UCLA教授馬諾勒斯庫破解百年數學難題! posted 12 hours ago by 陳宏賓

UCLA教授馬諾勒斯庫破解百年數學難題!

posted 12 hours ago by 陳宏賓   [ updated 12 hours ago ]

(圖為Glen Faught 繪製) 三角化猜想 給定任意一個幾何空間，例如一個球面或者是甜甜圈，有沒有可能把它切成更小的簡單結構呢? 舉例來說，如果給的是二維球面，那麼可以用一塊塊的三角形鋪滿整個二維球面。事實上，任意二維表面都可以用三角形鋪滿。 數學家長久以來感興趣的一個問題是這樣子的: 是不是任何維度上的流形都存在【可細分成簡單結構】的性質。用拓樸學家的術語來說，簡單結構就是指單體 (simplex)，細分成簡單結構即是所謂的 三角化。 在拓樸領域裡，其中一個最著名的難題就是三角化猜想: 任意的流形，都可以被三角化。 流形?! 流行?! 傻傻分不清楚 此流形非彼流行。想略懂略懂的話就看維基百科(轉貼如下)，不想懂的人跳過也不大妨礙閱讀。 “拓樸流形可以視為近看起來象歐幾里得空間或其他相對簡單的空間的物體。例如，人們曾經以為地球是平的。這是因為相對於地球來說人類實在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，儘管知道地球實際上差不多是一個圓球，如果只需要考慮其中微小的一部分上發生的事情，比如測量操場跑道的長度或進行房地產交易時，仍然把地面看成一個平面。一個理想的數學上的球面在足夠小的區域上的特性就像一個平面，這表明它是一個流形。但是球面和平面的整體結構是完全不同的：如果在球面上沿一個固定方向走，最終會回到起點，而在一個平面上，你可以一直走下去。 流形有很多種。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐幾里得空間。其他的種類包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。”                                                                          引自維基百科    三角化有甚麼好處 數學家面對複雜困難的問題時，最常做的就是先把它簡單化，然後去研究簡化過的東西，用它來理解原始複雜困難的問題。把流形三角化就是這樣子的概念，在簡單容易理解的單體上去理解一個巨大又複雜的流形。三角化的另一個好處是可以用來計算在數學上很重要的一個概念: 不變量。 那麼不變量的好處又是甚麼?  不變量可以用來判斷兩個空間是不是相同的(拓樸上)，比方說，有兩個流形，經計算後發現它們的不變量是不相等的，那麼數學家就知道這兩個流形是在拓樸上是不一樣的。(但反過來的推論是不對的，也就是說，兩個流形有一樣的不變量並不代表它們就相同。) 一個非常著名的不變量就是: 歐拉特徵值 (Euler characteristic) = 點數 – 線數 + 面數 二維球面的歐拉特徵值是 2 ，而甜甜圈算出來是 0 ，因此我們可以知道球跟甜甜圈是不同的 (沒錯! 這就是數學家才有的對話 XD)。事實上，在二維的情況下，具有相同歐拉特徵值的流形，都是拓樸等價的；然而，三維以上就沒有那麼好的性質了，也就是說，存在好幾個不同的流形具備相同的歐拉特徵值。儘管如此，三角化仍是一個數學上非常重要的工具。 (圖為 Olena Shmahalo繪製) 三角化猜想在 20 世紀初的時候提出，起先，數學家們大多認為三角化猜想是正確，到了 1950 年代也已經確認其在一維、二維、三維的正確性。然而，隨著時間過去，數學家漸漸意識到...恩恩...代誌不是憨人所想的那麼簡單... 研究發現【高維度空間缺少了許多低維空間有的漂亮性質】，於是，就有數學家開始懷疑，三角化猜想在四維以上的正確性。懷疑歸懷疑，當時也沒有人能夠提出證明。 一直到了 1982 年佛列德曼 Michael Freedman 首先建構出一些【無法用一類特殊方法三角化的四維流形】，才總算有了些微證據，這個工作導致的後續研究也讓他破解了鼎鼎大名的四維的龐加萊猜想，因而得到了 1986 年的菲爾茲獎 (至於三維的核心問題，最終就是由那位在 2006 年拒領菲爾茲獎的俄國數學家佩雷爾曼證出)。 果不其然，不久之後，耶魯大學的數學家卡森 Andrew Casson 就證明了這些四維流形都無法被三角化。三角化猜想的正確性就此夢碎。美中不足的是，佛列德曼和卡森的工作並沒有辦法推廣到五維及五維以上，因此，數學家的工作還仍未完結… 哈佛超新星 馬諾勒斯庫 Ciprain Manolescu 進哈佛讀大學時就是個校園風雲人物，原因是他在 1995 ~ 1997 年，連續三屆國際奧林匹亞數學競賽，                            滿分!!!                               滿分!!!                                         滿分!!!因為太震驚了，所以要說三次。 完美又卓越的成績，不只前無古人，至今也無來者，其中1996年還是當年唯一滿分。 馬諾勒斯庫回想起三角化猜想的第一次接觸，是 2000 年左右還在哈佛當研究生的時期。但即使是像他這樣子的超凡異數，選擇證明一個百年數學難題當作博士畢業論文的行為，也是會被當作瘋子的。因此，他轉而研究另一相關主題 Flore homology，十年來的研究重心幾乎全放在那裡，偶爾才想想那個幾無線索又念念不忘的三角化猜想。 直到 2012 年底，馬諾勒斯庫(現為UCLA教授)才突然驚覺，原來過去從學生時代開始一直到現在所建構的理論，就是破解三角化猜想的必要關鍵。窺破玄機之後，本身是工作狂的馬諾勒斯庫開始馬不停蹄日以繼夜的思考再思考，很快地就發了篇論文 (2013 年 3 月投稿，2014 年 2 月最新版)，證明三角化猜想錯得非常厲害: 當 n>4，也都找得到無法被三角化的 n 維流形。 他的證明，不僅將個人學術地位推向高峰，同時也創造了一種新的強大工具，提供了破解其他拓樸難題的重要契機。 作者簡介 陳宏賓 － 現任職中研院數學所研究學者。 2006年國立交通大學應用數學博士畢業，投入組合數學領域相關之研究，主要研究興趣為群試理論、圖論及最優化分解。2013年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書（與 Uriel Rothblum 教授和 Frank K. Hwang 教授合著）。數學科普素人，憑著一股萬一中年失業了說不定有機會到壹周刊當狗仔熱血，創立 UniMath 電子數學媒體。

