波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
緊接著，他對這些「誡條」逐一進行道德喊話：
１.要明確地預測某種教學方法是否奏效幾乎是不可能的；然而有一件事是可以確定的：如果你對自已所教授的科目感到厭煩，那麼你也將會使你的聽眾感到厭煩。以上應足以說明十誡中的第一誡：對你所教授的科目有興趣。
２.若教師對所教授的科目沒有興趣的話，他也將無法使學生去接受此一科目，因此，興趣是一個教學不可或缺的必要條件；但光有興趣是不夠的，當你對一個科目不瞭解時，再多的興趣、教學方式也無法讓你清楚地對學生解釋一個論點或看法。這也應該說明了十誡中的第二誡：瞭解你所教授的科目。
３.甚至在有了興趣、瞭解所教授的科目之後，你仍然有可能是一位差勁或相當平庸的老師。我承認這種狀況雖不常見但也絕非罕有：大部分的人便曾遇過這樣的老師－他們雖瞭解所教授的科目，但在班上卻無法建立與學生接觸的管道。所謂教學應該是教授的一方可以引起他方的學習，因此，在教師與學生之間必須有某種接觸的管道：教師應當明瞭學生的處境、支持他們的目標、理由。這就是十誡中的第三誡：試著去「讀」學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作是學生。
４.前三誡包含了銀好教學的要素，它們共同形成了一種充分必要的條件－如果你對你所教授的科目有興趣、瞭解它，並且可以看清學生的問題，你已經或即將成為一位好老師了；你所需要的就只是經驗了。
經驗是必需的，實際的經驗使你明白在教室中教師與學生的「教」與「學」，讓你熟悉獲取知識與技能的過程－包括學習、發現、創造、瞭解等等許多方面。心理學家已經做過很多有關學習過程的實驗並發表了一些有趣的論點。對一位非常善於接納與理解的教師來說，這些實驗與論點具有剌激的作用；但是就我們這裡主要討論的教育方面來說，它們還沒有完善到可以對教師的教學直接有所助益，因此，教師首先必須倚賴個人的經驗與判斷。
根據近半世紀的研究與教學經驗，以及深入內省後，對於課堂教學所需，我在這裡提出一些我認為對課堂教學極為重要的學習歷程的觀點。有一件事是一再地被強調著：主動積極的學習優於被動消極、「僅僅只是接受」的填鴨式學習；愈積極主動便愈好：學習任何一件事的最佳途徑就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
事實上，在一個理想的教學計畫中，教師像是一位心靈的「助產士」－ 給予學生機會自行去發現亟待學習的事物。而往往因為缺乏時間的關係，此一理想實際上很難達成，但卻可以引領我們通往正確的方向－這就好像沒有人能到達北極星，卻能藉由觀望它而找出正確方向一樣。
５.知識（Knowledge）包括了知識性的訊息（information）和技巧訣竅（know-how）。技巧訣竅是一種技能，它是處理知識性的訊息、善用知識性的訊息以達目標的一種能力；可以說是一連串適當的心智活動，最後會讓我們的工作變得有系統。在數學上，技巧訣竅是解決問題、建構證明、批判診斷解答與證明的能力；比起純粹知識性的訊息的獲取，技能重要多了，因此，對數學教師而言，接下來的第五誡是相當重要的：不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。也正因為在數學教學中技巧訣竅比知識來得重要，「如何教」就比「教什麼」更值得我們去重視了。
６.「先猜測，再證明」－通常發現的過程也是這樣開始的。從經驗當中，你應該知道這件事，而且你應該知道數學教師擁有絕佳的機會去顯示猜測在發現過程中的地位，也因此讓學生銘記思維活動的重要性。關於後者並不（雖然應該）廣為人知，很遺憾地，鑒於篇幅有限的關係，在此也沒有辦法詳盡地討論。不過，我仍然希望在這一方面你別忽略了你的學生：讓他們學習去猜測。粗心大意的學生很有可能作出亳無根據的猜測。當然，我們所要教授的並非亳無根據地亂猜，而是有憑有據、合理地猜測。合理的猜測是建立在明智地使用歸納與類推結果的基礎之上，根本上包含了在科學中扮演重要角色的合理化推理之所有過程。
