數學原理重新建立知識體系,並決心以此為一生志業。1620 年,笛卡兒離開軍隊,繼續遊歷歐陸各國增長見聞,八年之後定居荷蘭,開始著手整理他的思想體系,著作成書。
笛卡兒的著作跨及物理、數學與哲學,其中最著名的當屬 1637 年發表的《方法導論》以及 1641 年的《沈思錄》。其中放在《方法導論》之三篇附錄中的《幾何》這一篇,首度引進直角座標系與線段運算的觀念,幾何圖形因此可以轉譯為代數方程式,從此倚重直覺、解法繁複的幾何問題得以搖身一變為有明確步驟可解的代數問題。笛卡兒前無古人地將幾何與代數熔於一爐,開創了「解析幾何」,成為現代數學的第一個里程碑,也為微積分的發展奠下了根基。直角座標系因此被稱為笛卡兒座標系,也成為現代物理各種理論架構的基礎。
在《沈思錄》中,他主張我們應該懷疑一切,甚至包括所有從感官知覺得來的知識,因為我們怎知這世界不是由法力無邊的惡魔所製造出來的幻象(是的,就像《駭客任務》裡的母體)?若一切都可能是假的、都不存在,那還有甚麼是真實的呢?笛卡兒領悟到無論如何,這個正在懷疑一切的自我一定存在,否則懷疑的念頭從何而來?因此他提出了至今每個人都琅琅上口的名言:「我思,故我在!」笛卡兒這種質疑一切的精神與完全訴諸理性思考的主張,將西方哲學自教會的禁錮中解放出來,為現代理性主義開啟先河,並被譽為「現代哲學之父」。
1649 年.笛卡兒應瑞典女王之邀前往擔任私人教師,原本羸弱的身體不耐酷寒,不久即病倒而於次年因肺炎過世。直到 1667 年,他的遺骸才運回法國,一生在外遊歷的笛卡兒最後終於回到座標原點。

2015年3月30日 星期一

【科學史上的今天】3/30——於是,我們有了「數學王子」高斯⋯⋯

image
【科學史上的今天】3/30——於是,我們有了「數學王子」高斯⋯⋯
有關高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)自小即展露數學天份的傳奇故事,我們已經耳熟能詳:三歲時一旁觀看當水泥匠工頭的老爸計算給工人的薪資時,發現計算錯誤而當場糾正;十歲時老師在課堂上出了「由 1 加到 100」的算術難題想說可以圖個清靜,沒想到高斯竟然不到一分鐘就交卷,原來他從中看出首尾一一配對相加都等於 101 的對稱性(1+100、2+99、⋯⋯),很快算出答案等於 5050。十一歲時就自己導出二項式定理的一般展開式。
在費迪南公爵的資助下,家境貧困的高斯得以繼續升學,鑽研高等數學,並改進牛頓、歐拉等人的證明。然而考慮到生計問題,高斯一直不確定是否要成為數學家,直到 1796 年的今天,就在屆滿 19 歲前一個月,高斯用幾何作圖,也就是只有尺和圓規,解決了自歐幾里得以來兩千年無人能解的難題:如何將圓十七等分?這項重大的突破成為一個轉捩點,讓他立定志向將一生奉獻給數學,於是,我們才有了「數學王子」高斯。
自這一天開始,高斯將研究成果記錄在一本《日誌錄》中,直到 1814 年 7 月。這本一百年後才被發現,而今稱之為《科學筆記》的日記共有 146 則記錄,包括才相隔九天的第二則:「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、一百天後的第十則:證明任何自然數最多只需用三個三角形數之和就能表示。他在前七個月就記載了超過四十則發現,完全展現了一位天才全力以赴下的創造力有多可怕。高斯第二年完成了前人無法完成的「代數基本定理」的證明作為他的博士論文,而且日後又作出另外三種不同方式的證明。1801 年,才 24 歲的高斯將幾年來研究數論的成果集結成書;霍金如此評價這本書:「在高斯完成這本劃時代鉅作《算術研究》之前,所謂數論其實只是蒐集許多孤立研究的成果。……因為高斯在《算術研究》中引進『同餘』的符號概念,這才建構出完整的數論。」
也是 1801 這一年,義大利天文學家皮亞齊發現小行星穀神星(Ceres),不久後就因太陽遮蔽而失去它的蹤影。高斯卻能僅憑皮亞齊的三次觀測記錄,就用自己早就發明的「最小平方法」推算出它的運行軌道。後來果然在他預測的位置上發現穀神星,高斯因此更加聲名大噪,連望遠鏡都沒有的他躋身為第一流的理論天文學家。
高斯不凡的成就不勝枚舉,數學方面除了上述的貢獻之外,還發現代表常態分佈的高斯曲線、建立複數平面而賦予複數幾何上的意義、對於曲面的研究為非歐幾里得幾何奠下了基礎(最後由他的學生黎曼完成)。物理方面提出電磁學的高斯定理、與韋伯(Wilhelm Weber)共同發明第一台發報機並繪製第一張地球磁場圖,還發明廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。
高斯的研究範圍廣泛,其中許多成就光一項就足以讓他名留千古,不過高斯晚年最想要刻在墓碑上的還是將圓十七等份的正十七邊形,只是石匠認為刻好後看起來恐怕與圓無異才作罷。高斯會有此念,除了這是他選擇人生道路的轉捩點,更是因為當年解開千古數學難題的悸動令他永難忘懷吧?!

