新北市立五峰國中
鄧家駿
壹、前言
十二年國教103年上路，北北基區明星學校自辦特色招生，請學者專家研究命題，採類似OECD的國際學生能力評量計畫（PISA）命題，只考「閱讀理解素養」與「數學素養」兩科。第一屆面對目前八年級考生，家長、學校教師、補習班，許多人對如何考、怎麼學、如何教，皆發生恐慌。
根據PISA計畫主持人洪碧霞教授指出，學生的基測表現其實與PISA在台灣施測時，成績是呈現正相關，因此北北基區的家長其實無須過度緊張，只要在校正常的學習，特色招生一樣可以考出好成績。台北市教育局副局長馮清皇表示，103年基北區特色招生考試，只有部分題型可能似PISA(國際素養評量)，將採逐年漸進方式視國中學生學習狀況逐年調整。
PISA數學素養試題著重在情境的解析能力，看懂問題，會分析，更重要的，是要找到解決問題方法，可以有不同的解決步驟及答案。PISA有別於傳統要求標準答案的考試，出題與答題各有巧妙，挑戰傳統式教育。北北基區特色招生，採用這種突破以往的模式，是項新挑戰。
貳、從樣本試題作起
面對這樣的氛圍，先要瞭解PISA該評量中所定義的數學素養，即為當個體在不同情境脈絡中，運用形成(formulate)、應用(employ)以及詮釋(interpret)數學的能力，其包含數學推理、數學概念、程序、事實以及工具的使用，來描述、解釋和預測數學現象。
本校數學教師擬提早因應，除了在教學中試圖因應變化外，在段考評量的題目也嘗試數學素養試題，先於101學年度上學期第一次段考將三題PISA2006樣本試題放入外，101學年度下學期第一次段考在八年級數學教師群討論下，在段考試題中放入一個題組，除讓學生有提早體驗「數學素養試題」的機會，也讓學校教師瞭解並實際參與批閱「數學素養試題」，同時，藉由批閱及公布編碼標準給學生、家長理解，除了釋疑，學生知道如何學習或提高自己的數學素養，家長也不會窮著急。
檢視八年級下學期數學領域第一次段考的範圍，主要在等差數列、立體圖形等單元，因此選擇PISA2006樣本試題中的題組「蘋果」來做修改的範本。以下先介紹該題組的題目及其編碼標準。
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蘋果
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農夫將蘋果樹種在正方形的果園。為了保護蘋果樹不受風吹，他在蘋果樹的周圍種植針葉樹。
下圖你可以看到當農夫種植不同列數（n）的蘋果樹時，蘋果樹及針葉樹數量的變化：（conifer tree 針葉樹；apple
tree 蘋果樹）
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子題 1：
完成下表的空格
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編碼標準：
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代號2：
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7格全對
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代號1：
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表格中僅有一個錯誤/空白。
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代號0：
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表格中有兩個或以上的錯誤
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代號9：
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沒有作答
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子題 2：
你可以用下列的2個公式來計算上述提到的蘋果樹數量及針葉樹數量的變化：
蘋果樹的數量 = n2
針葉樹的數量 =
8n
n代表蘋果樹的列數，當n為某一個數值時，蘋果樹數量會等於針葉樹數量。找出n值，並寫出你的計算過程。
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編碼標準：
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代號11：
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n=8，用明確的代數方法解出答案。
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代號12：
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n=8，用不明確的代數解法，或沒有呈現出計算方法。
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代號13：
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用其它方法算出n=8，如用規律延伸或畫圖。
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代號14：
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如同代號11（明確的代數解法），但答案寫n=8或n=0。
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代號15：
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如同代號12(不明確的代數解法)，但答案寫n=8
或n=0。
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代號00：
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其它答案，包含只回答n=0
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代號99：
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沒有作答
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子題 3：
若農夫想用很多列的樹做一個更大的果園，當農夫將果園擴大時，那一種樹會增加得比較快？是蘋果樹的數量或是針葉樹的數量？請解釋你如何得到你的答案。
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編碼標準：
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代號21:
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正確答案(蘋果樹數)，並做有效的解釋。
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代號22：
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提到蘋果樹增加的規律逐漸增加，但針葉樹增加的規律固定為8。
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代號11：
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正確答案（蘋果樹），以特例說明，或以表格的延伸進行說明。
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代號01：
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正確答案（蘋果樹），但解釋缺乏、不充分或者錯誤。
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代號02：
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其他答案，如針葉樹
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代號99：
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沒有作答
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前面兩個子題屬課程中常見的數學問題。子題3，典型的「數學素養試題」，要求學生解釋如何得到結論，不僅要學生算答案、列算式，而是嘗試用文字或算式說明。
參、自行命數學素養試題
「特色招生」，「類PISA試題」在新聞中吵的沸沸揚揚，不適宜將樣本試題直接不做修改放在段考試卷中，本校數學教師將題組修改如下。
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競技啦啦隊
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競技啦啦隊（cheerleading）是一種充滿活力的運動，是結合體操、跳躍、特技、口號及舞蹈編排的有氧運動。
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五峰國中競技啦啦隊規劃舞蹈編排，如圖，其中○代表女生，╳代表男生。其中舞蹈會一直變換，並增加人數。以下列出隊形一、隊形二及隊形三的排法。
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排面4個人
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排面5個人
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排面6個人
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子題1：
如圖，隊形依著同樣的規律，類推變換，增加人數，請畫出隊形四的排法？
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解：
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編碼標準：
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2分
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能畫出正確隊形
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能確實說出女生18人，男生10人
