你想知道生活中有甚麼數學嗎?

2018年10月18日 星期四

家長和老師如何幫助孩子學習數學

家長和老師如何幫助孩子學習數學


孩子數學能力的提高離不開家長和老師的指導，家長可學習一些方法來幫助孩子更好地學習數學。（Pixabay.com）

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【大紀元2018年05月23日訊】（大紀元記者李炎澳洲悉尼編譯報導）現在小朋友可以從很多數學遊戲中學習數學知識，儘管如此，沒有家長和老師的指導，孩子不可能獲得數學能力的提高。以下為家長和老師就如何幫助孩子更好地學習數學提供一些方法。

1、建立一套日常練習規則：

這不僅僅是為了完成家庭作業，也是為了學習其它的一些遊戲。幫助孩子完成他們的日常數學功課，並且，這些功課不要布置得太難，這樣的話，他們就不會認為做數學是苦差事。如果他們覺得數學作業比較容易，會提高他們對數學的興趣。給孩子布置日常的數學功課可以讓孩子在數學方面做得更好。

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別再說數學與你無關：保護網路隱私，有請「質數大軍」

由於分解某些大數（特別是兩個大質數的乘積）很困難，所以可以把質數變成數學「掛鎖」。假設有一種利用大數N加密訊息的方法，需要知道N的質因數才能解密。
作者：瑪莉安．弗萊伯格、瑞秋．湯瑪斯
網路隱私誰保護？質數大軍！
在自然數中，2是第一個超過最低限度的數。正如在第1章說過的，我們可以把自然數想像成串在繩上的珠子，一顆珠子代表1，一顆代表2，一顆代表3，以此類推到無限大；但這樣實在無趣。如果你用不一樣的方法串珠子，譬如從2開始，就會出現比較複雜玄妙的結構。
先用一顆珠子代表2，接著串一顆代表4，然後是代表6，以此類推。最後，你會串出一條全由偶數組成的項鍊。數字3不包含在這條項鍊上，所以你再串一條新的，先串一顆代表3的珠子，接著是代表6，然後是代表9，如此串下去，直到串完3的所有倍數為止。這兩條項鍊有一些共同的珠子，即6、12、18
及2×3=6的其他倍數，所以會纏繞在一起。不在這兩條項鍊上的下一個數字是5，可以此串出第三條項鍊，項鍊上包含5及它的所有倍數，這條項鍊會在10=2×5的倍數與2的項鍊纏繞，在15=3×5的倍數與3的項鍊纏繞，而在30=2×3×5的倍數，同時與這兩條項鍊纏繞在一起。
如此一來會產生一張優雅的自然數網。在各條項鍊最開頭的那些珠子就是質數；這些數除了自身與1之外沒有別的因數。數字2之所以特別，不僅因為它是第一個質數，還因為它是唯一的偶質數。此條項鍊上的其他珠子則都在網子內，都是質數的乘積。
這張網子正是年代最久、最基本的數學結果之一，有個恰如其分的稱呼，叫做算術基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）：每個大於1的整數若不是質數，就是質數的乘積。西元前300年左右，歐幾里得在他的經典之作《幾何原本》中證明了這個定理。此定理還說，乘積裡的質數沒別的選擇。舉例來說，乘出20的唯一方法就是把兩個2與一個5相乘。每個自然數都是唯一一組質數的乘積。
因此質數成為算術的基本單元。就像分子是由週期表元素的唯一組合構成，自然數也是唯一的質數乘積所構成。
數字安全
幾千年來數學家一直在思量、讚歎這些算術基本單元，然而這些數的威力遠遠超出了大家的推想。例如當你使用網際網路時，質數會保障你的財產安全及隱私。
質數的祕密武器就是，質數相乘很容易，但因數分解卻很難。要找出大數的質因數，需要強大的運算能力。迄今為止最難分解的數，稱為RSA-768，這個數有232位，是兩個116位的質數的乘積。分解RSA-768總共花了上百部電腦兩年的時間，只用一部電腦的話，可能需要將近兩千年。
RSA-768
=123018668453011775513049495838496272077285356959