2015年3月29日 星期日

【數學科】會考應試指南

【數學科】考題重觀念,不考繁複計算
「考試題型稍有改變,但是孩子面對的,依然是同份課綱與教材,學習的單元與主題仍是相同的,」擁有合格教師證,在補教業超過二十年的張翰,從課程大方向提醒家長不必過度焦慮。 根據目前九年一貫數學課綱,國中數學內容包括「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」。學生除了必須能將上述主題相互「貫穿、連結」,培養解題能力外,也需具備把數學與其他領域或生活經驗相結合的能力。
觀察十一年來的基測題目,總不脫「靈活」、「重觀念、強調觀察」、「不考繁複計算」等評價。若根據「翰林雲端學院」版本的歸納,整數與分數的四則運算、指數律與科學記號、直角座標與二元一次方程式圖形、生活中的幾何圖形,以及圓形性質等,是歷年基測百分百會出現的重要單元。
從目前釋出的示範題型觀察,像是計算 8992-1012 的值、以籤筒情境考機率、從對地圖地標的描述判斷誰走的路線正確,或從時間與張數方程式關係圖來推估能否在時限內影印完畢等,都不難看出,明年首次登場的數學會考,依然不重繁瑣計算,且重視「數學在生活中的應用」。在考卷末尾,也都會附上應試時可能用到的所有數學公式,就是希望學生不要再落入背誦公式的窠臼。
因此,出身自聯考世代的爸媽,千萬別用當年準備數學的思維,來看今年基測或明年的會考。

【數學科】把選擇變填充題來練習
不過,雖然所學的主題內容不變,在「難度」與「題型」上,已確定會產生變化。
難度方面,台北市中崙高中國中部的數學教師呂虹毅解釋,過去基測出題模式是「中間偏易」。七十分鐘內要回答約三十一~三十四道「四選一」的選擇題。會考出題難度線則定位在「難易適中」,目前規劃是要考生在八十分鐘內,回答二十七~三十三道試題,其中包括二~三道的非選擇題。
●掌握基測前十題的基礎觀念。
呂虹毅指出,由於歷年數學基測題目都是依照難易度排列,若要對照基測難易度,會考的難度基準線,「大約會落在過去數學基測第十題以後。」不過,這絕不代表當考生拿過去的基測考題當練習時,只鎖定第十題以後的考題就好。「以基測考題來看,前十題是很基本的觀念,往往是解後面難題的基礎,不應輕忽或跳過,」她強調。
●寫出思考與計算歷程。
會考數學科的另一項重大變革,是加考必須寫出思考與計算歷程的「非選擇題」。未來國中孩子的數學學習歷程,必須更重視思考與邏輯的深化,以及培養清晰表達自己思路的能力。
●蓋住四個選項,讓選擇題變填充題。
在過去四選一的數學基測年代,就算對答案沒有把握,但運用刪除明顯不可能的選項、將答案代入試算等取巧方式,仍有很高機會「猜」出正確答案。「把每道選擇題都好好列出式子,寫出計算過程才是正道,」在台北火車站、大安區均有開班的數學補教名師張翰指出。
「同一份試題,只要把選擇題改成填充題,難度馬上就會提高,」呂虹毅便曾測試過,兩者可以出現將近十七~二十分的差距。國中孩子若想拿歷年基測考題做練習,針對可以化成填充題的選擇題,「直接蓋住四個選項來練習,」她提供這個簡單提升試題難度、自我測試與練習的小撇步。
●將考卷轉個角度。
統計機率與幾何,是出錯率偏高的題型,尚有一年準備時間的國二生,可以慢慢奠基打底。
呂虹毅解釋,與統計機率相關的主題,如累計次數分配、百分位數、四分位距、圓形圖、盒狀圖等,是未來日常生活很重要的數學素養能力。而幾何圖形類的題目,往往稍微轉個方向、或畫斜四十五度,孩子乍看之下就很容易楞住。她提醒,當碰到不熟悉的圖形,有時只需將考卷轉個角度,或許就會有嶄新的思考點。

【數學科】用「好習慣」建立數學基礎
數學,是個需連貫性理解的學科,平日就需要下功夫。從國中地理老師、輔導主任到高中教務主任退休,如今經常在各地舉辦國中生學習講座的牧語軒曾形容,與「快炒青菜」的社會科不同,念數學科猶如「慢火燉肉」,很難臨時抱佛腳,平時若能建立良好的數學學習習慣,才能事半功倍。
●時時自問「為什麼」,不斷練習「講理由」。
從目前釋出的會考非選擇題觀察,未來的應考基本功,除了要「寫出計算過程」外,另一重點則在於「練習說明理由」。
在九年一貫綱要的數學領域中,「數學溝通能力」一直都是重要內涵,只不過在過去只考選擇題的現實下,讓教學現場偏重如何解選擇題的技巧,無形中也降低了學生培養演算與推論能力的機會。因此在定位為「學力檢測工具」的會考中,納入非選擇題,以求更全面了解學生數學能力,並幫助教學現場能更重視學生思考歷程、邏輯推理與適切表達看法的能力。
非選擇題更看重解題策略上能否「察覺題目條件,將題目轉化為數學問題,擬定解題方法」,以及表達上能否「呈現解題過程,說明步驟合理性」。在給分標準上,會依考生回答的適切與完整性分階段給分,最高三分,最低零分。
從過去只需用2B鉛筆劃答案卡的數學基測,到明年開始得手寫算式過程的數學會考,「提醒把字寫端正很重要,不要求寫得多漂亮,但最起碼式子該對齊的地方要對齊,」張翰語重心長提醒,「更重要的是,要培養孩子多問『為什麼』的習慣與能力!」
「我們的學生很不習慣講理由,」呂虹毅也感慨,「但很現實,以後的孩子若仍停留在『就是這樣』,是什麼分數也拿不到的;即使這個答案是一眼就看穿,也要練習說出背後的理由。」 這不僅對學生是很大衝擊,對老師與家長而言,由於必須不斷追問、探究孩子的思路過程,同樣也是重大挑戰。
●別直接跳到解答,避免學習斷點。
家有國二孩子的家長,面對會考的非選擇題,大可「名正言順說自己不懂」,反過來問孩子「為什麼會這樣」,製造「讓孩子說給你聽」的機會。
「千萬不要直接告訴孩子對或錯,因為缺少自己想的過程,那就是學習的斷點!」張翰強調。 呂虹毅建議有心陪讀數學的家長,也可以先從「為什麼第一個式子你會想這樣列」開始,再循著孩子的思路過程,追問「為什麼會選某甲,而不是某乙」,引導孩子習慣把想法說出來。當他開始嘗試說出「某甲就是怎樣怎樣,某乙就是如何如何」的時候,就是跨出「講理由」的第一步,一定要記得鼓勵孩子,然後再讓他「我手寫我口,把剛剛的陳述寫下來」,這就是最好的練習。