【全世界最陡的一條街】Lonely Planet 孤獨星球國際中文版

Lonely Planet 孤獨星球國際中文版新增了3 張新相片。

9小時 · 

【全世界最陡的一條街】

位於紐西蘭但尼丁的鮑德溫街（Baldwin Street），是獲金氏世界紀錄認證過「全世界最陡的街道」。它最陡處的坡道大約傾斜19度，換個方式說，你每在上頭走上2.86公尺，高度就會提升1公尺。這段最陡的坡道，只能鋪水泥而不能鋪柏油，以免天氣太熱的時候，融化的柏油最一路流下斜坡去。

鮑德溫街之所以會那麼陡，完全是出自人為錯誤。當初這條街是由人在倫敦的計劃者所規劃出來，他們只看平面地圖，沒有考慮到實際地形的高低起伏，最後硬著幹，就蓋出這樣一條筆直但陡峭到不合理的街道。（一般來說，要在這樣一處陡坡蓋路，起碼要像登山鐵道一樣，用之字型迂迴而上，讓坡度變得比較緩和。）

不過如今鮑德溫街的居民倒是很懂得苦中作樂，甚至把最陡街道的封號當作一種榮耀。每一年，當地都會舉辦一場競賽，看看哪位參賽者能以最快時間來回跑完整條街；此外，還有一些創意比賽，比如將成千上萬顆附有編號的圓形巧克力糖從街道最上方滾下，看看哪一顆最先到達終點！

圖片來源：wikipedia、www.tripadvisor.es、sandalroad.com

2015.04‎ > ‎ 用數學逃出密室 posted 12 hours ago by 陳宏賓

2015.04‎ > ‎

用數學逃出密室

posted 12 hours ago by 陳宏賓   [ updated 12 hours ago ]