5334792197322452151726400507263657518745202199786
4693899564749427740638459251925573263034537315482
68507917026122142913461670429214311602221240479274
737794080665351419597459856902143413
=
334780716989568987860441698482126908177047949837
1376856891243138898288379387800228761471165253174
3087737814467999489
×
367460436667995904282446337996279526322791581643
4308764267603228381573966651127923337341714339681
0270092798736308917
由於分解某些大數（特別是兩個大質數的乘積）很困難，所以可以把質數變成數學「掛鎖」。假設有一種利用大數N加密訊息的方法，需要知道N的質因數才能解密。而你要傳送某個須加密的訊息給我，譬如你的銀行帳戶，我就先找兩個大質數相乘，做為數字N；這相當容易。然後我把數字N公開傳送給你。N就像個已打開的掛鎖，無論誰都能把它鎖上，但需要鑰匙才打得開。接著你用數字N把訊息加密，上鎖，對我而言解密輕而易舉，因為我已經知道N的因數（也就是掛鎖的鑰匙），然而其他人就得投入大把時間分解N，才能破解密碼。這個概念正是RSA公鑰密碼系統的基礎，這種密碼系統已經受到廣泛採用，可保護個人的信用卡資料與密碼。
究極的複雜度
要破解RSA系統，有兩種顯而易見的方法。其中一種是打造出更快的電腦，不過加密人員只要採用更大的質數，很容易就能反制（除非你發明出量子電腦）。另外一種可能更具破壞力：找個又快又新的因數分解方法，速度快到可以把全世界的銀行資料都手到擒來。
這樣的方法是否存在，與數學上數一數二的待解難題有關。因數分解屬於NP類的數學問題。NP問題有容易檢驗的答案，意思是電腦可以在合理的時間內驗證答案是否正確（電腦科學家很清楚他們所說的「合理」是指什麼），因數分解屬於NP問題，因為只要找到質因數，就很容易檢查因數相乘的結果是否能得出原數。在NP類的問題中，有一些也能在合理的時間內解答；這些問題稱為P類。數學家仍不知道包括因數分解在內的其他NP問題是否也有快速的解法，或者P類是否就等於NP類。這個問題稱為「P=NP問題」，在1971年提出，至今還沒有人找到答案。
克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）體認到P=NP問題的難度，在2000年把這個問題列入了七大「千禧年大獎難題」，提供一百萬美元獎金給能夠證明它為真或為假的人。雖然不是人人同意，但大多數數學家似乎認為P不等於NP，這表示NP問題真的非常難，而且只要有源源不絕、愈來愈大的質數可以製鎖，數學掛鎖將會很安全。
質數謎題
幸虧有歐幾里得《幾何原本》中的另一個結果，確保我們有源源不絕的大質數可用，這個結果就是：質數有無窮多個。他證明的方法（見下方專欄）簡單確鑿，不過並沒有指出無窮多個質數是哪些。歐幾里得的結果正說明了數學上經常遭遇的狀況：就算你可以證明某物存在（譬如質數有無窮多個），你的證明也不見得能描述這些物件；這是一種非建構性（non-constructive）的證明。
質數無窮無盡
歐幾里得對於質數無窮多的證明，非常簡單優雅。先想像質數有限，並分別標上p1到pk。接著思考考E=（p1 × p2 × ... × pk）+1。歐幾里得的算術基本定理說明了E是唯一的質數乘積，但p1到pk中的任何質數都不能整除E（因為加上了1），所以E若不是質數，就一定有另一個質數p（k+1）能整除E，而這個質數沒有包含在原來的質數集合中。不管對哪個有限的質數集合來說，同樣的論證都成立，也就是這樣的集合永遠沒辦法建構出所有的自然數。因此，質數有無窮多個。就是這樣，你是個希臘數學家！
