數感實驗室／「搶23」遊戲 懂數學就會獲勝，2019-08-19 09:49聯合報 數感實驗室／賴以威撰寫

數感實驗室／「搶23」遊戲 懂數學就會獲勝

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2019-08-19 09:49聯合報 數感實驗室／賴以威撰寫

數感實驗室。圖片來源／StockSnap.io

澳洲知名數學老師，同時也是youtuber的埃迪•伍(Eddie Woo)，在某次來台灣演講時，當場玩了一個很有趣的小遊戲。遊戲規則是這樣的：每個人輪流寫一個1到4的數字，每次寫，就要跟前面寫的所有數字都相加。比方說兩位玩家A與B，A先寫2，B再寫3，這時的總和是5。下一次輪到A寫了4，總和便成了9。遊戲的勝利條件是，誰寫完數字後得到的總和是23，那個人就獲勝。再了解遊戲背後的數學前，先找一位朋友玩玩看吧。

玩了幾次後，你是否有發現，關鍵在於「誰先讓總和變成18」，因為只要你讓總和變成18，對手寫1，總和變成19，你只要寫4就可以變成23；對手寫2，你寫3還是讓總和變成23；對手要是出3或4，你也只要對應出2或1，都能獲得勝利。所以關鍵是誰先搶到23-5=18。換句話說，這個遊戲從「搶23」，變成了「搶18」。

等等，這樣的邏輯能一再推演下去嗎？答案是可以的，為了搶到18，你會發現關鍵是「誰先讓總和變成13」，當你讓總和變成13，對手出1、2、3、4，你都可以對應出4、3、2、1來搶下18。遊戲又從「搶18」變成了「搶13」，而且你還注意到，23-5=18，18-5=13，每次都可以往前推5，因為5是兩位玩家合起來一輪，所能出的最小數字。

既然搶23能一路變成搶13，自然也能再往回推到「搶8」，甚至推回「搶3」。也就是說，只要你能洞悉遊戲背後的數學本質，你一定會想辦法要求先出數字，因為你知道，只要出了3。不管對方怎麼做，你都能循序漸進地拿下8、13、18、23。就算這個遊戲一路進行到搶103，你也會獲勝。

這就好比圈圈叉叉，不了解規則的人會覺得它是一場遊戲，但了解規則的人知道，第一步搶中間，倘若對手沒有下在對角線，你就能獲得勝利。它們都屬於「有缺陷」的遊戲，存在著必勝或必不敗的法則，但這些規則並非一眼能看穿，都得仰賴數學。生活中有很多事情也像這樣的遊戲，看似有輸有贏，可其實對於懂數學的人來說，勝負早在一開始就已經決定了。

數學考題「簡單化」，可是你知道真實世界有多複雜嗎？文：舒宇宸（台灣大學應用數學博士）

我們想讓你知道的是

今年國中會考出現一題「簡單」的數學問題，看完本題，感覺似乎非常生活化，但是當筆者靜下心，用手指沾個水在腦袋上畫個圈，於此完美犯案的場景中，靈光一閃地說出柯南的招牌對白：「犯人，就在題目中！」

文：舒宇宸（台灣大學應用數學博士）

「簡單」的數學題目

今（2019）年國中會考出現一題「簡單」的數學問題（圖一）。以題目所提供的防護率公式，在第一小題由防護率反推防曬指標SPF，並於第二小題由SPF推導防護率。題目定義，SPF 25的防護率是24 ⁄ 25 = 96％，SPF 50 則 是 49 ⁄ 50 = 98％，代表第二代防曬乳液只比第一代多提供2％的防護率，所以此文宣並不合理。

看完本題，感覺似乎非常生活化，但是當筆者靜下心，用手指沾個水在腦袋上畫個圈，於此完美犯案的場景中，靈光一閃地說出柯南的招牌對白：「犯人，就在題目中！」

圖片來源：國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心

圖一：108年度國中會考數學科非選擇題第一題。（圖片來源：國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）　