７.「數學是一個學習如何合情推理（plausible reasoning）的好學科。」這句話簡述了前述法則蘊涵之意，雖然它聽起來陌生且非常新穎；事實上，筆者是相信它的。「數學亦是學習論證推理（demonstrative reasoning）的好學科。」這句話聽起來則很熟悉－它的某些形式幾乎跟數學本身一樣古老。實際上，更真實的是：數學和論證推理是共存的，論證推理遍及於各個科學學門中，同時將它們的概念提升至充分抽象、明確的數學邏輯層次（mathematico-logical level）；在這樣的高層次之下，例如，在日常生活當中，已沒有實際論證推理的餘地了（換言之，已不適合實際論證推理），不過（並不必要去爭辯這樣一個被廣泛接受的論點），除了基本的東西之外，數學教師仍必須讓所有的學生知道論證推理：讓學生學習證明。
８.技巧訣竅是數學知識中較有價值的一部分，比單單只是擁有訊息更有價值。但我們應如何傳授此項技巧訣竅呢？學生可以透過模仿與練習來學得它。當你提出一個問題的解答時，適切地強調其中的教育性的特徵（instructive features）。如果一個特徵值得仿效，那麼它就是具教育性的，也就是說，它可以用來解答眼前的問題，更可以解決其他的問題－愈常用到，便愈具教育性質。但強調教育性特徵的方式，並不只表現於誇讚學生（因為對某些學生反而會產生反效果），更應表現在教師的行為中（如果你有表演天份的話，稍微裝一下效果會更好）。一個適切強調的特徵能將你的解答轉入「範型答案」（model solution）, 藉由讓學生模仿可以解決更多問題的答案也能讓它轉變為一個令人印象深刻的形態，因而法則即是：留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.我希望能夠在這邊指出一些在課堂上容易學到且教師們應該要知道的祕訣。當你開始討論一個問題時，試著讓學生去猜答案。讓那些猜想或甚至敘述臆測的學生陷入進退兩難的情況：他們必須跟隨著求解的過程來看他們的猜測是否正確，且必須要專心一致。這只不過是下列法則（本身是從法則四和法則六的某些部分推敲、拼湊出來的）的一個特殊的情形而已：不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去清測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.有一個學生一行一行地進行一個冗長的計算，我在最後一行看到了一個錯誤，但我住而沒有馬上糾正他。我寧可帶著學生一行一行地檢查：「剛開始蠻不錯的，你的第一行寫對了，下一行也正確了，你做了這個和那個...。這一行真不錯，現在你學得這一行如何呢？」錯誤就發生在這一行，如果學生自已發現了，他便有機會學到一些東西。然而，如果我在發現錯誤後立刻就說：「這裡錯了！」學生或許會感到不愉快，而且再也聽不進去之後我所說的話了。如果我太常立刻就說：「你這裡錯了！」的話，學生很可能會恨我，也很可能開始討厭數學，那我在之前對這個學生所花費的苦心就全都白費了。盡量避免去說：「你錯了！」可能的話，改口說：「你是對的，但...」如果你這樣做的話，你非但不是偽善的而且是通人情的，法則十便隱含了你應該這樣做的說法，我們可以讓它更加地清楚：啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
附記：本文由何耿旭、陳彥宏翻譯，洪誌陽校訂，原刊於《HPM通訊》。茲將該文略加修飾，轉載於此。
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
緊接著，他對這些「誡條」逐一進行道德喊話：
１.要明確地預測某種教學方法是否奏效幾乎是不可能的；然而有一件事是可以確定的：如果你對自已所教授的科目感到厭煩，那麼你也將會使你的聽眾感到厭煩。以上應足以說明十誡中的第一誡：對你所教授的科目有興趣。
２.若教師對所教授的科目沒有興趣的話，他也將無法使學生去接受此一科目，因此，興趣是一個教學不可或缺的必要條件；但光有興趣是不夠的，當你對一個科目不瞭解時，再多的興趣、教學方式也無法讓你清楚地對學生解釋一個論點或看法。這也應該說明了十誡中的第二誡：瞭解你所教授的科目。
３.甚至在有了興趣、瞭解所教授的科目之後，你仍然有可能是一位差勁或相當平庸的老師。我承認這種狀況雖不常見但也絕非罕有：大部分的人便曾遇過這樣的老師－他們雖瞭解所教授的科目，但在班上卻無法建立與學生接觸的管道。所謂教學應該是教授的一方可以引起他方的學習，因此，在教師與學生之間必須有某種接觸的管道：教師應當明瞭學生的處境、支持他們的目標、理由。這就是十誡中的第三誡：試著去「讀」學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作是學生。