最近實境密室逃脫遊戲越來越盛行，這兩三年來，台灣大大小小的逃脫少說也有辦過兩百場，而且梗一直不斷的推陳出新，新工作室也持續地成立。就連柯P競選市長時，也曾帶著團隊挑戰過密室逃脫。 在密室裡，常常需要「翻找線索  -> 解出謎題  -> 打開寶箱或門」。寶箱上的鎖，若是鑰匙鎖，多半是利用現場工具來取得鑰匙；此外，最常見的，就是密碼鎖了，因為密碼鎖可以跟謎題配合，計算出密碼來解出。 提到密碼鎖，筆者小時候受馬蓋先的影響，對解鎖非常感興趣，每次看到朋友的腳踏車有下面的這種鎖時： 就會很興奮的跟他說：「我可以很快的把你的密碼找出來」。在我真的說出他們的密碼後，他們就開始追問我怎麼解的。我告訴他們：「就一組一組慢慢試就可以了」。他當然不會相信。那筆者到底怎麼猜出密碼的呢？ 就一組一組慢慢試就可以了！ 其實方法很簡單，就從 1234, 1235, 1236, 1237, 1238, 1239, 1230, 1245, 1246, …一組一組試即可，而且每次大約三四分鐘就可以試出結果。筆者當時只有國中，並沒有學過排列組合，所以對於每次都這麼快可以試出來，也是非常訝異。 當時的我，想說「第一碼有 10 種選擇，當試第二碼的時候剩 9 種選擇，第三碼剩 8 種選擇，最後一碼剩 7 種，所以總共 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 組號碼」，若試一組要花 2 秒鐘，假設平均試到一半會試出來，也要 2520 x 2 = 5040 秒，差不多要 1 個多小時，怎麼會每次只要三~四分鐘呢？ 難道，我是賭神再世，運氣超好嗎？! 密碼鎖的對稱性 後來我 觀察 到，當這個密碼鎖「正面按下四個鈕」時，其實相當於「背面按下六個鈕」，所以四位密碼，跟六位密碼的數量應該要一樣多才對，但如果根據之前我的算法，六位密碼卻要 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151200 組，而且最不合理的是若十位密碼竟然要 3628800 組。因此，可以 歸納 出 我的算法一定有錯！ 後來才想到，密碼 1234 跟 4321、1342、…這些都是一樣的，並沒有順序的差別，所以要把重覆的扣掉，成為(10 x 9 x 8 x 7)/(4!) = 210。這也驗證了四位數密碼跟六位數密碼的數量 (10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5)/(6!) = 210 是一樣的。這其實是高中數學中排列組合的一個重要定理： 如果看數學式子讓你頭昏，那麼請你從另一角度，看看這式子的數學意義: n 個物品拿出其中 m 個的方法數 = n 個物品拿出其中 n-m 個的方法數 是不是比較可愛了呢! 什麼！！這個鎖竟然只有 210 組不同的密碼，一組一組試的話，試 105 組就有 50 % 的機率可以試出來，若試一組耗時 2 秒，差不多 3 分鐘多一點就可以解開; 最糟最糟 210 組全試也不過 7 分鐘以內。 上面是舊式十選四的密碼鎖，只是單純的卡榫型式，按一陣子，按鈕容易鬆動，所以已經停產，目前市面上比較常見，也是實境逃脫密室最常用的鎖是下面這種： 它是從 1~8 中選四位出來當密碼。事實上它只有 70 組不同的密碼而已，平均試一分鐘左右就可以試出來了。因此，在密室中，遇到了這種鎖的候時，一般來說，「翻找」加上「解謎」的時間，大概也要六、七分鐘；何況有時，密室創作者會做線性安排，要先解出 A，才能解 B，然後才能得到此鎖的線索，這時解開此鎖，就不是十幾、二十分鐘可以完成的了。此時當然是二話不說，立刻暴力解才是最省時的做法。若是像右邊這種「十選五」的鎖，其實也只有 252 組，五分鐘應該沒問題。 另外還有一類的密碼鎖：   由左至右分別是 1000 組、10000 組、100000 組，這類的鎖若完全靠暴力試的話，投資報酬率就非常低了。但也不是完全沒辦法，以四位數的鎖來說，若玩家只從線索推得了密碼的四個數字是 2、3、7、9，但卻一直推不出順序的話，其實也只有 4! = 24 種選擇，用試的其實也很快。若是像 2、3、3、7 這種有重複的話，就更少組了。另外，有時玩家只推測出前三位數，第四位一直找不出來時，也是可以用試的。 故事只到這裡嗎？其實這只是個開始！ 格雷碼 Gray Code 當我們在嘗試解出「十選四」的密碼鎖時，1234 -> 1235，只需改變鎖頭上，4 與 5 兩個按鈕狀態即可，但是當試到 1890 時，下一組是 2345，卻要改變到 8 個按鈕。因此，其實試每一組密碼花的時間並非是一樣的，有的可能要花比較久的時間才行。 那怎麼樣才會最省時呢？ 數學家、密碼學家早已解決了這個問題。舉一個比較小的例子來說明，「五選二」的密碼鎖，共有十組密碼。 12->13->14->15->23->24->25->34->35->45 讀者可以數一下，這樣總共要改變 22 次按鈕才能試完所有的情況。若改成下面的順序： 12->13->23->24->34->35->45->14->15->25 只要按 18 次按鈕，即可試完所有的情況。 而且這已是最少的次數了，因為每換一組密碼至少要 2 次按鈕。從上面可以看出，字典序(lexicographic order)的方式，雖然可以試完所有的密碼，但並非最快。最快就是每試一組密碼只需要按 2 次按鈕，在密碼學上，這種順序稱作「等權重格雷碼 (Constant Weight Gray Code)」。 另外，若知道某個密碼鎖的密碼是由「1、2、3」組成，但不知道順序的時候，也有同樣的問題。一般我們也是會用字典序的方式來嘗試所有組合： 123->132->213->231->312->321 上面的流程中，132->231 時三個位數都要調整，231->312 時也是，其餘的都是改變兩個位數，但這樣六組密碼試下來，總共改變了 12 個位數。但如果換下面的順序： 312->132->123->321->231->213 這樣，每次只要調整兩個位數(達到最小值)，就可以試完全部的密碼。 我們再仔細觀察，上面這個例子，在 123->321 時，是交換第一位與第三位，如果有辦法每次都只交換「相鄰」兩位數，就可以試完所有排列的話，不就更省時了嗎？下面這個例子就是： 123->213->231->321->312->132 這是著名的「強森托特演算法(Johnson-Trotter algorithm)」，它與格雷碼，或是排列圖上的漢彌爾頓圈也有關係。 格雷碼的應用非常廣，除了解決電子訊號傳遞的問題外，在「九連環」、「河內塔」等數學遊戲上也都與格雷碼有關。我想，這部份就此打住，否則大家心中可能就不只籠罩著<格雷的五十道陰影>了...XD 若讀者沒有時間去嘗試實境密室逃脫的話，其實手機、平板上也有非常多的逃脫遊戲可以玩。當然，在平板上玩，與親身參與實境的 feel 有很大的不同，但在解謎方面，是大同小異的。而且因為是電腦程式，所以會有更多的數學梗出現：解多元一次聯立方程、一筆畫問題、漢彌爾頓路徑、最優分割問題、開關燈問題、完美配對、……等等。筆者推薦兩個個人覺得還不錯的給大家： Doors & Rooms: Apple, Android  Open Puzzle Box: Apple, Android  當我們面臨問題時，其實常常都是正面去迎擊，但往往都會落入謎題設計者的圈套中，此時若能夠利用所學，做個合理的評估，繞道閃過陷阱，反而會更快到達目的地。例如，在密室逃脫時，需要解開某個文學題，才能解開密碼鎖，此時若發現自己應該想不出來，就可以找文學造詣高的隊友來幫忙，或是使用暴力解，或是直接用掉唯一的提示機會。一切都要在短時間做出正確的評估，才能在此分秒必爭的遊戲中，獲得最高的效益。 文末我們來做個小測試，測驗讀者能否跳脫慣性思考。請用四個連續直線段，一筆畫將下圖的九個點連起來。(註：線是沒有寬度的。) 作者簡介 郭君逸 － 國立台灣師範大學數學系助理教授、魔術方塊收藏家 主要研究興趣為組合、圖論、演算法。近年來致力於科普的推廣，喜愛玩各種數學遊戲、益智玩具以及各類型魔術方塊。目前為世界魔方聯盟(WCA)台灣地區認證員。曾開設整個學期的魔術方塊通識課程，跑遍全台進行魔術方塊系列演講。