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1分
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找出每排面7人，但畫的有問題。
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0分
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無法畫出正確隊形
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子題 2：
當今天排到隊形六時，請問男生需要的人數？
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解：
如編碼標準2分
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編碼標準：
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2分
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21人，算出正確答案，並有正確計算過程。
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1+2+3+4+5+6=21
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能畫出正確男生隊形
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1分
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方法正確，但計算錯誤
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算成隊形五或隊形七的人數，如15人或28人
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0分
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無法寫出正確算式或計算錯誤
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子題 3：競技啦啦隊
當今天排到隊形十時，請問女生需要的人數？
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解：
如編碼標準2分
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編碼標準：
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2分
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寫出正確算式或是計算出正確結果
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•
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9,12,15, 推算出36人
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能畫出正確女生隊形
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1分
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方法正確，但計算錯誤
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算成隊形九或隊形十一的人數，如33人或39人
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0分
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無法寫出正確算式或計算錯誤
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子題 4：
啦啦隊長說：每種隊形都是女生比男生多。
你認為啦啦隊長的說法是否合理？請寫出算式或是理由來支持你的答案。
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解：
如編碼標準2分
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評分標準
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2分
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只要n大於等於7
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•
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•
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因為女生每次增加3人,男生每次增加n人,所以男生增加的速度比較快會追上
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舉出其中一種隊形做例子，如隊形十，女生人數需36人，男生需
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0分
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無法寫出正確算式或計算錯誤，其他答案
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肆、學校實際實施流程
由於在學校段考中實施，我們依循以下幾個重要流程執行，即命題、批閱、檢討。
一、命題
命題時，不見得能夠自行設計出良好的數學素養試題，一開始可先參考PISA2006樣本試題，找出適合段考範圍的題目，不一定有完全合適的內容，但可參考其情境及描述的方式，與題目的問法，這是在初始命陌生題型的基本注意事項。找出合適的情境，思考可以詢問的問題，並配合段考範圍重點，如本次段考重點為尋找規律、等差數列、等差級數等，因此修改題目從樹木耕種改成啦啦隊舞排列，更貼近現代青少年的經驗。
另外在命題時需注意，如試題勿從教科書或參考書中擷取，佈題順序由簡單到困難，雖然為題組，包含2到3個子題，但每個子題儘可能相互獨立。
以該題為例，雖然設計了4個子題，但是本校教師認為子題1畫圖較難批閱，學生也無此經驗，又是第一次試做，最後刪成後面3題。
二、批閱
再來確認評分標準，命題教師先依自己命題的想法，設計題目，寫出解法，數學題不見得只有單一解法，此時集思廣益就非常重要，邀請學校數學教師針對題目寫出可能的參考答案及學生可能的作答反應。藉由討論，決定評分標準，並列出評分範例。
批閱時，若前置工作齊全，對於大部分學生的回答，教師應可以批改順利。學生仍有可能出現我們預期外的答案，此時可以與命題教師、學科召集人討論及仲裁是否得分及得幾分。不過，需注意標準明確，分數差距不宜大，以減少家長或教師間的爭執。只要批閱的教師熟悉試題、依據編碼規準評分、避免主觀判斷、必要時尋求諮詢，基本上就不會產生爭議。
三、檢討
跟學生檢討作答結果時，命題教師將大家討論與批閱時參考的編碼標準及學生作答反應整理呈現，跟學生一起了解自身作答依據標準如何得分，並且與參考的作答反應比較，以了解怎樣的寫題能夠切中要領及言之有物。如此，學生在段考中經驗數學素養題的閱讀、解題，在教師檢討時，體會寫作與整理回答。希望對於學生的數學素養有所提升，即使沒有提升數學素養，至少有提升解數學素養試題的能力。
伍、學生作答表現
本校數學段考應考時間為60分鐘，因此段考試卷的題目較其他學校多，由於嘗試數學素養試題放在段考中，當時建議放在最後面。因此針對學生在該題空白的統計，有分成「來不及作答到該題」與「不會寫」兩類。
一、各題作答表現比例
雖然全校八年級實施，在寫成報告時，僅蒐集其中三個班級的作答表現分析如下。由於成卷時已刪去子題1，因此僅有子題2~4的統計，甲、乙、丙三個班的作答情形。
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子題2
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子題3
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子題4
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甲
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乙
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丙
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甲
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乙
|
丙
|
甲
|
乙
|
丙
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來不及
作答
(空白)
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3
(9%)
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0
(0%)
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4
(13%)
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3
(9%)
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0
(0%)
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4
(13%)
|
3
(9%)
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2
(6%)
|
4
(13%)
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|
不會寫
(空白)
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3
(9%)
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1
(3%)
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5