李組長眉頭一皺，案情似乎不單純

108課綱採取素養導向，看得出大考中心試圖讓數學考題取材生活化，以檢驗學生是否能運用數學解決問題。可是瑞凡，你知道真實世界有多複雜嗎？防曬係數的問題留在課堂中探究會是一個非常好的課題，但基於這是數學考卷，那就只好假裝「簡單」地在實驗室中，處理這個數學問題。

SPF 25指塗上防曬乳後只有1 ⁄ 25的灼傷輻射可以通過塗層到達皮膚，假設沒擦防曬乳會在曝曬一分鐘後曬傷，那麼擦了SPF 25防曬乳的曬傷時間就會增加為25分鐘。而SPF 50就只有1 ⁄ 50的灼傷輻射可以傷害皮膚，按時間計算是50分鐘，一堂體育課回來都不會被曬傷呢。

而筆者所說的完美犯案，就是題目的防護率公式，強迫讀者以防護率看待此問題。所以，過程沒有錯，答案也非常完美。但仔細思考，能把皮膚曬傷的部分，應該考慮的變因是會穿透防曬乳的灼傷輻射比例，而非被阻擋掉的比例。因此考慮SPF 25防曬乳的穿透比例是1 ⁄ 25 = 4％，而SPF 50的穿透比例降到1 ⁄ 50 = 2％，不就是少一半的穿透光，提高對皮膚的保護2倍嗎？

這不該是個數學公式跟科學素養起衝突的年代，運用科學或數學解釋生活的情境，不正是希望學生學會的嗎？如果考生以上述穿透比例方式作答，在標準答案的框架下可能不會得分，因為對老師而言，考試的答案要能簡單批改用此考題來測驗科學素養，合適嗎？

媒體素養與神奇的一元

談完科學素養，接著討論媒體素養。這次的會考據說示範如何以數學考題檢驗媒體素養，甚至有粉絲專頁提到讀者曾讀過相關網路文章。

會造成此情況，筆者認為有一類的網路文章是假新聞中較難破解的，舉例來說，一篇假新聞中87％使用數學工具等難以被推翻的過程，接著給讀者豁然開朗的精神刺激，再夾雜著13％的假資訊（註），人們便很容易信以為真。

註釋：87％與13％源於網路用語，並非真實數據。

於是筆者搜尋相關資料，發現之前網路上曾流傳防曬乳從SPF 25到SPF 50防護只有提升2％的文章。筆者沒想到這種不會考也不該考的網路文章，居然真實成為會考的考題。這類文章，常常誤導思考，網路上的數學題「為何多／少了一塊錢」就是一例：

「某人原先口袋中有50元。購買20元的防曬乳與15元的數學考卷，再買9元數學答案卷，再把剩下的6元買零食。然後他就利用試算表將交易的細項做成表格。」

圖片來源：作者提供

「哇！花費的加總沒錯，但找錢的加總卻比原來多1元！」

此題目讀者或許能一眼看出問題，但是在生活中筆者也曾遇過類似案例，尤其是在記帳時，將消費時找回來的錢記在收入，導致總計越來越多的窘況。

同理，防護率公式並沒錯，只是會引導學生錯誤的思考方向。在今年1月舉辦數學建模黑客松時，就希望學生們學習運用數學方式破除假新聞。當時邀請的師大電機系教授賴以威，示範利用數學分析新聞中的數字估計。他曾在數感實驗室撰寫一篇關於高雄跨年夜市賣出兩萬杯木瓜牛奶新聞的看法。這些案例都是提醒讀者，當看到誇大的新聞或文章時，是不是該靜下心來，思考內容的邏輯與數字的關聯性？筆者感嘆:：「這不就是我們希望學生獲得的媒體素養嗎？」

跳脫思考框架與數感活動體悟

其實要處理真實世界的問題，除了簡單的數學，還有許多應考量的因素。舉例來說，在處理學生成績問題時，是否應依照考試的成績結算，還是同理學生在學習上的挫折進行非線性調分？在生活方面，因生活費有限，是否利用數學最佳化規劃預算，或全用在結婚紀念日給內人一個驚喜？