三大戰略培養孩子的數學智能 北京新浪網 (2015-03-29

三大戰略培養孩子的數學智能

北京新浪網 (2015-03-29 10:26)

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　　家長在早期教育中，應利用一切可以利用的條件，逐步提升孩子的數學智能的水平。

　　孩子思考數學的7個機會

　　★都是關於我——孩子們為知道他們自己的地址和電話號碼而感到自豪。很早的時候，孩子們就能確定他們的年齡。他們想知道他們的高度--多少尺多少英寸。把一個孩子放在稱上，就有機會讓孩子比較英鎊與盎司，重與輕。孩子們可以學會他們穿多大號碼的衣服，並且能判斷那件合身和那件不合身(這是在「空間關係」上的早期訓練)。

　　★做飯——大人每次在準備做飯時，他們要倒水、稱麵粉、分開放置、估計時間和看菜譜。為什麼不讓孩子們參与這樣的活動？在他能倒蛋糕面或看菜譜前，他可以拿個木勺子在塑料碗里攪拌。讓孩子看你是如何按著菜譜一步一步做的，你是如何調控烤箱的溫度的。記住要警告孩子食物太燙不能摸不能吃。

　　★管理錢財——孩子能摸錢、數錢、存錢、把錢分類和在人督導下花錢。領他們逛商場告訴他們買東西必須付多少錢，他們可以節省多少打折錢，這方法固原不錯，但教孩子們關於錢的價值比這更好。隨著孩子長大，當他們做家務活時給他零用錢，讓他們開始學會工作掙錢。