這也許沒什麼好意外的，假如你想一一寫出質數，證明有無窮多個，不就需要花無窮盡的時間嗎？但也不盡然。如果你要我寫出所有的偶數，雖然也是無窮多個，但我只要說：偶數是形式為2n的數，其中n是自然數，所以你能輕易算出第100個偶數是2×100=200。
質數似乎沒有類似的描述。看看頭幾個質數，實在看不出有什麼可描述這幾個數的規則。數學家很快就發現，兩個質數之間的間隔並不相等：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,67, 71, 73, 79, 83, 89, 97　　
沿著數線繼續往前看，質數看似愈來愈稀疏，但在某些區段又好像比其他區段密集。舉例來說，在一千萬之前的100個數中有9個質數，但在一千萬之後的100個數中只有2個質數。
幾百年來數學家一直努力尋找質數中的模式，也有了大快人心的結果。例如，質數偶爾會成對出現，兩質數只相差2，像是3與5、5與7、11與13、29與31。100以內的25個質數中，可以找到8組像這樣的質數對。已知最大的質數對是
3,756,801,695,685×2666,669–1與3,756,801,695,685×2666,669+1，在2011年發現，兩個數都是200,700位數。
數學家認為，這種質數對有無窮多組，稱為孿生質數猜想（Twin Prime Conjecture），至今超過一百五十年一直沒有人能證明。這也說明了數論中的常見現象：假設很容易，也容易陳述，但不表示容易證明。
1740年代有個特別著名的例子，出現在德國數學家克里斯欽．哥德巴赫（Christian Goldbach）和大數學家雷翁哈德．歐拉（Leonhard Euler，下一章還會提到他）的通信內容中。哥德巴赫推測，每個大於2的偶數，都可以表示成兩個質數的總和。這對前面幾個偶數而言是對的：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=5+5=7+3。電腦已經檢驗到4×1017為止，都是對的，但仍欠缺一般性的證明。
哥德巴赫猜想在數學圈外也很出名，經常出現在電影、小說和電視節目中，用來彰顯故事中聲稱破解它的人物天資聰穎。
書籍介紹
作者：瑪莉安．弗萊伯格、瑞秋．湯瑪斯
譯者：畢馨云
印度最偉大的數學家婆什迦羅為了安慰嫁不出去的女兒，用女兒的名字作為書名寫了一本數學書，正是這本書裡提到了重要的「0的運算」；畢達哥拉斯學派在西元前五世紀的義大利簡直就是個幫派，而「世上只有有理數」便是幫規；牛頓和萊布尼茲分別發明了微積分，此後為了誰先誰後而展開激烈爭論，一吵就是數十年；還有更多更多在特殊數字背後的歷史軼事，數學就有了更多讓人進一步深入探索的好理由。也唯有在真正探索之後，你才可能想像，數學的邏輯多麼嚴密，竟能完美詮釋大自然和宇宙現象。
在本書裡，兩位熱愛數學的作者以淺白而幽默的筆法，從每個人最熟悉的0與1開始說起，揭開一個有血有肉、饒富趣味的數學世界──那些與生活最相關的數字，以及背後的故事與歷史，盡皆躍然紙上。無論是無理數發現者的最終下場、龐大的質數如何成為網路加密的關鍵、大自然不同物體上的螺旋形狀暗藏的數學規律、看不見的第四維如何影響了狹義相對論，還有許多懸而未解的世紀數學之謎，都如同一把鑰匙，打開了連接過去與未來的那道門，讓你見識到數學無遠弗屆的影響力。
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Photo Credit：麥田出版
責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航
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好玩的居家數學遊戲

