一道幼稚園的數學考題的故事 posted May 12, 2015, 4:37 AM by 陳宏賓 [ updated May 12, 2015, 8:12 AM ]

一道幼稚園的數學考題的故事

posted May 12, 2015, 4:37 AM by 陳宏賓   [ updated May 12, 2015, 8:12 AM ]

幾個禮拜前，有位綽號大豬的高中同學，傳了一道數學題到我們高中同學們的Line群組，想要考考大家。不過，這道號稱幼稚園的入學考試題並沒有引起同學們的興趣，只有我們的國文老師表示 「完了! 我又要做數學的噩夢了! 遇見有關數字運算的問題，我直接投降了!」 稍候大豬公佈解答: 「老師，這個不用運算。1111 沒有圓圈，9313 只有 1 個圓圈，幼稚園小孩只會數圓圈，我們都想得太複雜啦!」 知道只是單純數圓圈之後，老師才鬆一口氣說至少不用做噩夢了…..我猜社會上應該有不少人都得了這種名為一看到數學就會做噩夢的病吧...XD 至於當下我的反應是甚麼，由於事先已經先在別處知道解答了，所以我開了個玩笑宣稱是依照條件給的 14 個等式列了14 個方程式，然後把答案解出來。But！沒人笑…. 這個題目讓我想起小時候最討厭(甚至鄙視)的數學題型: 請在空格中填入適當的數字，(1, 2, 4, 7, 11, ___)。鄙視它的原因，倒也不是我特別不會寫這種題目，而是理論上填入任何數字都是對的，只要隨便訂出個規則，符合這幾項(有限)就好了。 之後我到處觀察網路上網友們的反應，發現很多人跟我一樣錯愕，「這不是數學吧」「學這要幹嘛」「這啥小」…。一直到某天聽了一堂組合學之後，我才恍然大悟，阿彌陀佛～ 計數組合學 組合學家 Percy Alexander MacMahon 在 1915 年發表了組合分析 (Combinatory Analysis) 一書兩冊，關於計數組合學 (Enumerative Combinatorics) 的第一本書，就此誕生。在計數組合學這門學問裡，其中一個主要的研究方向，就是藉由統計量與統計量之間的一一對應，將看似不相關的結構彼此關聯起來，用組合學的觀點，提供其他數學領域中的理論一種組合解釋或者證明。 統計量 人類文明能夠發展至此，除了文字的發明之外，最重要的另一個因素就是量化的運用。將現實生活中的人事物，依照統一的客觀的標準去測量或計算，所得到的值就是統計量 (statistics)。舉例來說，【身高】就是一種統計量，劉德華175、周杰倫173、王陽明188；而【誰比較帥】就不是，因為可能會發生，我覺得劉德華帥，但我太太覺得王陽明帥，這樣各說各話的情況其實就是因為缺乏客觀的標準。 回到幼稚園的入學考題，用比較數學一點的語言，可以把它解讀為: 找到一種統計量，滿足1111→0, ..., 3148→2，找到之後自然就能夠回答 2889 → 多少。 而這裡一個合適的統計量，就是【圓圈】。在這個題目裡，統計量【圓圈】本身並不重要，沒有太多的數學意義，【尋找】才是重點，藉由觀察與嘗試，【尋找未知】的統計量這個過程，才是教育目的。尋找未知是人類文明得以延續和進步的關鍵，也是全世界所有科學家(包括數學家)最最最重要的工作。 當然，這樣的題目如果事先已經知道統計量就是圓圈，那就沒什麼意思了。因此，以下我再補充幾個關於數字的統計量，希望能夠讓未來幼稚園的入學考題更變態更有趣一點。 幼稚園的老師看過來 聲調 把國語發音的聲調當作是一種統計量，是我看過最變態的一種。比如說，0 → 2 因為零的讀音是二聲，1 → 1 因為一的讀音是一聲，2 → 4 因為二的讀音是四聲…依此類推，我們知道9 → 3 (ㄐ一ㄡˇ)。遇到多個數字放一起就個別加起來，例如: 19 → 1+3 =  4，581 → 3+1+1 = 5…。 考考大家，014 → ? 橫豎 將數字用電子錶的型式表現，然後算有幾橫或幾豎。比如說用橫來當統計量，那麼0~9就會分別對應到 2033133133 (參考下圖)。同理當然也可以考慮豎作為統計量。 接下來介紹幾個在數學上有意義的… 逆序數 (inversion) 逆序數即是算每個出現的數字後面比它小的數有幾個，再加總。比如說: 123 → 0 因為每個數字後面都沒有比它小的數，132 → 1 因為 3 的後面有一個 2 比它小，321 → 3 因為 3 的後面有兩個數比它小且 2 的後面有一個數比它小。比較為人所知的就是，排列所構成的對稱群即是 A型 的 Coxeter 群，而排列的逆序數就恰好對應到 A型 Coxeter 群的長度 (length)。 