　　★家庭生活——日常生活中培養孩子的數學智能機會很多，只要家長用心，都可以尋找機會訓練孩子。在日常生活中，家長要引導孩子「說」數字。很多孩子在一歲左右就會說一些數字，有些孩子也都喜歡豎起手指來表示他們的年齡，喜歡告訴別人自己已經能從1數到10了。父母要充分利用孩子的這種特點和心理，促進寶寶數學智能的提升。在家中，媽媽引導孩子數一數家中有幾口人，窗戶上有幾塊玻璃，桌子上有幾個盤子等，設定鬧鐘的時間或準備好餐桌都是孩子數數和與數字打交道的機會。爸爸媽媽帶孩子出去時，可以試著把看到的東西數給孩子聽，這樣孩子就會對數字產生基本概念，在不知不覺中就培養了孩子的數學智能。

　　★遊戲——遊戲是孩子喜愛的活動，家長可在簡單有趣的遊戲中不知不覺地培養了孩子的數學智能。在商店購買遊戲中孩子可以持有所得份量。孩子可以對著鍾跑步或者測量他打一個球或扔一個球的距離。幫孩子與鄰居的孩子一起活動和運動比單獨做鍛煉好，孩子在一起有更多的數字練習。

　　數學智能小遊戲：魅力寶寶找形狀。第一步，家長買一套或自製一個上面有凹下去不同形狀(如三角形、圓、半圓、長方形等)的小木板，再配以一些對應大小的三角形、圓、半圓、長方形等。第二步，把這些不同形狀的圖形混在一起，引導寶寶把對應的圖形放在對應的凹下去的地方。第三步，每當寶寶找對一個時，家長及時給予表揚，鼓勵寶寶繼續找下去。在寶寶探索的過程中，家長適時地對各種形狀進行說明。如：當寶寶拿著一個圓形尋找時，媽媽可以說：「哦，寶寶現在拿著一個像天上的月亮一樣的物體」，「它圓圓的」，「它的家在哪裡呢？」當寶寶把它放在三角形孔時，媽媽可以說：「咦，這個家小圓圓進不去呀？」寶寶就會繼續試著探索其它的孔。如此，在家長的鼓勵下，寶寶總會找對的。

　　★裝扮——當孩子在假裝做什麼時，他們常常創造與現實生活一樣的處境，他們可以檢查公交車時刻表，或長途開車要上多少原料。假裝遊戲大多包括數字和數數。別忘了數學概念也涉及在小問題和積木里，孩子在玩搭積木的同時會學到數數、幾何、數學。

　　★旅行——即使一個短途的開車旅行也能給孩子提供與數學相關的經驗。通過車身路過的景色請孩子確定車速是多少。讓他估計一下車子從一處房子到另一處房子要多少分鐘。記住孩子在車後座玩遊戲，他會看到幾種不同顏色的車，象數黃色校車和車牌上的數字；藍色的長貨車和車牌號碼。

　　5個小問號啟發數學思維

　　在每天的生活中，在和孩子一起遊戲時，不失時機地給孩子提出問題，會幫助你的孩子開啟數學思維。

    一問物體有多少。孩子建立數字的概念需要首先學習數與物的對應關係。在孩子數數時，要讓他指著要數的物體一個一個地按順序點數。另外，還要讓孩子理解基數的概念，即：順序數下來的最後一個數字即是物體的數量。這個問題隨時都可以問。數家中的人口，數水果，數玩具，數書等等。

　　二問哪個更大或更高。小孩子很喜歡把物體直接放在一起比大小高低的，因為這就像一個遊戲。提問從簡單開始，逐漸增加難度。比如，先可以比較兩支筆、兩個蘋果、兩本書，這些東西可以直接放在一起進行比較；然後比較門和笤帚哪個高，冰箱和凳子哪個高，這樣的比較中有一件東西可以移動；然後再比較桌子和沙發，兩個窗戶等都不能移動的物體，要求孩子藉助工具(常規的測量工具：尺子，或非常規的測量工具：繩子、鉛筆、凳子等)進行測量比較。

　　三問物體異與同。給孩子兩隻鞋子(從兩雙不同的鞋子中各選一隻)，讓他找出兩者之間的相同與不同；然後，鞋子可以換成襪子、衣服、同類的玩具等等。還可以換一種玩法：給孩子一件東西，讓他找出另一樣東西和給他的這件東西有一處或幾處相同的地方。比如，給他一本書，他可以找出報紙，和書相同都是紙做的；給他一支蠟筆，他也許會找出一件衣服，和蠟筆一樣都是紅色的；等等。孩子在回答這類問題時，需要觀察、比較、分析，然後得出結論，而這些都是今後進行數學學習及科學探索的基本技巧。

　　四問每類有多少。這個問題是對孩子進行分類和數數的綜合訓練。「多少」針對數數；「每類」針對分類，孩子要先對物品進行歸類。和孩子一起清理玩具、衣櫃、廚房裡的儲物櫃時，都是做此類提問的上佳時機。可以把玩具車按顏色、大小、形狀等進行分類並數出各類分別有多少；可以把衣服按顏色進行分類並數出每種有幾件；可以把混在一起的筷子、勺子、刀和叉給孩子，讓他分類並點數。孩子對這種遊戲的興趣超出大人的想像。

