【數學力】買屋或租屋，二十年後哪個換來一場空？
圖／聯合報系資料照片
不同世代對同一件事的看法常常差很多，這是不同世代都有的問題。
好比說房子，以下的對話像迴力鏢一樣，時不時出現在我與家母之間：
「存夠頭期款就趕快換房子吧，這家也住了好幾十年。」「怎麼可能存得夠……況且現在房價高，想住新房子不如去租一間吧。」「幹嘛浪費錢。拿租金拿去付貸款，十幾年後貸款付完，房子就是我們的了。租金付再多，房子還是房東的。」「租金一個月才多少錢，貸款一個月多少——」「但房子是你的不是房東的。」
對話在這裡陷入迴圈，毫無結論。我認為「租金比貸款便宜」，家母認為「貸款換到的是房子，租金換到的是空氣」。沒有人成功說服對方，因為我們都挑對自己有利的點講，不正面回答對方的問題。某種程度上跟候選人辯論會很像，差別在於我們是為彼此著想，候選人是為選票著想。
前陣子，朋友給我一個紐約時報的互動式網站，使用者能根據自己的狀況，算出租屋和買屋各自的開銷。我才發覺這其實是個比大小的數學計算問題。於是我花了些時間（其實是不少時間），逆推出網站裡的數學公式，和聯合報新媒體部合作，做了一套專屬於台灣版本的「租屋與買屋的大抉擇」。
▎居住成本與等比數列
首先，比起單純比較租金與月繳貸款，我們採用另一個指標——居住成本，意思是住在這間房子N年下來，總共得付多少錢。
租屋的居住成本比較簡單，就是房租和一些相關開銷，以及倘若將房租和相關開銷拿去投資時的預期投資獲利（也就是機會成本）。買屋的居住成本比較複雜，包括頭期款、貸款、仲介費、這些費用對應的機會成本。
乍看之下買屋的開銷很大，絕對不是房租能比擬的。
此乃我的租屋優勢論基礎。
然而，家母的買屋優勢論提到，這些開銷最終將化做一間房子。
因此，我們得把開銷的總和扣掉N年後房子的市值，才能得到買屋的居住成本，讓買屋跟租屋站在同一個基準點上比較。
計算居住成本所需要的數學知識，最難的是「等比數列」，除去算式繁瑣了些，拿來做高中考試題目我覺得也很適合（自己不用考了才這樣說）。稍微複習等比數列，假設你有100元，投資了一個月獲利100%的股票，第一個月結束時有200元，第二個月再把全部金額丟進去變成400元，第三個月變成800元……一切順利的話，每個月帳戶裡的數字越來越大，你算了算，只要2年7個月，就能超過郭台銘成為台灣首富。
這就是「首項100，公比2」的等比數列。
數學的嘮叨與白日夢到此為止。
▎居住成本的關鍵在於未來房市
各位有玩玩看網頁嗎？
當初，我整理好excel表（一開始裡面有很多錯，辛苦新媒體的各位了……）後，自己玩了幾次，發現買屋跟租屋的抉擇關鍵在於「未來房市」。以大安區為例，當房市看好，在台灣目前房價飆漲的前提下，只要房價每年稍微增加，買屋便比租屋划算。
過去幾年的台灣房市符合這個條件。
當越來越多人發現租不如買，便形成了房市的正向回饋，房價持續被推高，說是經濟火車頭都太謙虛，根本是台灣經濟的火箭頭。
然而火箭升空後，我們漸漸發現這火箭頭恐怕是紙扎的。
《精準預測》裡對於過度的正向回饋有一段很棒的譬喻：
你經營一個賣檸檬水的攤子。你把檸檬水的價格從25分錢漲到2塊半——但銷售量沒有下降，還加倍了。到最後，你會每杯檸檬水收費四萬六千美元，美國人一年的平均收入，而全部三億的美國人都會到這條街排隊，想買一杯來喝。
正向回饋的關鍵在於，人們相信眼前是個即將發生的美好未來，他們買檸檬水不是用來喝的，而是準備去旁邊擺攤，賣給下一個人。
但一個國家是不可能靠全民賣檸檬水就經濟富裕的，頂多只是皮膚變得很光滑而已。