【數學科】應考提醒
一、平日準備
1.自問自答:平時複習時多問自己為什麼,將思考的步驟與理由說給自己聽。
2.確實訂正:準備一本專屬訂正本,蒐集自己曾出錯的題目。可保留、圈出自己曾經出錯的步驟,並用顯眼顏色標註正確的步驟與算法,自我提醒。
3.重視演練:數學並不是上課自覺聽懂就好,必須經過「動手計算+動腦思考」雙管齊下過程,才容易驚覺自己的盲點。
4.質重於量:演練關鍵不在多,而在能否切中要害。若發現自己在某單元經常出錯,就針對該主題從定義開始重新複習,並找相關例題再次演練。
二、臨場應試
1.掌握時間:由於愈往後面的題目難度愈高,加上新增非選擇題,因此建議平均2分鐘要解完一題,不會的就先跳過並做記號,提醒自己回頭檢視。
2.聰明驗算:驗算不是重算一次,而是可用代入、試算的方式,檢視答案是否正確,並花幾秒確認是否看錯題目或誤解題意。
3.字體端正:對於新增的非選擇題,書寫端正度影響到第一印象,建議至少算式不要歪七扭八,該對齊的地方要對齊。

2015年3月24日 星期二

台灣數奧奪金 全靠這位天才「星探」 撰文者賴寧寧 2014-09-24

台灣數奧奪金 全靠這位天才「星探」

全球中學生數學菁英的最高榮譽:國際數學奧林匹亞競賽(簡稱「數奧」),台灣隊今年獲得全球第三名,是台灣參加數奧二十三年以來,成績最好的一次。
這亮麗成績,讓參與數奧十八年,有「台灣數奧推手」之稱的中央大學統計研究所講座教授傅承德,不得不修正他過去的結論:「台灣要得前三名,很難!」今年他開心的改口:「台灣要拿到第一名,很難!」挑戰目標往前跨進了一大步。
數奧,是所有國際奧林匹亞競賽中(包括數學、物理、資訊、地球科學、化學等),難度最高的比賽,因為全球參與國約一百零一國、參賽人數高達五百多人;「一:四十:六十」,這是台灣、美國、中國的高中生人數比,其中,中國高中生人數,就高達二千五百萬人,比台灣總人口還多。
台灣參加數奧多年,已拿下三十三面金牌、七十七面銀牌及二十面銅牌,「台灣學生的數學實力很強!」傅承德說。
訓練策略緊中帶鬆
把學生好勝心變成好奇心
為什麼?「這牽涉到國家對數奧的定位,」傳承德說,他把參賽國分成四種類型:一、人才濟濟型,如中、美、蘇,人口多,人才眾多;二、專案加強型,日、韓、越南、泰國等,對獎牌志在必得,選手嚴格訓練;三、社區營隊型,如法、英、德等,定位為學生活動,不在意是否得獎;四、志在參加型,墨西哥、哥倫比亞、希臘、西班牙等國,他們認為,參加就是肯定。
「台灣介於專案加強型與社區營隊型中間,我們的定位是,高中生的活動。」傅承德不想把台灣數奧變成「專業加強」,以拚金牌為目的,這樣會「把學生的味道搞壞了。」因為這群中學生,只是一群數學能力強的學生,此外,他們和其他孩子並沒有不同。
會有這樣的想法,和他以前在美國念書的觀察有關,當時,他碰到一些東歐國家選手,因為國家訓練太嚴格,後來,學生就對數學沒興趣了,讓他覺得很可惜。因此,他不希望選手訓練過程太嚴格、太久。
目前台灣數奧訓練期約半年,嚴格型的國家,如中國、韓國,選手訓練都長達一年以上,而台灣的訓練過程,除了演算數學,還排入非數學課程,如文學、哲學、語文課程,讓選手有數學外的轉換空間,培養不同能力。尤其,每次出國比賽前,傅承德都會安排一次郊遊,讓選手心情放鬆。
台灣在總學生人數少、訓練期不長的情況下,依然拿下佳績,與傅承德「緊中帶鬆」的訓練策略有關。
「金牌,對高中、對升學有意義,但對人生不見得有意義,」傅承德認為,數奧的目的,應該是「把好勝心變成好奇心」,最後轉化為對知識探求的動力,培養出對基礎科學研究有興趣的人才,這樣,台灣參加數奧才有意義。
不過,對擁有數學及統計博士的傅承德而言,最喜歡的事:第一件事是「研究學問」,訓練數奧選手,則是第二。
多年來,接觸上百位台灣數學頂尖生,傅承德對每一位曾參與數奧的學生都瞭若指掌,讓他印象最深刻的,有蔡政江、陳伯恩、黃道生。
最得意的三個選手
生命受威脅時仍熱愛數學
目前正在哈佛攻讀數學博士的蔡政江,是傅承德接觸最久的學生之一。二○○三年,傅承德接手數奧訓練工作時,蔡政江還是高雄立志中學國中部的國三學生,他第一年沒被選上國手,進雄中後捲土重來,當上選手,當年比賽,就以差一分滿分的成績拿下金牌;隔年,再以四十二分滿分(數奧共考六題,每題七分,滿分四十二分),拿下金牌。他是台灣唯一一位、連續兩次以最高分拿下金牌的選手。
另一位是陳伯恩,目前就讀新竹實驗中學高三,正準備申請美國大學;他的「血癌也擋不住的數奧之路」故事,感動很多人。
陳伯恩國二時便獲選為選手,但同時,他必須跟發現沒多久的血癌奮戰,媽媽答應,只要他獲選為選手,就讓他出國比賽,但媽媽知道,這是必須冒著生命危險去的!陳伯恩一面進行痛苦的化療,一面研究數學,數學安慰了連正常學校生活都沒辦法參加的他。
在傅承德的新書《數戰數決》中,談到陳伯恩陳述的心情:「是數學,讓我忘記疼痛,忘記化療的折磨。」結果,陳伯恩國三時,便拿下金牌,成為台灣第一個拿下金牌的國中生。