生活中，數學能處理的，僅僅是「簡單」的層面。買禮物付錢是減法，而收禮人的心情雀躍則是魔法。如同忙碌的生活中，會有撰寫此文章的衝動，除了讓學生對會考的題目有正確的認識，另一個關鍵點是今年的數感盃。活動當中，有一篇高中組的得獎作品在網路上被大肆批評，工作團隊及小編出面為該篇作品辯護。但意外的是，原作者來信表示要自己面對，並給出說明。這對一個高中生來說實屬不易，也感動了團隊。當筆者翻閱自己對該篇作品的評審紀錄，筆者在數學上並無給予高分。但由於評審們是一個跨領域的團隊，評分方式不只侷限於數學，進而觸發整起事件。

在思考探究數感盃事件之後，筆者認為這其實是跨領域團隊所帶來的效益，或許上述的會考題目經過物理老師檢視後會有所不同。所以筆者在此也邀請更多數學家能參與類似的跨域活動，轉換一下思想的羅盤，跳脫數學的邏輯框架。

舉例而言，在面對數感盃的新詩或專題寫作，數學與文學的跨域對談，絕不能死守數學非黑即白的領域；其中詩詞間的想像、男女之間的愛情或兄弟之間的義氣等，會感動人的，極少是邏輯推理的結論，反而是人與人之間的情義。

在真實的世界中，如果每件事情都能預料，那還會有驚喜嗎？而不在邏輯推理範圍內的，是人性。而唯一看透真相的，不是柯南，是數學。筆者認為：「如果人們相信數學簡單，那是因為他們已體悟真實世界的複雜。」

本文經科學月刊授權刊登，原文刊載於此

責任編輯：朱家儀
核稿編輯：翁世航

集結 50 萬台電腦算力，數學家終於破解困擾 65 年的難題：三立方數和 Posted on2019/09/11

集結 50 萬台電腦算力，數學家終於破解困擾 65 年的難題：三立方數和

Posted on2019/09/11

 郭家宏

數學界中有很多經典難題，例如 哥德巴赫猜想 、費馬最後定理等等，他們都困擾了數學家百年，到現在仍然沒有解答。然而，數學家們現在可以先歡呼慶祝，因為布里斯托大學和麻省理工學院（MIT）的教授，近期解出了困擾數學界 65 年的難題：三立方數和問題（sums of three cubes）。

困擾數學界 65 年的難題：三立方數和

三立方數和問題是劍橋大學在 1954 年提出的問題，題目是 1 到 100 之間的整數，是否都可以用 3 個整數的三次方相加算出來；也就是說：

 x^3+y^3+z^3=k
如果 k 是 1 到 100 之間的整數，x、y、z 是否存在整數解？

有些數字很簡單，例如 36 就可以用 3 的三次方、2 的三次方和 1 的三次方相加出來；有些數字已證明無解，例如除以 9 的餘數是 4、5 的數字（13、14 等等）。但有 2 個數字，數學家一直找不到解答，卻也無法證明無解。

它們是 33 和 42。

2019 年，數學家終於找到 33 和 42 的三立方數和的解答

今年年初，終於有個名叫 Andrew Booker 的教授，運用超級電腦找到 33 的解，數學界就只剩下 42 還沒找到解答。

今年九月，布里斯托大學教授 Booker 與 MIT 的教授 Andrew Sutherland 合作，成功找到 42 的解。

42 = (-80538738812075974)^3 + (80435758145817515)^3 +  (12602123297335631)^3

現在，100 以內有解的數字都找到答案，困擾數學界 65 年的難題終於解學了。

集結 50 萬台電腦的閒置算力，數學家算出 42 的解答

若我們看 42 的解答，那三個數字都是 17 位數，但我們日常生活中的計算機和手機大多只能算到 11 到 15 位數，連驗算都無法驗算（可以用手算，但會算到死），更別說是找解答了。那麼 Booker 和 Andrew Sutherland 是怎麼找到解答的？

雖然 1 支手機、1 台電腦不能算，但如果集結起來，算力可是很驚人的。Booker 和 Andrew Sutherland 教授透過柏克利大學的 Charity Engine 平台，集結 50 多萬台家用電腦的閒暇算力，經過總和 100 多萬小時的計算，算出 42 的三立方數和解答。