４.前三誡包含了銀好教學的要素，它們共同形成了一種充分必要的條件－如果你對你所教授的科目有興趣、瞭解它，並且可以看清學生的問題，你已經或即將成為一位好老師了；你所需要的就只是經驗了。
經驗是必需的，實際的經驗使你明白在教室中教師與學生的「教」與「學」，讓你熟悉獲取知識與技能的過程－包括學習、發現、創造、瞭解等等許多方面。心理學家已經做過很多有關學習過程的實驗並發表了一些有趣的論點。對一位非常善於接納與理解的教師來說，這些實驗與論點具有剌激的作用；但是就我們這裡主要討論的教育方面來說，它們還沒有完善到可以對教師的教學直接有所助益，因此，教師首先必須倚賴個人的經驗與判斷。
根據近半世紀的研究與教學經驗，以及深入內省後，對於課堂教學所需，我在這裡提出一些我認為對課堂教學極為重要的學習歷程的觀點。有一件事是一再地被強調著：主動積極的學習優於被動消極、「僅僅只是接受」的填鴨式學習；愈積極主動便愈好：學習任何一件事的最佳途徑就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
事實上，在一個理想的教學計畫中，教師像是一位心靈的「助產士」－ 給予學生機會自行去發現亟待學習的事物。而往往因為缺乏時間的關係，此一理想實際上很難達成，但卻可以引領我們通往正確的方向－這就好像沒有人能到達北極星，卻能藉由觀望它而找出正確方向一樣。
５.知識（Knowledge）包括了知識性的訊息（information）和技巧訣竅（know-how）。技巧訣竅是一種技能，它是處理知識性的訊息、善用知識性的訊息以達目標的一種能力；可以說是一連串適當的心智活動，最後會讓我們的工作變得有系統。在數學上，技巧訣竅是解決問題、建構證明、批判診斷解答與證明的能力；比起純粹知識性的訊息的獲取，技能重要多了，因此，對數學教師而言，接下來的第五誡是相當重要的：不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。也正因為在數學教學中技巧訣竅比知識來得重要，「如何教」就比「教什麼」更值得我們去重視了。
６.「先猜測，再證明」－通常發現的過程也是這樣開始的。從經驗當中，你應該知道這件事，而且你應該知道數學教師擁有絕佳的機會去顯示猜測在發現過程中的地位，也因此讓學生銘記思維活動的重要性。關於後者並不（雖然應該）廣為人知，很遺憾地，鑒於篇幅有限的關係，在此也沒有辦法詳盡地討論。不過，我仍然希望在這一方面你別忽略了你的學生：讓他們學習去猜測。粗心大意的學生很有可能作出亳無根據的猜測。當然，我們所要教授的並非亳無根據地亂猜，而是有憑有據、合理地猜測。合理的猜測是建立在明智地使用歸納與類推結果的基礎之上，根本上包含了在科學中扮演重要角色的合理化推理之所有過程。
７.「數學是一個學習如何合情推理（plausible reasoning）的好學科。」這句話簡述了前述法則蘊涵之意，雖然它聽起來陌生且非常新穎；事實上，筆者是相信它的。「數學亦是學習論證推理（demonstrative reasoning）的好學科。」這句話聽起來則很熟悉－它的某些形式幾乎跟數學本身一樣古老。實際上，更真實的是：數學和論證推理是共存的，論證推理遍及於各個科學學門中，同時將它們的概念提升至充分抽象、明確的數學邏輯層次（mathematico-logical level）；在這樣的高層次之下，例如，在日常生活當中，已沒有實際論證推理的餘地了（換言之，已不適合實際論證推理），不過（並不必要去爭辯這樣一個被廣泛接受的論點），除了基本的東西之外，數學教師仍必須讓所有的學生知道論證推理：讓學生學習證明。