傅承德談到陳伯恩參賽過程,如何寫信跟主辦國溝通「不能生食」,而且英文程度不錯的陳伯恩到了現場,還自己跟外國工作人員溝通飲食等細節,這些都讓傅承德很感動,他形容:「當生命受到威脅時,還熱愛數學,我自己也做不到。」
數奧還有個「黃道生傳奇」,是傅承德經常拿來鼓勵選手的例子。
正在麻省理工學院就讀的黃道生在二○○三年拿到數奧銀牌,隔年再度參賽,結果,第一天,第一題就考「零分」。一般數奧考題第一天第一題最簡單,選手一定得分,但,黃道生第一題就垮了。
當天,為了安慰黃道生,擔任數奧代表團觀察員的教授游森棚,帶他去散步透氣,放鬆心情。第二天,黃道生考得出奇的好,第四、五題及最難的第六題都滿分,其他兩題也答得不錯,最後以三十二分,拿下金牌,創下數奧有史以來,第一個「第一題零分」的金牌。
教出金牌學生的意義
孩子的熱情感動所有大人
多數人將數學視為畏途,但數學其實和我們生活息息相關。像是樂透、下雨機率就和數學中的「不確定數據」有關。
甚至,數學能力好,也會影響工作。台灣一家人力銀行曾做過徵才條件調查,發現將近一千個職務,以「數字概念佳」列為首要的應徵條件;甚至英國曾有一份調查發現,數字力差的上班族,失業率是數字力佳的兩倍。
問傅承德,這個工作到底有沒有意義?他說,看到孩子們即便面對美食、出去郊遊,彼此交談的還是數學,孩子們對數學熱愛所迸出的火花,感動了他與其他參與的教授。
「有數學天分的可造之才」,這是傅承德對「數學天才」的定義,因為數奧金牌,就像背好唐詩三百首一般,是解題技巧很熟練,離「寫出一篇好文章」還很遠;數奧這一步,只是一個「遙遠的起跑點」。
從幾個數奧選手的「小時候」,確實可看出「數學天分」。像兩次數奧金牌得主蔡政江,從小學就很有名,是不少數學比賽的常勝軍;而第一個國中生就拿下金牌的陳伯恩,不到兩歲,就會從一數到一百。
但是,有天分,還得後天的學習努力,「我沒有看過不努力的數學天才。」傅承德認為,高中以前的孩子,很難說對數學「有興趣」,這階段的孩子,通常是架構在成績上,成績好就有成就感,然後喜歡,之後才會認真學習,進入正向循環,即便是數奧選手,也是如此。
傅承德說,數學要好,早點接觸、早點讀,是有用的;六歲學齡前,可讓孩子多接觸數學方面的遊戲、或有邏輯的玩具,對數理的啟發有幫助。「人的一生很長,不知道何時發光?」父母最重要的是陪伴、支持,而不是硬推著孩子前進,揠苗助長。
小檔案_傅承德
出生:1958年
學歷:美國愛荷華州立大學數學與統計學博士
經歷:中央研究院統計所研究員
現職:中央大學統計所講座教授、國際數學奧林匹亞台灣區團長
小檔案_書名:《數戰數決 ──台灣數學資優生出國比賽記》
作者:傅承德、劉啟昌
出版社:商業周刊
出版日期:2014年10月2日

2015年3月22日 星期日

[Google Doodle] 埃米·諾特 Emmy Noether 數學史上最重要的女人

[Google Doodle] 埃米·諾特 Emmy Noether 數學史上最重要的女人

日期:2015/03/22  |  作者:  |  分類:好康新聞稿  |  瀏覽:7684 人次
cover
講到數學物理不少人頭就開始痛,甚至覺得那是個屬於男人的世界,然而你知道在數學或是物理領域中,曾有個傑出的女人獲得了愛因斯坦稱讚為"數學史上最重要的女人" 嗎?而她就是今天的 Google Doodle 主角-埃米·諾特(Emmy Noether) !
今天是埃米·諾特(Emmy Noether) 的 133 歲冥誕,她是一位出生於 20 世紀初的德國數學家,研究領域為抽象代數和理論物理學。其中數學上,她研究不變量理論和非交換代數;物理上,她導出了非常關鍵而且美麗的結果,稱為諾特定理。因此,凡不變量的命題是對應物理系統的廣義化轉換(物理學家稱之為對稱性)都翻譯成守恆定律。現代物理相當多地建基於對稱性的種種性質,諾特定理的結果就構成了現代物理基礎的一部分。
Noether
不過雖然埃米·諾特(Emmy Noether) 在 1907 年取得了博士的學位並且享譽全世界,但哥廷根大學卻以她身為女人的身份而拒絕她入學教書,不過獲得了許多學者的反對與爭取,最後終於在 1919 年獲得了學院的接受。直到 1933 年卻又因為埃米·諾特(Emmy Noether)的猶太人身份,被迫逃離德國,進而轉到美國布林莫爾學院進行教學工作。而在 1921 年埃米·諾特(Emmy Noether) 也因為引進了交換環的理想升鏈條件,證明了這些環存在的基本分解,而被稱為拉斯克-諾特定理。
螢幕快照 2015-03-22 下午10.53.52
諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立,諾特定理和量子力學深刻相關,因為它只要用經典力學的原理就可以認出和海森堡不確定性原理相關的物理量(譬如位置和動量),因此對於後代的數學與物理帶來了相當大的影響力。