　　五問哪組數量多。比較兩組物品的數量多少為孩子將來學習減法打下基礎。家中幾乎所有的物品以及孩子的玩具都可以拿來做這個遊戲。拿出一些物品隨意分成兩組，讓孩子比較哪組多哪組少。還有一種玩法孩子可能會更喜歡：給孩子一些硬幣(數量必須是雙數)讓他來扔，扔完后讓他數一下是正面的多還是反面的多。

　　七種簡易法玩出「數學神童」

　　1、讀有數字故事給孩子聽。在孩子尚未能說話之前，父母就已可以讀書給他聽。在為孩子做數學智能提升時，父母讀給孩子的書本不妨選用一些帶有數字的故事。例如「小明的貓生了五隻小貓，有兩隻是黑色的，一隻是白色的，另有兩隻是小花貓，連貓媽媽一家六口都住在小明的床下」。「今天是老師的生日，六個小朋友都向老師祝賀生日，老師很高興，買了十二個橘子給小朋友分享，每個小朋友都分到了兩個橘子，老師說：『兩個橘子，一個自己吃，留下一個回家送給媽媽吃。』」算術中的數量概念和加減乘除四法的運算，都可透過讀帶數故事的遊戲，介紹給孩子學習能力雷霆萬鈞的大腦。

　　2、利用日常行為陪孩子隨興計數。父母陪孩子上樓梯時，可以大聲計算階梯的數量：「一級、二級、三級……哇，你自己走了十二級樓梯！」吃葡萄的時候可以大聲說：「這裡有一、二、三、四、五、……十八顆葡萄，你要吃幾顆？六顆好不好？一、二、三、四、五、六顆葡萄給你！吃完了這六顆還要的話，媽媽再給你，媽媽這裏還有一、二、三……十二顆葡萄等著你。」很自然地孩子就會對數東西產生了基本概念：每樣東西都要單獨數點過，而且每樣東西只能數點一次，不可重複。

　　3、玩積木提供具體的數量與物理關係。把一盤積木拿給孩子，不刻意要求他怎麼玩，大部份的孩子就會開始把積木堆高，或把積木排長(當然也有些會一個個撿起來丟)，智能高些的孩子甚至會用積木造橋、造車或創造其他形狀結構。堆高積木夠高時就會倒，使用的積木在那裡多放或少放就會改變形狀，要做一樣長短或高度時兩排積木需用的數量必須相同，很多這一類的數學物理原理，都在孩子玩積木時給孩子在無意中學到了。

　　4、用任何東西量量房間的大小。量東西並不一定要用一支尺，任何東西都可以做為一個度量衡的單位。孩子可以用自己的腳作單位，從這邊的牆壁走到那邊的牆壁，看看這房間原來有幾「腳」寬。一個大杯子可以裝多少水？並不一定用五百立方厘米來表達，可以讓孩子拿一根調味匙，一匙一匙把水裝入大杯中，看著一共裝了幾次，就可以說這個杯子可以裝幾茶匙的水。如此讓孩子一邊玩，一邊建立度量衡的概念。

　　5、拼圖幫孩子培養形狀差異的辨別力。數學並不只限於算術上的加減乘除，外形的數學變化是幾何學、三角學、拓樸學、解析幾何學上都會用到的一此重要概念。而為孩子在這方面做數學智能提升時，最簡易有趣又有效的遊戲就是拼圖。拼圖有很多種：有一種是一組組的幾何形拼塊，可以個別拼入不同形狀的幾何框框里；有一種由一幅圖畫切成各種形狀的小節，拼合後會出現原來的一幅畫；還有一種是中國的七巧板，可能拼出各式各樣的圖形，任何一種都能幫助孩子加強他對形狀差異的觀察和辨別能力，幫他做數學智能提升。

　　6、在桌子上依人數擺設餐具。乘和除這兩種算術概念，在家裡可以用數擺餐具的方法來讓孩子接觸，假設有七個人要在這一桌用餐，應該擺設筷子、湯匙、碗、碟的數量，可以用實際擺設的遊戲去算出：「對，在這七個位置上各放一雙筷子，我們需要幾雙筷子？七雙？好棒！每雙筷子有兩支，那七雙筷子就有十四根了。現在我們來排碗，七個人需要幾個飯碗呢？」這種一配一的概念當然不久就會延伸到除與乘的概念了。