今年台北市與新北市的房屋年增率已經跌到0%與-2%，就是最好的證明。
更何況，這個0%和2%是指前後兩年房價的趨勢，是指同樣條件的一間屋子在這兩年的價格變化。當你付頭期款買下一間房子的瞬間，每分每秒，就像新車一落地就開始折舊，每一年價格都會變得更低。是因為這幾年房市太好了，我們才一直以為房子可以放在那邊永遠保值。
除非你打算買了放上幾百年，讓它變成古蹟，那就是另一回事了。但那樣你可能得買教堂或是廟，而且得小心有一天政府或建商還是會突然開怪手把它輾平，或意外失火。
▎量化的居住成本比較
以大安區20坪、居住20年的例子來看。當固定所有數字，只調整房屋增值率時，我們可以得到以下這張圖：
這張圖告訴我們，當房市很好，住了20年後賣掉的中古屋，賺到的差價不僅可以抵銷貸款利息，甚至可能賺錢。以4%來說，房價約漲2.2倍，買下這棟房子，相當於帶來每個月4.6萬的收入。
反過來說，當房市持平且假設1%的折舊率，房屋增值率即為-1%，平均每個月就得付出5萬多的代價。因為20年後的房價約只有當初入手的8成，總開銷除了貸款利息外，還得算入虧損的20%房價。倘若跌幅高達4%，20年下來跌至原來的房價4至5成，這時每個月住房的代價將近8萬。相對地，「月租金三萬元起跳，每年成長1%」的租屋方案，20年下來連著機會成本，平均只需要支付每月3.6萬的居住成本。
事實上，在不考慮機會成本的情況下，買屋與租屋的抉擇即是「租金支出」與「貸款利息支出和房屋折舊」的比大小。倘若後者較高，就是租屋划算；反之則是買屋划算。台灣近幾年的房屋不僅不折舊，還坐地起價，導致「利息支出和房屋折舊」的總和可能為負 （住了幾年轉手賣房還賺錢）。但當房市不再看好，高房價的高貸款利息，加上房市不景氣時折舊的負擔。純粹以數字來看，租屋就是相對合理的選擇。
但如同房市看好時，正向循環的引導下人人積極買房；房市走壞時也會出現類似的循環：越來越多人發現買不如租，房子賣不出去，房價下跌，更多人發現買不如租，房價持續下探。
▎能分析日常生活的，才是數學
不管是這篇文章或是互動網頁裡的數字，都是在做了很多假設後才能算出來的，真實狀況絕對更加複雜。然而，我想說的是，很多生活中的問題看似沒有標準答案，數學也沒辦法像投顧老師那樣告訴你何時該進場，但至少我們可以試著用數學分析，靠著數字幫忙，讓自己更了解整個問題，讓我與家母這種從不同想法切入的人能不再各說各話，得到共識。
整個分析的思考過程才是「數學」。考卷上考的，只是思考後程序性的「計算」罷了。
最後，互動網頁還有一項功能，當各位輸入想住的坪數、能支付的頭期款、每月能繳的貸款，想在哪個縣市居住後，系統便會建議哪個區域的房子最符合你的預算。
從我的個人經驗來說，那是個搖醒人美夢的功能。
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賴以威
《聯合報》、《國語日報》、《潮人物》專欄作家。作品亦散見網路各大媒體。師大附中，台大電機博士，長庚大學助理教授。信奉數學大師約翰．馮．諾伊曼的名言：「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.」
最新著作《超展開數學教室》，散文集《再見，爸爸》，譯有《平面國》。臉書，數感實驗室 Numerac...
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