８.技巧訣竅是數學知識中較有價值的一部分，比單單只是擁有訊息更有價值。但我們應如何傳授此項技巧訣竅呢？學生可以透過模仿與練習來學得它。當你提出一個問題的解答時，適切地強調其中的教育性的特徵（instructive features）。如果一個特徵值得仿效，那麼它就是具教育性的，也就是說，它可以用來解答眼前的問題，更可以解決其他的問題－愈常用到，便愈具教育性質。但強調教育性特徵的方式，並不只表現於誇讚學生（因為對某些學生反而會產生反效果），更應表現在教師的行為中（如果你有表演天份的話，稍微裝一下效果會更好）。一個適切強調的特徵能將你的解答轉入「範型答案」（model solution）, 藉由讓學生模仿可以解決更多問題的答案也能讓它轉變為一個令人印象深刻的形態，因而法則即是：留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.我希望能夠在這邊指出一些在課堂上容易學到且教師們應該要知道的祕訣。當你開始討論一個問題時，試著讓學生去猜答案。讓那些猜想或甚至敘述臆測的學生陷入進退兩難的情況：他們必須跟隨著求解的過程來看他們的猜測是否正確，且必須要專心一致。這只不過是下列法則（本身是從法則四和法則六的某些部分推敲、拼湊出來的）的一個特殊的情形而已：不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去清測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.有一個學生一行一行地進行一個冗長的計算，我在最後一行看到了一個錯誤，但我住而沒有馬上糾正他。我寧可帶著學生一行一行地檢查：「剛開始蠻不錯的，你的第一行寫對了，下一行也正確了，你做了這個和那個...。這一行真不錯，現在你學得這一行如何呢？」錯誤就發生在這一行，如果學生自已發現了，他便有機會學到一些東西。然而，如果我在發現錯誤後立刻就說：「這裡錯了！」學生或許會感到不愉快，而且再也聽不進去之後我所說的話了。如果我太常立刻就說：「你這裡錯了！」的話，學生很可能會恨我，也很可能開始討厭數學，那我在之前對這個學生所花費的苦心就全都白費了。盡量避免去說：「你錯了！」可能的話，改口說：「你是對的，但...」如果你這樣做的話，你非但不是偽善的而且是通人情的，法則十便隱含了你應該這樣做的說法，我們可以讓它更加地清楚：啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
附記：本文由何耿旭、陳彥宏翻譯，洪誌陽校訂，原刊於《HPM通訊》。茲將該文略加修飾，轉載於此。
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
緊接著，他對這些「誡條」逐一進行道德喊話：
１.要明確地預測某種教學方法是否奏效幾乎是不可能的；然而有一件事是可以確定的：如果你對自已所教授的科目感到厭煩，那麼你也將會使你的聽眾感到厭煩。以上應足以說明十誡中的第一誡：對你所教授的科目有興趣。
２.若教師對所教授的科目沒有興趣的話，他也將無法使學生去接受此一科目，因此，興趣是一個教學不可或缺的必要條件；但光有興趣是不夠的，當你對一個科目不瞭解時，再多的興趣、教學方式也無法讓你清楚地對學生解釋一個論點或看法。這也應該說明了十誡中的第二誡：瞭解你所教授的科目。
３.甚至在有了興趣、瞭解所教授的科目之後，你仍然有可能是一位差勁或相當平庸的老師。我承認這種狀況雖不常見但也絕非罕有：大部分的人便曾遇過這樣的老師－他們雖瞭解所教授的科目，但在班上卻無法建立與學生接觸的管道。所謂教學應該是教授的一方可以引起他方的學習，因此，在教師與學生之間必須有某種接觸的管道：教師應當明瞭學生的處境、支持他們的目標、理由。這就是十誡中的第三誡：試著去「讀」學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作是學生。
４.前三誡包含了銀好教學的要素，它們共同形成了一種充分必要的條件－如果你對你所教授的科目有興趣、瞭解它，並且可以看清學生的問題，你已經或即將成為一位好老師了；你所需要的就只是經驗了。
經驗是必需的，實際的經驗使你明白在教室中教師與學生的「教」與「學」，讓你熟悉獲取知識與技能的過程－包括學習、發現、創造、瞭解等等許多方面。心理學家已經做過很多有關學習過程的實驗並發表了一些有趣的論點。對一位非常善於接納與理解的教師來說，這些實驗與論點具有剌激的作用；但是就我們這裡主要討論的教育方面來說，它們還沒有完善到可以對教師的教學直接有所助益，因此，教師首先必須倚賴個人的經驗與判斷。
根據近半世紀的研究與教學經驗，以及深入內省後，對於課堂教學所需，我在這裡提出一些我認為對課堂教學極為重要的學習歷程的觀點。有一件事是一再地被強調著：主動積極的學習優於被動消極、「僅僅只是接受」的填鴨式學習；愈積極主動便愈好：學習任何一件事的最佳途徑就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
