2015中考數學複習：平面幾何六十個定理
北京新浪網 (2015-05-27 15:01)
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1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)
2、射影定理(歐幾里得定理)
3、三角形的三條中線交於一點，並且，各中線被這個點分成2：1的兩部分
4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交於一點
5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。
6、三角形各邊的垂直一平分線交於一點。
7、三角形的三條高線交於一點
8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足為L，則AH=2OL
9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。
10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，
11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位於同一直線(歐拉線)上
12、庫立奇*大上定理：(圓內接四邊形的九點圓)
圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。
13、(內心)三角形的三條內角平分線交於一點，內切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的一半
14、(旁心)三角形的一個內角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交於一點
15、中線定理：(巴布斯定理)設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)
16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直於CD
18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位於將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上
19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD
20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，
21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構成的三角形也是正三角形。
22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。
23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1
24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)
25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。
26、梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交於點P、Q、R，則P、Q、R三點共線
27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交於點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28、塞瓦定理的應用定理：設平行於△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交於S，則AS一定過邊BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理：(略)
30、塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交於一點
31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交於一點。
32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)
33、西摩松定理的逆定理：(略)
34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關於△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。
35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點P關於△ABC的鏡象線。
36、波朗傑、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關於△ABC交於一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏)。
37、波朗傑、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關於△ABC的西摩松線交於一點，則A、B、C三點關於△PQR的的西摩松線交於與前相同的一點
38、波朗傑、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其餘三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。
39、波朗傑、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關於△ABC的西摩松線，如設QR為垂直於這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關於△ABC的西摩松線交於一點
40、波朗傑、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關於關於△ABC的西摩松線交於一點。
41、關於西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關於該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。
42、關於西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西摩松線，這些西摩松線交於一點。
43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。
44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線
45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異於A、B、C的兩點，P點的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線
46、他拿定理：設P、Q為關於△ABC的外接圓的一對反點，點P的關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關於圓O互為反點)
47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關於這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。
48、九點圓定理：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點［連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點］九點共圓［通常稱這個圓為九點圓［nine-point circle］,或歐拉圓，費爾巴哈圓。
49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其餘一點處的切線所引的垂線都交於一點。
50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向餘下兩點的連線所引的垂線共點。
51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關於四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關於四邊形ABCD的康托爾線。
52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關於四邊形ABCD的康托爾線交於一點。這個點叫做M、N、L三點關於四邊形ABCD的康托爾點。
53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關於四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關於五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。
54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。
55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。
56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。
57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。
58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交於一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。
59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交於一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。
60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。
60、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線
來源：中考網
詳全文 2015中考數學複習：平面幾何六十個定理-生活消費新聞-新浪新聞中心 http://news.sina.com.tw/article/20150527/14450561.html
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