2015年3月19日 星期四

我們一開始先談抽象幾何圖形-《這才是數學》

我們一開始先談抽象幾何圖形-《這才是數學》


Written By: 
|
2015/03/19
|
Posted In:
|
Tag:
以下是個美麗的圖案。
qwe
我來告訴你,為什麼我覺得這種圖案很吸引我。首先,裡面有幾種我很喜歡的形狀。
zxc
這幾種形狀簡單又對稱,所以我很喜歡。像這樣由直線構成的形狀,叫做多邊形(polygon)。所有的邊與每個角都相等的多邊形,稱為正多邊形。所以我想我應該要說:我喜歡正多邊形。
這個圖案設計吸引我的另一個原因是,當中的組成元件拼接得天衣無縫。鋪磚之間沒有縫隙,也不會重疊(我喜歡把這些元件想成瓷磚,就像馬賽克裝飾藝術)。至少看上去是如此。請記住,我們所談的東西,其實是假想的完美形狀。不能因為圖案看起來很好,便認為就是這麼回事。無論多麼費心製作的圖片,都是實體世界的產物;圖片不可能告訴我們關於假想數學物件的真理。幾何形狀做自己想做的事,不是做我們希望它們做的事。
那我們怎麼能確定,這些多邊形真的拼貼得完美無缺?對於這些幾何物件,我們真能知道些什麼嗎?問題的關鍵是,我們要度量這些多邊形──不是用尺或量角器這類笨拙的實體器具,而是靠心智去度量。我們需要找一種方法,能單單用哲學論證去衡量這些形狀。
有沒有注意到,在這個例子裡我們需要量的是角度?為了檢查類似的馬賽克拼貼圖案做得出來,我們必須確認在地磚之間的每個接角,各多邊形的角度加起來是一整圈360度。譬如最普通的正方形鋪磚,正方形的各角是四分之一圈,所以四個正方形加起來剛好一圈。
zxcas
附帶一提,我喜歡用一整圈來當作角度的度量單位,而不喜歡用度。我個人覺得這樣更簡單,也比把一圈分成360等份更自然些(你當然可以選擇自己喜歡的方式)。所以我的說法就會是:正方形各角的角度是1/4。
跟角度有關的第一件驚人發現是,不管是哪種形狀的三角形,內角和始終相同,加起來都是半圈(或180度,如果你必須從俗的話)。
iop
如果想實際感受一下,不妨拿紙做幾個三角形,把角裁下來,然後排在一起,你就會看到它們一定能排成一條直線。多漂亮的發現呀!但我們怎麼知道真的就是如此?
有一種方法是,把三角形改畫在兩條平行線之間。
fygh
請注意看,這兩條直線與三角形其中兩邊構成的Z字形。(我猜你可能會把右邊的那個稱為倒Z形,不過怎麼稱呼都無所謂。)要請你看的重點是,Z字形的夾角永遠會相等。
vbn
這是因為Z字形是對稱的:假如我們讓它繞著中心點旋轉半圈,看起來會完全相同。這表示上下兩個角必定相等。有道理吧?這就是一個典型的對稱論證。如果一個形狀經過了某一組運動的作用之後仍保持不變,我們就可以由此推斷出,兩個或更多個量度必定相等。
回到剛才兩平行線夾三角形的圖示,我們現在曉得,底部的兩個角分別與頂部的對應角相等。
fth
這也就表示,三角形的三個角湊在一起,會在頂部拼成一條直線。所以,三個角相加一共轉了半圈。這個數學推理很輕鬆愉快吧!
這正是做數學的意義。先做出發現(不管用哪種方法做出來都行,包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型),然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。這是數學的藝術,也是數學充滿挑戰與樂趣的地方。
由這項發現產生的其中一個結論是,如果我們的三角形恰好是等邊三角形(即正三角形),那麼三個角會相等,一定都等於1/6。我們還可以換一種方法來看出同樣的結果:想像你是在開車繞著三角形的邊線。
vbntnd
你轉了三個相等的彎之後,就回到起點。由於最後轉了一整圈,因此每個彎必定剛好等於1/3。請注意,我們所轉的角度實際上是三角形的外角。
thmd
由於內角與外角合起來是半圈,所以內角和就等於rrbwer特別是,六個正三角形可以剛好鋪成一個接角。
se4tmxth
嘿,這不就做出了一個正六邊形!我們額外得到了一個結論:正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍,也就是1/3。這表示,三個正六邊形可以拼在一起。
drtmxerg
因此,我們還是有可能對這些形狀有些認識。尤其是,我們現在明白了為什麼最初的那幅馬賽克圖案拼得出來。
bdf
在圖案的每個接角,都有一個正六邊形、兩個正方形、一個正三角形。這些角度相加起來會等於wnter所以拼得起來!
(附帶一提,如果你不喜歡分數運算,你隨時可以換掉度量單位,避開分數。譬如你可以用1/12圈當作單位,這樣的話,正六邊形的角度就會是4,正方形的角度會是3,正三角形的角度是2,那麼相加起來就會等於4 + 3 + 3 + 2 = 12;也就是一整圈。)
我特別喜愛這個鑲嵌圖案呈現出來的對稱性。每個接角都有同樣的形狀依序排在周圍:六邊形、正方形、三角形、正方形。這表示一旦我們檢查過其中一個接角能夠拼滿,就能順理成章推知其他接角也不成問題。這個圖案可以無限往外延伸,鋪滿整個無限平面。我不禁納悶,「數學實在」裡還有沒有其他美麗的鑲嵌圖案?
利用正多邊形做出對稱的鑲嵌設計,方法有哪些?
 當然,我們需要知道各種正多邊形的角度。你能不能想想看該如何量出角度呢?
 正n邊形的角度有多大?
nfg
你可以量出正n角星的角度嗎?
dadc
從正多邊形的其中一角所畫的對角線,會切割出相等的角度嗎?
 雖然我們現在談的主題是多邊形做出的漂亮圖案,我想讓你看看我的另一個最愛。
dsdcv
這一次我們用了正方形和三角形,但不是鋪成平面,而是做成某種球形。這種幾何體叫做多面體(polyhedron),幾千年來數學家一直在琢磨這種幾何形狀。思考的方法之一,是去想像多面體展開成平面的模樣。譬如剛才這個多面體,從其中一角展開後看起來會像這樣:
df zs
我們可以看到,有兩個正方形及兩個三角形圍繞著一個頂點,但留下了一個縫隙,以便摺成一個球。因此對於多面體來說,角度相加起來必須小於一整圈。
 如果角度之和大於一整圈,會發生什麼情況?
 多面體與平面鑲嵌的另一個差異點,在於多面體的設計只牽涉到有限多個地磚。模式仍舊可以持續進行下去(就某種意義上),但不會無限延伸到外太空去。我當然也對這些模式感到好奇。
 對稱的多面體有哪些?
 換一種問法就是:有哪些方法,可把正多邊形做成多面體,而且在每個角可看到同樣的模式?阿基米德找出了所有可能的方法。你能不能找得出來?
最對稱的多面體,當然是每個面都全等的多面體,譬如立方體。這種多面體稱為正多面體。古人已經發現正多面體只有五種(所謂的柏拉圖立體)。你能不能說出是哪五種?
 有哪五種正多面體?
unnamed本文摘自泛科學2015三月選書《這才是數學:從不知道到想知道的探索之旅》,經濟新潮社出版。