對數學界來說，三立方數和找到解答，代表一道難題的解決；但對科技界，以及整個科學界來說，Booker 和 Andrew Sutherland 教授集結電腦算力解決問題的方式，代表資源集結與使用方式的轉變。透過閒置算力的集結，我們未必要設置超級電腦，也可以進行超級電腦的運算。

參考資料來源：
1.《University of Bristol》：〈Sum of three cubes for 42 finally solved – using real life planetary computer〉
2.《SINA》：〈 數學家破解” 宇宙生命終極答案”：42 的三立方數和問題 〉
3.《維基百科》：〈 三立方數和 〉
（本文提供合作夥伴轉載。首圖來源：Flickr CC Licensed）

2018/01/17, 科學 就在今年一月，史上最大的「完美數」被發現了

我們想讓你知道的是

這個超級大質數是由美國田納西州一位FedEx員工名叫佩斯發現的，至於要怎麼找到這麼大的質數，當然是少不了電腦，據說他用的電腦cpu 是 Intel quad-core i5-6600，跟我們一般家用電腦差不多而已。

文：陳宏賓（UniMath主編，逢甲大學應用數學系助理教授）

所謂質數就是除了1和本身之外無法被其它正整數整除的數，例如：2、3、5、7、11......代數很重要的一件事說，任何大於1的整數都可以唯一表示成一些質數的乘積。整數裡質數的地位感覺就好像是色彩之於原色。

你對五十個人說出「紅色」這個詞，可以想見他們腦中會浮現五十種紅色，而且幾乎能確定的是沒有一種紅色是一樣的。關於「數學的美」，我想也差不多。我最愛的數學家保羅艾狄胥是這樣子說的：

「就好像你問貝多芬的第九號交響曲美妙在哪，如果你聽不出來為什麼它美，那麼也沒有人可以告訴你。我知道數字很美，如果它們不美的話，沒有事物稱得上美了。」

完美數

在很久很久以前，有一類數被古希臘數學家認為很美好，它們可以寫成自己所有正因數(除了自己)的和，這樣的數就稱為「完美數（perfect numbers）」。例如6的正因數有1、2、3、6，剛好1+2+3=6；28的正因數有1、2、4、7、14、28，剛好1+2+4+7+14=28，所以6和28都是完美數，每年的6月28日也因此被稱為「完美日（perfect day）」。

圖片來源：維基百科

用圖來表現完美數的直觀（from 維基百科）

最小的完美數就是6，是我自從大學系籃開始至今愛用的球衣號碼，期望每一次上場都能有完美表現，不過，you know，還是經常失誤，有時連罰球也投不進。多練習還是比迷信有用啊。

今年的1月3日，史上最大完美數被發現了，不過，我的電腦螢幕空間太小，所以我無法寫下來（我打賭費馬三百多年前的梗就算再過三百年還是會有人用XD）不過，這裡我說的空間太小寫不下來是認真的，等一下你就知道要一一寫下每個位置的數值是多麼巨大的工程，連用嘴巴唸一遍你都會嫌麻煩。如果你不介意我偷懶，倒是可以寫成這種形式

2^77232916(2^77232917－1)

外表看起來有點醜陋的它，內心是完美的。真的，我保證。你可能依然不相信。

不過，也由不得你不信，數學家總是這個樣子。很久很久以前，數學界的先賢歐幾里得心裡的完美數就清清楚楚了。

只要2ⁿ-1是質數，那麼2^n-1(2ⁿ－1)就是完美數。

從現代數學的眼光來看，這倒是只需要一點點因倍數和等比級數的數學觀念就夠了。

圖片來源：作者提供　　

歐幾里得在大約2,300年前就知道這種事也太令人佩服了啊！一千多年以後，另一位超人級的數學家歐拉提出更進一步的結論：

所有偶數的完美數都必然長這個形式2^n-1(2ⁿ－1)。

截至目前為止，這世界上沒有人知道，是不是有無窮多個完美數（基於讓這個世界更完美一點的想法，我希望完美數是無窮多的）；同時，也還沒有任何一個人曾經見過奇數的完美數，如果你遇見它，請帶我去那個地方。