下降數 (descent) 下降數算的是相鄰的兩個數字有多少次是前大後小。比如說: 123 → 0 因為數字是越來越大，132 → 1 因為 32 算一次前大後小，321 → 2 因為 32 和 21 各算一次前大後小。 主指標 (major) 主指標算的是發生下降處的指標加總。例如: 123 → 0 因為沒有下降，132 → 2 因為發生下降處 32 的 3 落在整個字串 132 的第二位，321 → 3 因為在第一位和第二位都發生下降。 1913 年 MacMahon 用組合分析的方法發現了這樣一個神奇的結果:  所有 n 個數字(1到n) 形成的排列的逆序數跟主指標具有相同的分佈。 用數學來表示，即是 這裡 S 是所有排列形成的集合。 例如 n=3 的情況，總共有 6 種不同的排列，將它們的 major 跟 inversion 分別算出來(如下表)，會發現 maj=0 會跟 inv=0 的個數一樣多，maj=1 會跟 inv=1 的個數一樣多，依此類推，滿足這種性質就稱為 等分佈 (equidistributed)。 maj inv 123 0 0 132 2 1 213 1 1 231 2 2 312 1 2 321 3 3 事實上，在 1978 年 Foata 跟 Schutzenberger 得出一個更神奇的結果: maj 和 inv 兩種統計量有 對稱聯合分佈 (symmetric joint distribution)。也就是，maj=x 且 inv=y 的排列個數會跟 maj=y 且 inv=x 的排列個數一樣多，如下圖所示，圖表內的數字會對稱於左上右下這條對角線。有興趣的讀者可以試試 n=4 的情況，看看是不是也有此現象。 MacMahon 這個有趣的發現，後續引發了許多其他不同組合結構上的研究，蓬勃發展，時至今日，已經成為計數組合學研究領域的三大主要分類中的一支 Mahonian (其他兩支分別為 Eulerian 跟 Stirling)。這部份就先到此為止好了，因為再多可能讀者想翻桌，而我也講不下去了…哈... 恐懼影響了你的數學表現 最後，我希望這篇文章帶大家從一道幼稚園的入學考題走到組合學的一個研究起點，可以讓你感受到看起來很可怕的數學在一開始的時候好像不那麼可怕! 或許，你原本能夠學會的數學，在心生恐懼之後，就自動放棄理解它的機會了。要是放棄的話…..  圖片取自: 灌籃高手 by 井上雄彥 數學恐懼症?! 那是什麼東西?! 我的字典裡沒有這個字。 不過! 英文恐懼症倒是像背後靈一樣，跟了我十幾年。這些年的英文，我都是呈現放棄的狀態，有課就放棄，沒課也不會想要學習，一直到念博士班的某一天，忽然有一股死馬當活馬醫的心情湧現，立馬報名了交大語言中心開給社會人士的一門英文文法課，遇到了救救我的蔡英文的新貴英文胡家榮老師(現在是我好友)。 他改變的不是我的英文能力，而是，治好了我的 英文恐懼症。 最重要的一點就是，大方承認自己是 英文低能兒，所以單字不認識很正常阿，句子不會寫很正常阿，聽都聽不懂很正常阿，同學表現都比我好也很正常阿! 只要敢講、敢寫，藉由發現錯誤學習如何矯正，那麼就會不斷地，進步! 抱持這樣的信念，就會越來越好了。我現在依舊是 英文低能兒 狀態。不過，不恐懼了。 想學好數學，你得先聽聽安西教練怎麼說….                                                     圖片取自: 灌籃高手 by 井上雄彥   最後的最後，要提醒大家，生活中有許多非常具有代表性的統計量，比如【中位數】【平均值】【標準差】...等等。好用歸好用，但是要提醒大家千萬別亂用哦，以免鬧笑話。像是我聽過最荒謬的用法就是: 全台灣的人平均有 0.998 顆睪丸...... 【感謝讀者陳佑鳴指出，等號的使用在此並不恰當，建議以箭頭→做為取代較適合。】  作者簡介 陳宏賓 － 現任職中研院數學所研究學者。 2006年國立交通大學應用數學博士畢業，投入組合數學領域相關之研究，主要研究興趣為群試理論、圖論及最優化分解。2013年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書（與 Uriel Rothblum 教授和 Frank K. Hwang 教授合著）。數學科普素人，憑著一股萬一中年失業了說不定有機會到壹周刊當狗仔熱血，創立 UniMath 電子數學媒體。