(16%)
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5
(16%)
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1
(3%)
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0
(0%)
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8
(25%)
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6
(19%)
|
2
(7%)
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|
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16(17%)
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13(14%)
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25(26%)
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||||||
|
錯誤
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8
(25%)
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7
(22%)
|
4
(13%)
|
8
(25%)
|
5
(16%)
|
5
(16%)
|
8
(25%)
|
12
(37.5%)
|
10
(32%)
|
|
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19(20%)
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18(19%)
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30(32%)
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||||||
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正確
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18
(56%)
|
24
(75%)
|
18
(58%)
|
16
(50%)
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26
(81%)
|
22
(71%)
|
13
(41%)
|
12
(37.5%)
|
15
(48%)
|
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60(63%)
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64(67%)
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40(42%)
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應考人數
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32
|
32
|
31
|
32
|
32
|
31
|
32
|
32
|
31
|
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總人數
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95
|
95
|
95
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二、子題2、3的答題反應
該兩子題答對率均超過六成，學生在該題對規律的變化掌握得很好，並且也發現其與等差數列及等差級數的關係。能了解大部分學生在本單元的學習情況良好，能從情境形成數學關係，並且應用數學概念解決問題。
三、子題4的答題反應
該子題答對率較低，約達四成，空白率約四分之一，以下列出學生不同的解答方法、錯誤類型。其中含評分標準、不同作答類型的比例與例子。
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正確
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三個班的答對總人數40人
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13人
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觀察男生增加的差與女生增加的差後，提出論點
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例1
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不對，因為女生每隊形多3人，而男生則是增加2、3、4、5，…人，所以一般隊形男生比女生多。
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例2
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不對男生從第四隊後每次增加人數都大於女生的3，所以到後面男生就會比女生多了。
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例3
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不對，因男生的d是2、3、4、5、6、7越來越大，而女生d=3不變。
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11人
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舉出不符合啦啦隊長說法的例子。
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例1
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第8個隊形時，女生有30人，但男生有36人，男生每次加入的人數比女生多，公差比較大，因此從第8個隊形開始男生會比女生多
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例2
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隊形10的男生比女生還多，所以不對。
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例3
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排成隊形5時女生多6人
排成隊形6時女生多3人
排成隊形7時男生多1人
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3人
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列出符合題意的不等式，並找出甚麼時候的解不符合啦啦隊長的說法。
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例1
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例2
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2人
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從隊形一畫到隊形七
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11人
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方法不一定，但指出隊伍七以後就會男生多於女生
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例1
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不對，因為從隊形3開始男生人數漸漸與女生人數拉近，直到隊形7時，男生就比女生多了。
男:
S7
女:
S7=9+18=27
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例2
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當到隊形8的時候，男生比女生多
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錯誤
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三個班的答錯總人數30人
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7人
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認為包在外圍的人較多(錯誤)
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例1
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對，因女生是把男生包在裡面，所以女生一定要比男生多。
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23人
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其他答案
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例1
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因為女生比較會跳，有些男生都只會隨便跳一跳而已。
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例2
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隊形一女生有9人男生1人
隊形二女生有12人男生3人
因為等差數列的關係所以女比男多!!