超級質數任務

前幾天，Great Internet Mersenne Prime Search（GIMPS）這個組織公布目前最大的質數2^77232917－1，這是一個高達23,249,425位數。這個超級數字到底有多大呢？打個比方，假設有一個全世界第一快嘴每秒鐘能夠讀10個數字，那麼即使他不吃不喝不笑不走路，把這個數從頭到尾讀一遍也得花上將近一個月的時間。

這個超級大質數是由美國田納西州一位FedEx員工名叫佩斯發現的，至於要怎麼找到這麼大的質數，當然是少不了電腦，據說他用的電腦cpu 是 Intel quad-core i5-6600，跟我們一般家用電腦差不多而已耶，不過用此等級的電腦檢驗這個超級質數可是要花上好幾天才行。

話說回來，具備這種型式2ⁿ－1的質數有個特別的名稱，叫做Mersenne Primes梅森質數。顧名思義，這是為了紀念17世紀專門研究這種數的一位法國僧侶Marin Mersenne。這種型式的質數，其實並不常見，截至目前為止也才50個被發現，其中的17個是由GIMPS或藉由GIMPS提供的程式找到。GIMPS也發下豪語，提出高達150,000美金（約台幣四百多萬）的獎勵，看誰能先找到超過一億位數的超級質數。

不曉得挖比特幣跟尋找一億位數超級質數哪個投資報酬率比較好呢？你準備好了沒。

本文經UniMath授權轉載，原文刊載於此

不斷尋找「最大的質數」真的有意義嗎？

胖丁呷麵｜科學家不斷尋找「最大的質數」真的有意義嗎？

胖丁呷麵/真新鎮K歌王

大檸檬最愛吃麵的新人胖丁。偶像是夏亞，最討厭阿姆羅。喜歡寫科學新知、奇人軼事、偶..

   

點評：有意義才能做一件事，那人類永遠不會進步

文／胖丁呷麵

2017年日本出版了一本暢銷書《2017最大的質數》，整本書只有寫一個數字「2的74207281次方減1」，光一個質數就印了719頁，足有2233萬位數，你可以想像一下，這數到底有多麼大。更莫名其妙的是，這本書居然賣得極好，就連出版商的嚇了一跳。

這麼大的天文數字，究竟是花多少時間算出來的？而下一個數字又何時會出現？這可能是我們看到新聞的疑問，但相信人們更好奇的是，人類為何要一直用超強電腦找「最大質數」，就算找到了又有甚麼意義，是吃飽太撐嗎？難不成每年都要出一本《最大的質數》？

俗話說「數學為科學之母」，人類研究數學的行為本身，起初都沒有目的性，純粹只是為求真理，但這些看似沒有用的理論與計算，很有可能在未來成為人類文化的重要科學工具。17世紀牛頓、萊布尼茲發明微積分時，相信也沒甚麼人覺得有用，但如今積分的數學原理，卻奠定了現今工程學的所有基礎，路上的橋墩與路面，都是千千萬萬的數學所構成。

但這些都不足以解釋為何人們要不斷找「更大的質數」，這些跟我們的生活有相關嗎？

事實上是有的，但就現階段來說，與「數學難題」有比較大的關係。近期學術界最大的新聞，便是在9月24日，英國麥可·阿蒂亞爵士宣稱他破解了「黎曼猜想」，這是個數學界159年以來未解的謎題，美國克雷數學研究所在2001年甚至不惜端出100萬美元獎金，來給解決這個難題的人。

由於數學的部分實在太難了，簡單來說，黎曼是個超級數學天才，他生平前找到了一個跟質數表達形式有密切關係的公式，只是他無法證明這是否正確。

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為了解決這個名譽與獎金，無數的數學家投身進入研究，但也都無法證明它，既然無法證明它是對的，那我只要找到反例就行了，於是無數的科學家開始使用電腦與大型計算機，不斷算出新的質數來驗證「黎曼猜想」，也就是說，這些每年找「最大質數」的閒事，其實是科學發展上非常重要的一環。