事實上，在一個理想的教學計畫中，教師像是一位心靈的「助產士」－ 給予學生機會自行去發現亟待學習的事物。而往往因為缺乏時間的關係，此一理想實際上很難達成，但卻可以引領我們通往正確的方向－這就好像沒有人能到達北極星，卻能藉由觀望它而找出正確方向一樣。
５.知識（Knowledge）包括了知識性的訊息（information）和技巧訣竅（know-how）。技巧訣竅是一種技能，它是處理知識性的訊息、善用知識性的訊息以達目標的一種能力；可以說是一連串適當的心智活動，最後會讓我們的工作變得有系統。在數學上，技巧訣竅是解決問題、建構證明、批判診斷解答與證明的能力；比起純粹知識性的訊息的獲取，技能重要多了，因此，對數學教師而言，接下來的第五誡是相當重要的：不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。也正因為在數學教學中技巧訣竅比知識來得重要，「如何教」就比「教什麼」更值得我們去重視了。
６.「先猜測，再證明」－通常發現的過程也是這樣開始的。從經驗當中，你應該知道這件事，而且你應該知道數學教師擁有絕佳的機會去顯示猜測在發現過程中的地位，也因此讓學生銘記思維活動的重要性。關於後者並不（雖然應該）廣為人知，很遺憾地，鑒於篇幅有限的關係，在此也沒有辦法詳盡地討論。不過，我仍然希望在這一方面你別忽略了你的學生：讓他們學習去猜測。粗心大意的學生很有可能作出亳無根據的猜測。當然，我們所要教授的並非亳無根據地亂猜，而是有憑有據、合理地猜測。合理的猜測是建立在明智地使用歸納與類推結果的基礎之上，根本上包含了在科學中扮演重要角色的合理化推理之所有過程。
７.「數學是一個學習如何合情推理（plausible reasoning）的好學科。」這句話簡述了前述法則蘊涵之意，雖然它聽起來陌生且非常新穎；事實上，筆者是相信它的。「數學亦是學習論證推理（demonstrative reasoning）的好學科。」這句話聽起來則很熟悉－它的某些形式幾乎跟數學本身一樣古老。實際上，更真實的是：數學和論證推理是共存的，論證推理遍及於各個科學學門中，同時將它們的概念提升至充分抽象、明確的數學邏輯層次（mathematico-logical level）；在這樣的高層次之下，例如，在日常生活當中，已沒有實際論證推理的餘地了（換言之，已不適合實際論證推理），不過（並不必要去爭辯這樣一個被廣泛接受的論點），除了基本的東西之外，數學教師仍必須讓所有的學生知道論證推理：讓學生學習證明。
８.技巧訣竅是數學知識中較有價值的一部分，比單單只是擁有訊息更有價值。但我們應如何傳授此項技巧訣竅呢？學生可以透過模仿與練習來學得它。當你提出一個問題的解答時，適切地強調其中的教育性的特徵（instructive features）。如果一個特徵值得仿效，那麼它就是具教育性的，也就是說，它可以用來解答眼前的問題，更可以解決其他的問題－愈常用到，便愈具教育性質。但強調教育性特徵的方式，並不只表現於誇讚學生（因為對某些學生反而會產生反效果），更應表現在教師的行為中（如果你有表演天份的話，稍微裝一下效果會更好）。一個適切強調的特徵能將你的解答轉入「範型答案」（model solution）, 藉由讓學生模仿可以解決更多問題的答案也能讓它轉變為一個令人印象深刻的形態，因而法則即是：留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.我希望能夠在這邊指出一些在課堂上容易學到且教師們應該要知道的祕訣。當你開始討論一個問題時，試著讓學生去猜答案。讓那些猜想或甚至敘述臆測的學生陷入進退兩難的情況：他們必須跟隨著求解的過程來看他們的猜測是否正確，且必須要專心一致。這只不過是下列法則（本身是從法則四和法則六的某些部分推敲、拼湊出來的）的一個特殊的情形而已：不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去清測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.有一個學生一行一行地進行一個冗長的計算，我在最後一行看到了一個錯誤，但我住而沒有馬上糾正他。