【科學史上的今天】3/18——哥德巴赫誕辰(Christian Goldbach, 1690-1764)

image
【科學史上的今天】3/18——哥德巴赫誕辰(Christian Goldbach, 1690-1764)
1742 年 6 月,數學大師歐拉收到哥德巴赫寄自俄國的信。他與大他17歲的哥德巴赫認識時,還是大學生,沒想到兩人隨即先後到俄國任教,成了同事。他待了14年後,去年才回到柏林,倒是哥德巴赫似乎就打算這麼長住下去了。
他打開信一讀,心想這位老友該不會在莫斯科待太久,腦子給凍壞了吧?他的猜想也未免太大膽了!
「任何一個大於 2 的整數都可以寫成三個質數之和」?(註)

他本想回信調侃他一下,腦海卻不由得開始試算:21 = 11 + 7 + 3、46 = 31 + 13 + 2、……,接連驗算幾個數字竟然都符合!於是他正經地坐下來提筆研究,最後他發現還可以將這個猜想寫成另一種版本:
任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和。

然而令他苦惱的是,他相信這兩個猜想是對的,但試了又試,就是無法證明。歐拉可能沒有料到,在他之後兩百多年來,仍然沒有人做得到!
是的,哥德巴赫猜想吸引了無數數學家與素人競相投入,進展卻相當緩慢。如今我們知道只要證明歐拉的偶數那個版本(稱為「強哥德巴赫猜想」),就能證明奇數可以寫成三個質數之和(稱為「弱哥德巴赫猜想」),等於完成了哥德巴赫猜想。雖然 2013 年終於由祕魯數學家賀夫各特(Harald A. Helfgott)「證明」了弱哥德巴赫猜想,但似乎無助於攻克這個列名「希爾伯特的 23 個問題」中,少數至今仍未解決的數學問題。(那個證明是用數學證明 10 的 29 次方以上的奇數都成立,然後用電腦一一驗算以下的奇數也都成立。唉,歐拉與哥德巴赫一定都不會認同這種蠻力證明法。)
證明哥德巴赫猜想究竟有甚麼用?嗯,我們當然可以說前人在試圖證明的過程中也發展出許多有用的數學工具,但其實單憑它看似簡單卻蘊藏深奧,恰恰展現出數學迷人之處,勾動人們的好奇心去探索真理,這點就已足矣,不是嗎?
註:因為當時 1 仍被當成質數。現在哥德巴赫猜想已修正為:
       任何一個大於 5 的整數都可以寫成三個質數之和。