　　7、切生日蛋糕在遊戲中學到分數。利用切生日蛋糕的機會，基本分數如二分之一、四分之一、八分之一很容易就會讓孩子了解了，大家分享蛋糕時，更可乘機介紹比較複雜的分數關係：「我們把蛋糕切成八塊，給了你這八塊中的一塊，給媽媽這八塊中的另一塊，你看爸爸這裏還剩下八塊中的六塊！」

本文選自莫沫的博客，點擊查看原文

詳全文 三大戰略培養孩子的數學智能-生活消費新聞-新浪新聞中心 http://news.sina.com.tw/article/20150329/14077845.html

我們一開始先談抽象幾何圖形－《這才是數學》Written By: PanSci|2

我們一開始先談抽象幾何圖形－《這才是數學》

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Written By: PanSci

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2015/03/19

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以下是個美麗的圖案。

我來告訴你，為什麼我覺得這種圖案很吸引我。首先，裡面有幾種我很喜歡的形狀。

這幾種形狀簡單又對稱，所以我很喜歡。像這樣由直線構成的形狀，叫做多邊形（polygon）。所有的邊與每個角都相等的多邊形，稱為正多邊形。所以我想我應該要說：我喜歡正多邊形。

這個圖案設計吸引我的另一個原因是，當中的組成元件拼接得天衣無縫。鋪磚之間沒有縫隙，也不會重疊（我喜歡把這些元件想成瓷磚，就像馬賽克裝飾藝術）。至少看上去是如此。請記住，我們所談的東西，其實是假想的完美形狀。不能因為圖案看起來很好，便認為就是這麼回事。無論多麼費心製作的圖片，都是實體世界的產物；圖片不可能告訴我們關於假想數學物件的真理。幾何形狀做自己想做的事，不是做我們希望它們做的事。

那我們怎麼能確定，這些多邊形真的拼貼得完美無缺？對於這些幾何物件，我們真能知道些什麼嗎？問題的關鍵是，我們要度量這些多邊形──不是用尺或量角器這類笨拙的實體器具，而是靠心智去度量。我們需要找一種方法，能單單用哲學論證去衡量這些形狀。

有沒有注意到，在這個例子裡我們需要量的是角度？為了檢查類似的馬賽克拼貼圖案做得出來，我們必須確認在地磚之間的每個接角，各多邊形的角度加起來是一整圈360度。譬如最普通的正方形鋪磚，正方形的各角是四分之一圈，所以四個正方形加起來剛好一圈。

附帶一提，我喜歡用一整圈來當作角度的度量單位，而不喜歡用度。我個人覺得這樣更簡單，也比把一圈分成360等份更自然些（你當然可以選擇自己喜歡的方式）。所以我的說法就會是：正方形各角的角度是1/4。

跟角度有關的第一件驚人發現是，不管是哪種形狀的三角形，內角和始終相同，加起來都是半圈（或180度，如果你必須從俗的話）。

如果想實際感受一下，不妨拿紙做幾個三角形，把角裁下來，然後排在一起，你就會看到它們一定能排成一條直線。多漂亮的發現呀！但我們怎麼知道真的就是如此？

有一種方法是，把三角形改畫在兩條平行線之間。

請注意看，這兩條直線與三角形其中兩邊構成的Z字形。（我猜你可能會把右邊的那個稱為倒Z形，不過怎麼稱呼都無所謂。）要請你看的重點是，Z字形的夾角永遠會相等。

這是因為Z字形是對稱的：假如我們讓它繞著中心點旋轉半圈，看起來會完全相同。這表示上下兩個角必定相等。有道理吧？這就是一個典型的對稱論證。如果一個形狀經過了某一組運動的作用之後仍保持不變，我們就可以由此推斷出，兩個或更多個量度必定相等。

回到剛才兩平行線夾三角形的圖示，我們現在曉得，底部的兩個角分別與頂部的對應角相等。

這也就表示，三角形的三個角湊在一起，會在頂部拼成一條直線。所以，三個角相加一共轉了半圈。這個數學推理很輕鬆愉快吧！

這正是做數學的意義。先做出發現（不管用哪種方法做出來都行，包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型），然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。這是數學的藝術，也是數學充滿挑戰與樂趣的地方。

由這項發現產生的其中一個結論是，如果我們的三角形恰好是等邊三角形（即正三角形），那麼三個角會相等，一定都等於1/6。我們還可以換一種方法來看出同樣的結果：想像你是在開車繞著三角形的邊線。

你轉了三個相等的彎之後，就回到起點。由於最後轉了一整圈，因此每個彎必定剛好等於1/3。請注意，我們所轉的角度實際上是三角形的外角。

由於內角與外角合起來是半圈，所以內角和就等於特別是，六個正三角形可以剛好鋪成一個接角。

嘿，這不就做出了一個正六邊形！我們額外得到了一個結論：正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍，也就是1/3。這表示，三個正六邊形可以拼在一起。