2001年IBM甚至開啟了科學項目「ZetaGreat」大型計算機，計算了1兆個數字，發現全部都符合黎曼的預測，也就是說，黎曼猜想是對的，但沒有人可以證明，只能無限地運算更大的數字來推翻。

看起來這些科學家的行為是很瘋狂，但事實上質數就是大自然中的神祕語言，如果能解開質數之謎，那麼也許有生之年我們的生活將會徹底被改變。

許多化學材料的臨界性質、河上的鋼鐵橋墩、都與微積分科學息息相關，越到了近代，科學的進展與發明，絕大部份都是伴隨著數學理論前進。而自然中，也有著與質數有關的趣事，最經典的例子便是北美地區棲息的「周期蟬」，這種蟬的幼蟲鑽入地下，會待上「十三年」或「十七年」，等到時間到後才破土而出，蛻變為成蟬進入繁殖期。因此美國人常發現，每隔13年或者17年，蟬的數量就會突然暴增，夏天會變得特別吵。

面對這種詭異現象，生物學家就解釋，這在物競天擇下演化而來的，原先可能還有有12年、14年、15年蟬，但他們都被「淘汰」了。生物學家推測13年與17年蟬能活下來的原因，大致上與質數的性質有關，在夠短的時間內，「13年蟬」與「17年蟬」很難與其他物種強勢期「同時撞期」，這使得蟬的有很強的躲避天敵的特性。

▼2013年時，17年週期的雌紅眼蟬在美國大爆發，一時蔚為話題

假設蟬的天敵每6年會迎來一次大量出沒（與生命週期、世代交替有關），在這種條件下，13年蟬每隔78年才會遇到一次滅絕危機（最小公倍數78），17年蟬則是每隔102年才會遇到一次滅絕危機。而要讓這兩種完全滅絕，也就是兩種蟬同時出土又遇上天敵強勢期，要隔1326年才有一次機會。

如果將蟬的地底休眠周期改為10與12年，那麼各自在30年與12年時就會撞到天敵強勢期，三種同時碰期的時間也會縮短到60年，在一定期間內，跟天敵越少撞期，就代表生存能力越高，越不容易被滅絕，因此科學家認為，是因為13與17的質數性質使得北美的蟬能夠存活至今。

▼例如他們的天敵螳螂

在電腦與網路科技與通訊協定上（例如WI-F密碼），最普遍使用到的加密法是「RSA演算法」，原則上就是拿兩個很大的質數（例如A跟B）相乘，算完後把數字公布，問大家知不知道這組質數因數是什麼（即是A,B分別為多少）

由於數字太大了，除非解謎者事先知道A或B是多少，或者攔截到其他提示，不然只能透過電腦暴力破解，用質因數分解的方式來破解答案，所需計算的時間非常的漫長。

在1980年，RSA密碼學開始大肆入侵金融界與通訊界，改善了網路加密傳輸與通訊協定的安全性。只要A乘上B值夠大，那麼電腦就需要花上更多時間來破解加密。可想而知，隨著電腦的技術進步，越來越多的質數被寫在質數表上，銀行勢必要不斷更換更大的A值與B值，以杜絕駭客的破解，由此尋找更大質數就成了一個需求。

▼在密碼學領域裡，只要有更多的質數列表可供使用，駭客就能縮短破解RSA演算法的時間

在大自然中，也許還有更多的質數被隱藏著，我們不清楚，那是源於我們對質數的不了解。這就是為何科學家要花大錢懸賞「黎曼猜想」，因為如果解決這個疑問，很有會引發一批新的「科學大革命」，讓我們發現宇宙萬物中，我們從來不知道的規律。

有些人貧困一生，鑽研數學與科學，就是為了讓我們更能夠看得更遠，但這些難題太難了，甚至默默無名就這樣結束一生的人太多太多。

我們都站在巨人的肩膀之上，有的時候我們腳踩的，是不少有才華洋溢的科學家屍體，他們是為了人類科學文明所犧牲的烈士。這種壯烈犧牲，你們怎麼可以說他們是騙經費，沒有意義、與人類生活無關的知識呢？

▼微積分共發明人牛頓畫像（圖／達志／美聯社）

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