「括弧為什麼要先算?」大人回答不出來,也不要用「這是規定」帶過 5 回應 撰文者吳麗芬

「括弧為什麼要先算?」大人回答不出來,也不要用「這是規定」帶過

圖片來源:dreamstime_m_45963111
美國曾有一項職場調查指出:每三個高所得工作,就有兩個需要比算術更高深的數學;遠見雜誌也在2006年做了「數學力」如何與高所得工作有關的專題報導,緊接著台灣開始參加PISA評比,12年國教中的特色高中考試也要加考「數學素養」,「數學力」的討論已經佔滿主流媒體版面,「培養孩子數學力」可說是當今顯學。
然而,只談「如何培養」是不夠的,就像一個人整天滋補養身,卻不去呵護原本健康的身體一樣,這樣亂投資一場,結果當然堪憂!「數學力」雖然不是天生的,但人卻天生的配備了學數學的能力,事實上,人天生有學習的能力,這些能力內建在「正常的大腦」裡,透過跟後天環境的交互作用,於是有了「學習」,因此,腦神經科學家說,教育可以被視為一種大腦「造景」的工作,你給它什麼樣的後天環境,就造就怎樣的大腦,「大腦知識與教學」這本書的作者Eric Jensen在談到如何豐富環境以滋養大腦時就說:「無論你多麼興奮地想在環境中增加多少正向的事物,首先要做的,是消除負面的影響」。
因此,消除學習環境中具威脅性的事項非常重要,這對深受科舉文化影響的台灣教育尤其深具意義,我們根據實務上的教學經驗歸納出以下6個主要妨礙「數學力」發展的絆腳石,這些石頭對於發展數學力都深具威脅性,現在,來搬開石頭,讓孩子踏上一條新而有效的學習道路吧!
第一顆石頭 迷信反覆練習
練習是為了加深記憶,而沒有記憶等於沒有學習,所以練習是必要的,但太多練習反而會讓大腦陷入疲乏,就增加「數學力」而言,寫一堆類似的測驗卷希望孩子記住題型跟解法,結果是造成孩子頭腦的僵化。然而,什麼是適度的練習呢?設身處地的想一想,如果是自己,練幾題?寫幾張?不會害你倒胃口?
第二顆石頭 只追求標準答案或滿分
「媽,告訴我答案就好」,至於為什麼是這個答案而不是那個答案?在標準答案下長大的小孩不喜歡去想,而「思考」卻是培養數學力最需要的方法,腦神經科學家也告訴我們,神經系統的成長是來自於問題解決的歷程,而非結果。
標準答案式的教育通常跟追求滿分息息相關,一張考卷發下來,大人往往不在意孩子對了幾題,只在乎他們錯了幾題,不在意孩子得了幾分,只在乎他們少了幾分。這種從滿分往下扣的「減法」思維,是苛責式教育的溫床,只看缺點忽略已有成就,容易造成小孩「自我感覺很差」,沒自信的人無法面對挑戰,因為數學力不是「會考試」的能力而是「解決問題」的能力,而解決問題的方法往往很多種。
第三顆石頭 製造無意義的挫折
這麼說,只要多多給孩子難題去解,就可以培養數學力嗎?這要看是什麼樣的難題而定,「大腦知識與教學」的作者就認為,要滋養大腦,孩子需要有解決複雜、具有挑戰性問題的經驗,同時「愈貼近真實生活愈好」。有些老師或坊間補習班,專門愛拿刁鑽考題考驗小孩,例如這題有名的「孤獨的7」,離真實生活就不知道有多遠,給小學生製造的挫折不知道有多深,也絕對可以挫挫某些資優孩子的銳氣,問題是,有意義嗎?
「挑戰」或「為難」有時僅在一線之間,孩子喜歡挑戰,但孩子也看得出為難,經常性的為難,將挫傷孩子珍貴的自信心,得不償失!
第四顆石頭 拿小孩跟別人比
大人總喜歡拿自己小孩跟別人比,或兄弟姊妹相比,但這是小孩最痛恨的!大人希望收到「見賢思齊」的效果,但往往適得其反,小孩只有變得妒忌跟自卑。事實上,讓孩子只跟自己比較是最好的策略,考慮今天有沒有比昨天進步就好,學校改不了「排名比序」的惡習,家庭不宜跟著「淪陷」,人比人氣死人,在妒忌跟自卑中生活的人,情緒品質差,學習品質也會跟著低落。
第五顆石頭 迴避小孩的提問
「好問」是孩子的天性,某些十分有智慧的長者也都保留著好問的習性,例如典籍上寫的「夫子入太廟,每事問」的孔仲尼先生,腦神經科學的研究也告訴我們,大腦喜歡新奇的事物,因此,無論孩子問的問題在大人眼中有多基本,比如問「括弧為什麼要先算?」大人都不宜只是說「規定的」或說「記起來就好」就打發掉,寧可說:「你的問題很好,我也不知道,讓我們一起研究看看…」研究不出來就算了,至少留給孩子一個好態度,也呵護了孩子的好奇心。
第六顆石頭 讓小孩去充滿紅榜跟責罵的補習班
對一般家長而言,唯一無法控制的教育環境恐怕只有學校,孩子下課後去的安親補習班以及提供溫暖親情的家庭反而才是自己可以決定的。本文開頭曾經說過,消除學習環境中具威脅性的事項非常重要,Eric Jensen指出那些威脅性的方式包括:讓學生難堪、斥責、不合理的時間限制、羞辱、諷刺等。如果非得去安親補習班不可,最好幫孩子選擇一個不搞排名比序、教師具有優良情緒品質的地方,不然家庭所做的努力,可能就被理念不合的補習班抵消光了!