啦啦隊長說的對
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例3
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男生人數=1+2+3+4+…
女生人數=9+12+15+18+…
54>10(女>男)，所以啦啦隊長說的對
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陸、教學建議
一、從學生正確的作答反應
從作答反應中，可以發現學生會觀察不同隊形時，男生與女生增加的情形，女生每次增加均是3人，而男生每次增加的人卻一直增加，用以判斷說法錯誤。這樣的學生不在少數，觀察多次例子形成規律並做預測的數學想法，教師在教學中可以採用。
某類合適的方式，提出反例證明說法是不對的，以如此方式作答的人數不少。正如生活中遇到別人妄下斷論時，與其跟他人爭論誰對誰錯，提出反例即可否定其錯誤定論，這可是非常好用的數學方法。
列出兩種不同性別的關係式，以不等式的作法並沒有太多學生使用，一個原因是學生未學過解一元二次不等式，也可能學生在討論不等式關係時不像討論等式關係能輕易列出方程式的關係。建議在教學一元一次不等式時，可以開發出更多合適的生活情境例子，讓學生很自然的練習從真實情境形成不等式，並於真實情境中詮釋其解的意義。
二、從學生的錯誤作答反應
有部分學生認為包圍在外面的一定比在裡面的多，這是常見的錯誤迷思。透過處理這類問題的經驗，應可減少這種迷思，正是面對真實情境問題時數學素養的價值，促成學生利用數學概念的思考與分析來解決眼見信以為真的直覺。
同樣只看到隊形一~三的部分例（女比男多）就認為通例一樣，亦是一般人用少數例就妄下結論的標準例證。若肯多做檢查分析，在教學中，鼓勵學生多觀察，並且注意數字變化，思考為何產生這樣的變化，是否有規律，如此正是培養學生形成、應用、詮釋等數學素養。
柒、省思
一、題型從陌生到熟悉
學生在有時間壓力下的考試，面對陌生的題型，的確在作答上會表現出緊張，所以藉由段考，讓學生面對仿PISA的數學素養試題，閱讀文字敘述長的題幹，轉化數學關係，透過數學概念的應用與解題，回歸真實情境的詮釋與回答。
跟學生訪談，一開始均感到害怕，但勇於回答，再透過教師的指導與說明編碼標準，下次面對數學素養試題的信心與熟悉度都增加了。
二、以考試領導教學
本校幾次在段考時嘗試，由於段考中會考這類試題，教師群開始關心數學素養題目的內容，並且思考怎麼在教學中來引導學生從不同情境脈絡中，運用形成、應用以及詮釋數學的能力。同時，增加了對素養試題中文字題，解題及批閱的經驗，因而對素養試題的命題有所認識，且減少因不熟悉而產生的反彈。
三、以評量協助教學做改善
前面提出教學建議，是從學生作答反應而重新思考，利用不同情境脈絡中，運用形成、應用以及詮釋數學，在做數學試題是依循這樣的方式，同樣在數學教學中，解決問題是常見的教學活動，學生在閱讀問題的敘述（啦啦隊的隊型），找尋關鍵字(說法是否合理)，尋求合適的數學方法（舉反例、觀察人數變化增減、不等式關係），再利用數學呈現來詮釋(反駁啦啦隊長說法、隊形的變化等)。引導學生經歷這些過程，教學相長，正是培養學生的數學素養的適當方式。
捌、後記
在文章結稿前，2013年4月中，臺北市教育局宣布103年特色招生將改由台師大心測中心命題，不再自行命題，但考科仍與其他招生區不同。2013年6月中，心測中心公布特色招生參考題本，定位各區特色招生班級名稱雖不同，但本質均類似，各區特色班級課程有特定一致性，採聯合方式命題可達到最大效益，同時滿足各區特色招生需求。其中並提到基北區特招考試評量重點能力為數學能力及閱讀理解能力，依據九年一貫課程綱要能力指標，此兩項能力於數學領域及語文領域中國語文及英語學科中所學習，因此基北區103 年特招考試科目為數學、國文（一）及英語三個考科。
不過數學素養的提昇，對數學問題的解決並沒有區分成類PISA數學素養試題、基測選擇題或非選擇題等。仍希望這篇報告能對教師有所幫助，不論試圖在評量中嘗試出數學素養試題，或考量教學中如何提昇學生數學素養，望現場教師彼此一起努力下去。
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