好玩的居家數學遊戲

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喬依絲
草根影響力新視野 喬依絲編譯
最近有項研究發現，透過孩子在幼兒園時期所學到的數學技能，可以預測將來在小學階段數學和閱讀的學習成績。學習數學可以促進工作記憶，提高注意力以及其他基本認知技能。但是不要購買閃示卡和練習簿，因為這些可能會壓制孩子對這個主題的自然興趣。相反地，讓孩子參與一些有趣的數學活動，幫助他們在理解數學方面建立扎實的基礎。
數字概念
算數很重要，它有助於兒童學習數字順序。其中有三個重要的數字概念 : 一對一的對應關係(每個物件只計算一次)、基數(最後一個計算的物件數字就是這些物件的總數)、和不變性(物件放置的方式不會影響數量，例如，展開放置或全部集中在圓圈中)。這裡有些可以幫助孩子發展這些基本數字概念的方法。
  • 在日常生活中練習計算物件數量。例如，數算襯衫上的鈕釦數量、超市袋裡的蘋果數量、餐桌上筷子數量等。剛開始時總數不要超過五個，再依能力逐漸增加。
  • 將物品排成一列。給孩子一些硬幣，先讓孩子數算數量，接著請孩子將這些硬幣排成一個圓圈，再排成一列，或展開，每排一種形狀就再數一次，以此學習數量不變性。
幾何與空間概念
通過玩積木和其他建築類玩具，孩子們可以對幾何和空間關係有基本的了解。
  • 辨識家中物品的形狀。玩一個簡單的遊戲，找到家中各種物品的基本形狀，如四邊形的相框、圓形的時鐘、三角形的板子等，並教導孩子定義形狀的基本概念，例如三角形有三個連接的邊。
  • 談論書中圖片的放置。閱讀故事書時，可以問孩子一些空間或尺寸相關的問題，如「月亮在哪裡? 在樹上嗎? 河馬比猴子大嗎? 哪種動物更大?」
  • 製作住家地圖。透過幫助孩子製作臥室或客廳的位置圖來練習更多的空間語言，並且詢問有關它們的位置以及它們的距離等問題。
測量
有許多形式的測量需要學習(長度，高度，重量，尺寸，數量)和許多測量的工具，可以將這些測量概念放入日常活動中。
  • 在做飯或烘烤時測量。用量器在測量水或麵粉時，可以向孩子介紹整數和分數的概念，問他「你能裝半杯嗎? 你能裝一茶匙嗎?」
  • 在超市玩重量比一比。在超市取兩件不同的物品，問孩子哪一個比較重，讓孩子學習如何理解重與輕的概念。
  • 腳掌大小比一比。父母將腳放在孩子的腳旁，問孩子哪隻腳比較長。也可以利用捲尺實際丈量長度。
Reference :
10 Playful Math Activities
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「數學王子」高斯的生平與數學貢獻，難以想像的超級天才 由 蘋果仁 · 四月 30, 2018

「數學王子」高斯的生平與數學貢獻，難以想像的超級天才

由  · 四月 30, 2018
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40歲泥水匠請小一數學家教 「我沒孩子，要教的對象是我」

40歲泥水匠請小一數學家教 「我沒孩子，要教的對象是我」

2018-05-24 09:55好讀周報
圖為工地工人辛勤工作，非當事人。聯合報系資料照／陳柏亨攝影
圖為工地工人辛勤工作，非當事人。聯合報系資料照／陳柏亨攝影

「能不能幫幫我？要教的對象是我！」

那年，我大學剛畢業，在國中當實習生，隔年就要當兵。想利用實習期間把家裏的負債全部還清，所以晚上到處兼家教，有時候一個晚上還要連趕兩場，回到家時都近子夜了！
有一天，拖著疲憊的身軀，停好摩托車後上樓，恰好遇見住在我家樓上的先生拎了兩包垃圾要丟。那位先生約四十多歲，溫文有禮，側著身子讓道給我通過。
他看著我，露出狐疑的眼神，說：「現在才下班？做夜班的嗎？」
「喔……，我不是上夜班，是上家教！」我也禮貌性回應。
也許是我的年紀太輕，不像是個國中老師，他一付不可思議的樣子，繼續追問：「你在教國中嗎？」
「是呀！」我漫不經心應著。
「那你能不能幫幫我？」他還是拎著兩包垃圾，寸步不移。我正要回家休息，實在不想談工作的事，而且時近子夜，只想儘快回到家，於是回道：「我的時間很滿，已經排不出多餘的時間，所以很抱歉。」
「老師，請您考慮一下，就在樓上……，每次半小時也可以，有空就上來。」
我看他殷切的態度，就問了一下：「孩子多大？國中幾年級？」
他說：「我沒孩子，要教的對象是我！」
換成我傻眼了！我看著他，說：「別開玩笑了！我要回家休息，借過一下！」
他讓我過去後，還是不死心，拎著兩袋垃圾，跟到我家門口：「我很正經，沒有開玩笑，請老師好好考慮一下！」
隔天，回到家又七晚八晚了。媽媽一看到我就說：「樓上送來一盒水果，說什麼請你去教課。」
「樓上的？」我就有點困擾了。
「是呀！特別送過來，人很客氣。他說你回來，可不可以上去坐一坐。」
我帶著水果禮盒，爬到樓上，按了門鈴，要退回禮盒。他出來應門，很客氣把門打開，請我進門坐坐。環顧四周，潔淨整齊，沒有多餘的家具和其他娛樂設備，連電視都沒有。也許這就是羅漢脚的生命荒原吧！
我說明了來意，他再三請托，實在難以回絕，只能用鐘點費來嚇退他！「一般家教的鐘點是很貴的，請您還是要再三考慮！」
「老師，費用不是問題，只要您願意來……」
他還是非常堅持要上課，這樣的年紀，對學習還這麼有動機，就幫幫忙吧！
「要教那一科？」
「數學。」
「你想學什麼範圍？」
「就國中範圍……」
「好！如果要上課，我要調整一下我的時間，等我安排好，再跟你聯絡。」說完，我就起身離開。
他幫我開門，又轉身拿起水果盒。「老師，這是我的一點點心意，您一定要收！」
我又抱著水果盒回家，一進門媽媽看了一眼就說：「能幫就好好幫他吧！大家都是鄰居。」我無語點點頭。