生死關頭,數學變成保命符

  • 2015-03-11 08:32

生死關頭,數學變成保命符

前言:千萬不要以為數學太難不好學,或說數學不實用,職場上不吃香,其實,學好了數學,在生死關頭時,可以變成保命符。
       ===【科普新視窗】===
是1958諾貝爾物理學獎得主伊戈爾‧葉夫根耶維奇‧塔姆﹝Igor Y. Tamm﹞的驚險故事,靠著數學好,他竟在土匪頭子槍口下餘生,才能夠繼續研究生涯,後來得到了諾貝爾物理學獎。
那是在塔姆在烏克蘭奧德薩大學擔任物理學教授時的故事。
當時還是前蘇聯的「紅軍」和「白軍」內戰的混亂時期,在紅軍佔領奧德薩期間,軍事管制、物資缺乏、民生困頓,有一餐沒一餐。有一天,塔姆實在受不了了,他想要吃點雞肉補充營養,就拿起家中餐桌上的六根銀湯匙,跑到山間的一個偏僻村莊,想要用銀湯匙換點雞肉吃。
正當塔姆拿著六根銀湯匙和村民正在討價還價時,沒想到一股縱橫當地山野的悍匪「馬赫諾匪幫」襲擊了該村莊,土匪看到塔姆穿著和打扮一點都不像鄉下人,懷疑塔姆是紅軍派來之間諜,二話不說就把他抓到土匪頭目前審訊。
土匪頭子滿臉橫肉,下巴都是落腮鬍,腰間掛著手榴彈,胸前披掛著一整排子彈,凶神惡煞地威脅塔姆「坦白從寬,抗拒從嚴」,手中還不時揮舞著手槍,踢了塔姆一腳就說:「你這個狗雜種,是不是要來顛覆我們的烏克蘭祖國啊?我一槍就可以斃了你‧‧‧」
塔姆連忙解釋說他是大學教授,來到貴寶地只是想弄點雞肉吃吃,土匪頭子根本不信,大罵:「就你這個熊樣,哪像個大學教授,我不想再聽你胡說八道了,來人,把他拖出去斃了‧‧‧」
塔姆急得大叫:「我真的是大學教授,我在奧德薩大學物理系教書,我是專門教高等數學的‧‧‧」
土匪頭子狐疑地看著塔姆,突然之間,拿起樹枝在泥地上寫了一個方程式,惡狠狠地瞪著塔姆說:「好吧,如果你真的是大學教授,你就把這個數列展開,看到第100項和第200項的誤差是多少,第N項的誤差又可以有什麼樣的公式?你解得出來我就相信你,你解不出來我就立刻斃了你‧‧‧」
塔姆蹲下一看,傻眼了,土匪頭子竟然寫下的是高等數學才修得到的「麥克勞林級數﹝Maclaurin series﹞」,當下,塔姆已經沒腦袋去想這土匪頭子怎麼這麼有水準,在槍口下,蹲在地上滿頭大汗地奮筆疾書。
更神奇的事情發生了,當塔姆解出答案之後,那個土匪頭子雙手背在背後,先看塔姆的答案,「嗯」的一聲後,也蹲下來專注地看著塔姆的演算推導過程,偶爾也自己在泥地上計算和推演,然後,站起來,拍著塔姆的肩膀,大聲地說:「你這小子還真的全都算對了,好啦,我相信你是大學教授。」
放走塔姆前,土匪頭子還語重心長地勉勵塔姆,要好好地研究和作育人才,要讓烏克蘭祖國從此有更多人才能夠報效國家,壯大祖國,不要再受他人欺凌‧‧‧
雖然沒有吃到雞肉,但塔姆終於平安回到奧德薩,世界上也因此沒有損失一位諾貝爾物理獎得主。
這個故事,是寫出《宇宙大爆炸理論》的宇宙學家,也是知名生物學家,提出了「DNA分子遺傳密碼」觀念之著名科普作家喬治‧伽莫夫﹝George Gamow﹞寫在他的自傳《我的世界線》第13頁。
伽莫夫更感嘆說,塔姆親自和他口述這個故事時,兩個人都很感嘆,如果不是國家動盪,搞不好那一個土匪頭子也不必流落江湖,也可能是一位有潛力的科學大師呢。
感嘆也沒用,塔姆只能笑著說:「誰說數學不實用,生死關頭也可以拿來當保命符‧‧‧」

    婚禮當眾考數學 新郎答錯、新娘走人

    婚禮當眾考數學 新郎答錯、新娘走人

    資料照片

    字級:

     
     
    印度仍有不少媒妁之言的婚姻,新人在婚禮前幾乎不認識對方。印度一名新娘在婚禮上為了確認丈夫的教育程度,當眾考一題數學,結果答案讓新娘氣得走人。

    美聯社報導,印度北方邦一座小鎮本周三發生這起落跑新娘事件。原來是新娘在婚禮上問新郎:15加6等於多少?結果新郎竟然回答:17。新娘氣到立刻離開宴會場地,即使男方家人苦勸也不願繼續婚禮。新娘家人指控對方隱瞞男方教育程度,雙方鬧上警局。在警方調解下,雙方互相退還聘金及嫁妝,婚約宣告破裂。(桂家齊/綜合外電報導)

    『快樂數融入數學測驗』學生的解答『我與佛無緣』你的解答為何? 2015/03/04

    『快樂數融入數學測驗』學生的解答『我與佛無緣』你的解答為何?

    2015/03/04 瀏覽人次:1222  響尾蛇(SNAKE)
    國中  數學 關鍵字:探究 數學

    探究性問題融入數學測驗
    將生活議題融入數學測驗,加入非常規性與非機械式的題材融入測驗,藉由考試間的主動思考,引導孩子課後再探討,試著啟動探究學習的融入數學測驗。
     
    印度的眾多廟宇金碧輝煌,寶塔歷史悠久,世界各地遊客紛至沓來。厄洛斯和厄里斯隨人流來到寶光塔,但見寶塔巍峨矗立在石台之上,門前有年長僧侶接待遊客。寶塔門前豎立著塊牌子,上面寫著: “42、20、04、16、37、58、(?)、145、42、20……這是一個從42到145的循環數列,按照一定的規律排列。要找到(?),遊客答對者,與我佛有緣,可獲開光香珠一串,留念。” 則(?)數字為_________。
    試題分析:
    快樂數有以下的特性:在給定的進位制下,該數字所有數位(digits)的平方和,得到的新數再次求所有數位的平方和,如此重複進行,最終結果必為1。
    例如,以十進位為例:
    2 8 → 22+82=68 → 62+82=100 → 12+02+02=1
    3 2 → 32+22=13 → 12+32=10 → 12+02=1
    3 7 → 32+72=58 → 52+82=89 → 82+92=145 → 12+42+52=42 → 42+22=20 → 22+02=4 → 42=16 → 12+62=37……
    因此28和32是快樂數,而在37的計算過程中,37重覆出現,繼續計算的結果只會是上述數字的循環,不會出現1,因此37不是快樂數。
    不是快樂數的數稱為不快樂數(unhappy number),所有不快樂數的數位平方和計算,最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。
    在十進位下,100以內的快樂數有(OEIS中的數列A007770):17101319232831324449687079828691,9497100
    設計目的:
    將生活議題融入數學測驗,加入非常規性與非機械式的題材融入測驗,藉由考試間的主動思考,引導孩子課後再探討,試著啟動探究學習的融入數學測驗。
    孩子解答 :『我與佛無緣』你的解答為何?