因此，我們還是有可能對這些形狀有些認識。尤其是，我們現在明白了為什麼最初的那幅馬賽克圖案拼得出來。

在圖案的每個接角，都有一個正六邊形、兩個正方形、一個正三角形。這些角度相加起來會等於所以拼得起來！

（附帶一提，如果你不喜歡分數運算，你隨時可以換掉度量單位，避開分數。譬如你可以用1/12圈當作單位，這樣的話，正六邊形的角度就會是4，正方形的角度會是3，正三角形的角度是2，那麼相加起來就會等於4 + 3 + 3 + 2 = 12；也就是一整圈。）

我特別喜愛這個鑲嵌圖案呈現出來的對稱性。每個接角都有同樣的形狀依序排在周圍：六邊形、正方形、三角形、正方形。這表示一旦我們檢查過其中一個接角能夠拼滿，就能順理成章推知其他接角也不成問題。這個圖案可以無限往外延伸，鋪滿整個無限平面。我不禁納悶，「數學實在」裡還有沒有其他美麗的鑲嵌圖案？

利用正多邊形做出對稱的鑲嵌設計，方法有哪些？

 當然，我們需要知道各種正多邊形的角度。你能不能想想看該如何量出角度呢？

 正n邊形的角度有多大？

你可以量出正n角星的角度嗎？

從正多邊形的其中一角所畫的對角線，會切割出相等的角度嗎？

 雖然我們現在談的主題是多邊形做出的漂亮圖案，我想讓你看看我的另一個最愛。

這一次我們用了正方形和三角形，但不是鋪成平面，而是做成某種球形。這種幾何體叫做多面體（polyhedron），幾千年來數學家一直在琢磨這種幾何形狀。思考的方法之一，是去想像多面體展開成平面的模樣。譬如剛才這個多面體，從其中一角展開後看起來會像這樣：

我們可以看到，有兩個正方形及兩個三角形圍繞著一個頂點，但留下了一個縫隙，以便摺成一個球。因此對於多面體來說，角度相加起來必須小於一整圈。

 如果角度之和大於一整圈，會發生什麼情況？

 多面體與平面鑲嵌的另一個差異點，在於多面體的設計只牽涉到有限多個地磚。模式仍舊可以持續進行下去（就某種意義上），但不會無限延伸到外太空去。我當然也對這些模式感到好奇。

 對稱的多面體有哪些？

 換一種問法就是：有哪些方法，可把正多邊形做成多面體，而且在每個角可看到同樣的模式？阿基米德找出了所有可能的方法。你能不能找得出來？

最對稱的多面體，當然是每個面都全等的多面體，譬如立方體。這種多面體稱為正多面體。古人已經發現正多面體只有五種（所謂的柏拉圖立體）。你能不能說出是哪五種？

 有哪五種正多面體？

美國首屆全國數學節將於4月18日在華盛頓特區國家廣場舉行。(Fotolia)

美首屆全國數學節將舉行

美國首屆全國數學節將於4月18日在華盛頓特區國家廣場舉行。(Fotolia)

       

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更新: 2015-03-17 19:22:11 PM   標籤: 數學 , 美國

【大紀元2015年03月18日訊】（大紀元記者何伊美國華盛頓DC報導）由一群數學家策劃的美國首屆全國數學節（National Math Festival）將於4月18日在華盛頓特區國家廣場舉行。

全國數學節的主辦方在上週四（3月12日）宣佈，該活動將同時在數個場地舉行，地點設在史密森學會的博物館、花園和畫廊內。活動免費對公眾開放。

首屆數學節將包括40多個表演、互動展示、知名數學家的講座、動手玩魔術、胡迪尼闖關以及適於所有年齡段人群的各類活動。屆時活動亮點有互動展示之「數學中途島」（Math Midway）、大眾遊戲「我的世界」（Minecraft）之數學演示、為學齡前兒童量身打造的「格雷西和朋友們」（Gracie & Friends）趣味學習軟件、以及數學靈感藝術、職業和相關項目的討論。

活動期間，數學迷們還可以在國家宇航博物館體驗「觀察之旅」（Obervatory Tour），在史密森尼裡普利中心（Smithsonian s Ripley Center）進行「極速數學」（Math at Top Speed）、「宇宙之影與第五維」（Cosmic Shadows and The Fifth Dimension）、「自導太陽系之旅」（Self-Guided Solar System Tour）及更多新奇的探索。

活動中還將給專為青年人著作的數學圖書設立一項新的國家圖書獎。

本屆全國數學節的主辦方為總部位於加州的數學科學研究所、普林斯頓大學和新澤西州高等研究院。

責任編輯：夏實