年紀最大的學生 學著年級最小的教材

上課前，我準備了一本數學總複習的講義，厚厚的一本，內容分量應該足夠。
他倒了一杯熱茶，放在我的旁邊，坐定後說：「老師，我們開始吧！」
從第一章，整數的四則運算開始。我開始講解運算原理……
「老師，等一下！能不能……」
我停下來，看著他等他提問。
「我們能不能從更基礎的地方開始上？」
我點點頭，說：「可以呀！你覺得這部分太難了嗎？還要再更基本一點？」
「是呀！老師，我準備了自己的教材，只要在旁邊看著我，我做錯了，您再教我。」
我看著他認真的表情，點點頭：「好吧！」
他從桌子底下，拿出了他準備的小學教材，有好幾本，從小一到小六，全部都有。
他先翻開第一本，小一算術，第一頁認識數字：連連看，1和一個蘋果相連；2和二隻天鵝相連……他握筆的姿勢不是很正確，我們用食指和拇指夾住筆桿，他是用食指和中指一起當作為我們食指的功用，所以下筆比較不靈活，但力道很重，字體看起來蒼勁，一筆一劃中規中矩。
看他非常認真、完全沉浸在自己的數學世界裏，用筆尖逐字逐字讀著題目，嘴裏輕輕唸著……，我突然覺得好感動，能收到年紀最大的學生，正在學著年級最小的數學教材。
我一邊哈著熱茶，水霧朦朧了我的近視鏡片，一邊看著他身上淡淡的彩色光圈。
「怎麼會想要學數學？而且是從頭開始？」
「因為我要考證照，乙級技術士的執照。」
「要考數學？不是考術科就好了嗎？」
「老師，要考學科和術科，術科我沒問題，學科只差數學沒過。」
「你是學什麼的？考什麼證照？」
「我是泥水匠，所以要考的是建設方面的技術士。學科只考國文和數學，數學我上次沒考過，才會請老師幫忙。」