我寧可帶著學生一行一行地檢查：「剛開始蠻不錯的，你的第一行寫對了，下一行也正確了，你做了這個和那個...。這一行真不錯，現在你學得這一行如何呢？」錯誤就發生在這一行，如果學生自已發現了，他便有機會學到一些東西。然而，如果我在發現錯誤後立刻就說：「這裡錯了！」學生或許會感到不愉快，而且再也聽不進去之後我所說的話了。如果我太常立刻就說：「你這裡錯了！」的話，學生很可能會恨我，也很可能開始討厭數學，那我在之前對這個學生所花費的苦心就全都白費了。盡量避免去說：「你錯了！」可能的話，改口說：「你是對的，但...」如果你這樣做的話，你非但不是偽善的而且是通人情的，法則十便隱含了你應該這樣做的說法，我們可以讓它更加地清楚：啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
附記：本文由何耿旭、陳彥宏翻譯，洪誌陽校訂，原刊於《HPM通訊》。茲將該文略加修飾，轉載於此。
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
緊接著，他對這些「誡條」逐一進行道德喊話：
１.要明確地預測某種教學方法是否奏效幾乎是不可能的；然而有一件事是可以確定的：如果你對自已所教授的科目感到厭煩，那麼你也將會使你的聽眾感到厭煩。以上應足以說明十誡中的第一誡：對你所教授的科目有興趣。
２.若教師對所教授的科目沒有興趣的話，他也將無法使學生去接受此一科目，因此，興趣是一個教學不可或缺的必要條件；但光有興趣是不夠的，當你對一個科目不瞭解時，再多的興趣、教學方式也無法讓你清楚地對學生解釋一個論點或看法。這也應該說明了十誡中的第二誡：瞭解你所教授的科目。
３.甚至在有了興趣、瞭解所教授的科目之後，你仍然有可能是一位差勁或相當平庸的老師。我承認這種狀況雖不常見但也絕非罕有：大部分的人便曾遇過這樣的老師－他們雖瞭解所教授的科目，但在班上卻無法建立與學生接觸的管道。所謂教學應該是教授的一方可以引起他方的學習，因此，在教師與學生之間必須有某種接觸的管道：教師應當明瞭學生的處境、支持他們的目標、理由。這就是十誡中的第三誡：試著去「讀」學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作是學生。
４.前三誡包含了銀好教學的要素，它們共同形成了一種充分必要的條件－如果你對你所教授的科目有興趣、瞭解它，並且可以看清學生的問題，你已經或即將成為一位好老師了；你所需要的就只是經驗了。
經驗是必需的，實際的經驗使你明白在教室中教師與學生的「教」與「學」，讓你熟悉獲取知識與技能的過程－包括學習、發現、創造、瞭解等等許多方面。心理學家已經做過很多有關學習過程的實驗並發表了一些有趣的論點。對一位非常善於接納與理解的教師來說，這些實驗與論點具有剌激的作用；但是就我們這裡主要討論的教育方面來說，它們還沒有完善到可以對教師的教學直接有所助益，因此，教師首先必須倚賴個人的經驗與判斷。
根據近半世紀的研究與教學經驗，以及深入內省後，對於課堂教學所需，我在這裡提出一些我認為對課堂教學極為重要的學習歷程的觀點。有一件事是一再地被強調著：主動積極的學習優於被動消極、「僅僅只是接受」的填鴨式學習；愈積極主動便愈好：學習任何一件事的最佳途徑就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
事實上，在一個理想的教學計畫中，教師像是一位心靈的「助產士」－ 給予學生機會自行去發現亟待學習的事物。而往往因為缺乏時間的關係，此一理想實際上很難達成，但卻可以引領我們通往正確的方向－這就好像沒有人能到達北極星，卻能藉由觀望它而找出正確方向一樣。
５.知識（Knowledge）包括了知識性的訊息（information）和技巧訣竅（know-how）。技巧訣竅是一種技能，它是處理知識性的訊息、善用知識性的訊息以達目標的一種能力；可以說是一連串適當的心智活動，最後會讓我們的工作變得有系統。在數學上，技巧訣竅是解決問題、建構證明、批判診斷解答與證明的能力；比起純粹知識性的訊息的獲取，技能重要多了，因此，對數學教師而言，接下來的第五誡是相當重要的：不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。也正因為在數學教學中技巧訣竅比知識來得重要，「如何教」就比「教什麼」更值得我們去重視了。
６.「先猜測，再證明」－通常發現的過程也是這樣開始的。從經驗當中，你應該知道這件事，而且你應該知道數學教師擁有絕佳的機會去顯示猜測在發現過程中的地位，也因此讓學生銘記思維活動的重要性。關於後者並不（雖然應該）廣為人知，很遺憾地，鑒於篇幅有限的關係，在此也沒有辦法詳盡地討論。不過，我仍然希望在這一方面你別忽略了你的學生：讓他們學習去猜測。粗心大意的學生很有可能作出亳無根據的猜測。當然，我們所要教授的並非亳無根據地亂猜，而是有憑有據、合理地猜測。合理的猜測是建立在明智地使用歸納與類推結果的基礎之上，根本上包含了在科學中扮演重要角色的合理化推理之所有過程。
７.「數學是一個學習如何合情推理（plausible reasoning）的好學科。」這句話簡述了前述法則蘊涵之意，雖然它聽起來陌生且非常新穎；事實上，筆者是相信它的。「數學亦是學習論證推理（demonstrative reasoning）的好學科。」這句話聽起來則很熟悉－它的某些形式幾乎跟數學本身一樣古老。實際上，更真實的是：數學和論證推理是共存的，論證推理遍及於各個科學學門中，同時將它們的概念提升至充分抽象、明確的數學邏輯層次（mathematico-logical level）；在這樣的高層次之下，例如，在日常生活當中，已沒有實際論證推理的餘地了（換言之，已不適合實際論證推理），不過（並不必要去爭辯這樣一個被廣泛接受的論點），除了基本的東西之外，數學教師仍必須讓所有的學生知道論證推理：讓學生學習證明。
８.技巧訣竅是數學知識中較有價值的一部分，比單單只是擁有訊息更有價值。但我們應如何傳授此項技巧訣竅呢？學生可以透過模仿與練習來學得它。當你提出一個問題的解答時，適切地強調其中的教育性的特徵（instructive features）。如果一個特徵值得仿效，那麼它就是具教育性的，也就是說，它可以用來解答眼前的問題，更可以解決其他的問題－愈常用到，便愈具教育性質。但強調教育性特徵的方式，並不只表現於誇讚學生（因為對某些學生反而會產生反效果），更應表現在教師的行為中（如果你有表演天份的話，稍微裝一下效果會更好）。一個適切強調的特徵能將你的解答轉入「範型答案」（model solution）, 藉由讓學生模仿可以解決更多問題的答案也能讓它轉變為一個令人印象深刻的形態，因而法則即是：留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.我希望能夠在這邊指出一些在課堂上容易學到且教師們應該要知道的祕訣。當你開始討論一個問題時，試著讓學生去猜答案。讓那些猜想或甚至敘述臆測的學生陷入進退兩難的情況：他們必須跟隨著求解的過程來看他們的猜測是否正確，且必須要專心一致。這只不過是下列法則（本身是從法則四和法則六的某些部分推敲、拼湊出來的）的一個特殊的情形而已：不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去清測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.有一個學生一行一行地進行一個冗長的計算，我在最後一行看到了一個錯誤，但我住而沒有馬上糾正他。我寧可帶著學生一行一行地檢查：「剛開始蠻不錯的，你的第一行寫對了，下一行也正確了，你做了這個和那個...。這一行真不錯，現在你學得這一行如何呢？」錯誤就發生在這一行，如果學生自已發現了，他便有機會學到一些東西。然而，如果我在發現錯誤後立刻就說：「這裡錯了！」學生或許會感到不愉快，而且再也聽不進去之後我所說的話了。如果我太常立刻就說：「你這裡錯了！」的話，學生很可能會恨我，也很可能開始討厭數學，那我在之前對這個學生所花費的苦心就全都白費了。盡量避免去說：「你錯了！」可能的話，改口說：「你是對的，但...」如果你這樣做的話，你非但不是偽善的而且是通人情的，法則十便隱含了你應該這樣做的說法，我們可以讓它更加地清楚：啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。
附記：本文由何耿旭、陳彥宏翻譯，洪誌陽校訂，原刊於《HPM通訊》。茲將該文略加修飾，轉載於此。
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