媽媽過世放掉功課 是我自己把自己困住

「泥水師傅嗎？為什麼要考呢？不考也可以，不是嗎？」
「我待的建設公司跟我說，如果我拿到證照，就可以讓我當監工，每天到現場監督其他泥水匠工作就好了，也算是提拔我的機會。」
「喔……，原來如此。」
大約過了半個小時，我們已經結束小四課程，進入小五課程！要翻開小五課程時，他說：「我就是在這裏放掉的……，老師，你能不能從這裏開始上？」
我看著教材，點點頭說：「沒問題！」
從分數的基本概念、表示方法、圖示，進行分數的四則運算，一步一步進行下去。
他很訝異看著我說：「老師，你都不用看書，就知道要教什麼？」
「是呀！你聽得懂嗎？」
「可以，老師講解得很清楚，以前我都不知道數學這麼簡單！」
「你剛剛說，從這個地方放掉的，是什麼意思？」
「我在國小五年級的時候，媽媽突然過世了，所以就開始自暴自棄，把功課都放掉了，每天上課都在睡覺。老師怎麼叫，我都不理。」
「國中也這樣睡嗎？你不是讀高職，也畢業了？」
「是呀！我的學生生活，就這樣荒廢掉了。高職，那裏根本就是學店，只要有上課，就可以畢業。」
「你爸爸都沒有處理你的問題？」
「有呀！就是很用力處理，所以我們的父子關係很糟糕。再加上……，他另外娶了一個媽媽，帶了兩個弟弟過來，對我的問題就愈來愈無力……，其實現在回想起來，是我自己把自己給困住了！只是覺得自己很不幸……」
後面半個小時，我們又上完了小五和小六的課程。要下課前，我看著他說：「上這一小時的課，讓我覺得很心虛，用這麼貴的鐘點費來學小學課程……」
「老師！千萬不要這麼想，我自己覺得很值得呀！以我這種年紀要學，本來就很難找到老師，而且還要老師從小學課程開始教，根本是不可能的事！」
「我覺得你自己就讀得起來，不用請家教啦！你讀一讀，有什麼問題，到樓下來問我就好，不用花錢的。」
「老師，我們還是正式一點比較好，我怕我自己有惰性，沒辦法堅持下去，我們固定時間上課，寫功課，這樣我才能學得好。」
「好吧！那我們就繼續下去……」我想好人做到底了！
「謝謝老師！」他笑得很燦爛！

該學習時不好好學 現在想學代價125倍

第二次上課，正式進入國中教材。我讀了一下他們要考的學科考題，並不艱深，只是一些記憶性的定義、觀念或簡單的計算，幾何也不難，稍稍切割一下面積、周長，很容易就可以得滿分。所以，我覺得我這個泥水匠學生，數學程度真的只有小學而已。
我打算用原先準備的國中數學複習講義，從裏面挑些基本、平易的題目講解，再從測驗題裏檢測他瞭解的程度。
每週上課二次，每次一個小時，這樣持續上課到我入伍為止，總共上了三個月，這個案子我進帳了三萬塊！基本上，國中數學各個部分都接觸到了，他也都有基本運算及分析能力。
最後一次上課時，都沒有上正課，他和我聊了整節課，大部分的時間都是他在講，我細細傾聽……
「老師，我會算學費的問題，現在你在學校上輔導課，每節課收多少錢？」
「一節課400元。」
「一班大約有多少個學生？」
「40個左右。」
「那就一個學生上一節課，只要花10塊錢。」
他用心在計算紙上列出算式。接著……
「算算我的，一個月上課四週，每週兩個小時，每個月8小時，一萬元……，一萬除以8，1250，一千兩百五十塊，是你學生的125倍！」
我點點頭，不知是稱許他計算正確，還是贊同他的說法，說：「家教的鐘點很貴！」
「老師，你一定要告訴你的學生，要好好學，不要像我這樣，該學的時候不學，現在想學了，代價是那麼高！每天都要累得像狗一樣，晚上要拖著疲累的身體上課。」
「有些事錯過了，想追還是可以追得回來的！」我點點頭。
「是呀！希望不會太遲了，永遠都會有機會的……」他不勝唏噓。
接下來我去當兵，一個月之後休假回家。
媽媽告訴我，泥水匠學生考上了執照，又送了一大盒水果禮盒來答謝，他說很感謝在這個時候能遇到生命中的貴人！之後他就搬走了。
退伍後，我回到原來的學校服務，成為正式的老師。每年遇到新的班級，我都會信守諾言，跟我的學生講這個泥水匠的故事！一講就講了二十幾年，轉眼間，我也跟當年那個泥水匠一樣的年齡了！
最近觸動內心深處的是：
當年泥水匠會想要把放掉的數學追回來！
現在的我呢？
有沒有什麼是早就放掉的？
有沒有勇氣去追回來？
還是早就忘得一乾二淨了。

文／林志鴻
作者簡介：林志鴻老師，在高雄市立小港國民中學擔任理化教師兼導師，擁有26年教學經驗。
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