不斷尋找「最大的質數」真的有意義嗎？

胖丁呷麵｜科學家不斷尋找「最大的質數」真的有意義嗎？

胖丁呷麵/真新鎮K歌王

大檸檬最愛吃麵的新人胖丁。偶像是夏亞，最討厭阿姆羅。喜歡寫科學新知、奇人軼事、偶..

   

點評：有意義才能做一件事，那人類永遠不會進步

文／胖丁呷麵

2017年日本出版了一本暢銷書《2017最大的質數》，整本書只有寫一個數字「2的74207281次方減1」，光一個質數就印了719頁，足有2233萬位數，你可以想像一下，這數到底有多麼大。更莫名其妙的是，這本書居然賣得極好，就連出版商的嚇了一跳。

這麼大的天文數字，究竟是花多少時間算出來的？而下一個數字又何時會出現？這可能是我們看到新聞的疑問，但相信人們更好奇的是，人類為何要一直用超強電腦找「最大質數」，就算找到了又有甚麼意義，是吃飽太撐嗎？難不成每年都要出一本《最大的質數》？

俗話說「數學為科學之母」，人類研究數學的行為本身，起初都沒有目的性，純粹只是為求真理，但這些看似沒有用的理論與計算，很有可能在未來成為人類文化的重要科學工具。17世紀牛頓、萊布尼茲發明微積分時，相信也沒甚麼人覺得有用，但如今積分的數學原理，卻奠定了現今工程學的所有基礎，路上的橋墩與路面，都是千千萬萬的數學所構成。

但這些都不足以解釋為何人們要不斷找「更大的質數」，這些跟我們的生活有相關嗎？

事實上是有的，但就現階段來說，與「數學難題」有比較大的關係。近期學術界最大的新聞，便是在9月24日，英國麥可·阿蒂亞爵士宣稱他破解了「黎曼猜想」，這是個數學界159年以來未解的謎題，美國克雷數學研究所在2001年甚至不惜端出100萬美元獎金，來給解決這個難題的人。

由於數學的部分實在太難了，簡單來說，黎曼是個超級數學天才，他生平前找到了一個跟質數表達形式有密切關係的公式，只是他無法證明這是否正確。

。

為了解決這個名譽與獎金，無數的數學家投身進入研究，但也都無法證明它，既然無法證明它是對的，那我只要找到反例就行了，於是無數的科學家開始使用電腦與大型計算機，不斷算出新的質數來驗證「黎曼猜想」，也就是說，這些每年找「最大質數」的閒事，其實是科學發展上非常重要的一環。

2001年IBM甚至開啟了科學項目「ZetaGreat」大型計算機，計算了1兆個數字，發現全部都符合黎曼的預測，也就是說，黎曼猜想是對的，但沒有人可以證明，只能無限地運算更大的數字來推翻。

看起來這些科學家的行為是很瘋狂，但事實上質數就是大自然中的神祕語言，如果能解開質數之謎，那麼也許有生之年我們的生活將會徹底被改變。

許多化學材料的臨界性質、河上的鋼鐵橋墩、都與微積分科學息息相關，越到了近代，科學的進展與發明，絕大部份都是伴隨著數學理論前進。而自然中，也有著與質數有關的趣事，最經典的例子便是北美地區棲息的「周期蟬」，這種蟬的幼蟲鑽入地下，會待上「十三年」或「十七年」，等到時間到後才破土而出，蛻變為成蟬進入繁殖期。因此美國人常發現，每隔13年或者17年，蟬的數量就會突然暴增，夏天會變得特別吵。

面對這種詭異現象，生物學家就解釋，這在物競天擇下演化而來的，原先可能還有有12年、14年、15年蟬，但他們都被「淘汰」了。生物學家推測13年與17年蟬能活下來的原因，大致上與質數的性質有關，在夠短的時間內，「13年蟬」與「17年蟬」很難與其他物種強勢期「同時撞期」，這使得蟬的有很強的躲避天敵的特性。

▼2013年時，17年週期的雌紅眼蟬在美國大爆發，一時蔚為話題

假設蟬的天敵每6年會迎來一次大量出沒（與生命週期、世代交替有關），在這種條件下，13年蟬每隔78年才會遇到一次滅絕危機（最小公倍數78），17年蟬則是每隔102年才會遇到一次滅絕危機。而要讓這兩種完全滅絕，也就是兩種蟬同時出土又遇上天敵強勢期，要隔1326年才有一次機會。

如果將蟬的地底休眠周期改為10與12年，那麼各自在30年與12年時就會撞到天敵強勢期，三種同時碰期的時間也會縮短到60年，在一定期間內，跟天敵越少撞期，就代表生存能力越高，越不容易被滅絕，因此科學家認為，是因為13與17的質數性質使得北美的蟬能夠存活至今。

▼例如他們的天敵螳螂

在電腦與網路科技與通訊協定上（例如WI-F密碼），最普遍使用到的加密法是「RSA演算法」，原則上就是拿兩個很大的質數（例如A跟B）相乘，算完後把數字公布，問大家知不知道這組質數因數是什麼（即是A,B分別為多少）

由於數字太大了，除非解謎者事先知道A或B是多少，或者攔截到其他提示，不然只能透過電腦暴力破解，用質因數分解的方式來破解答案，所需計算的時間非常的漫長。

在1980年，RSA密碼學開始大肆入侵金融界與通訊界，改善了網路加密傳輸與通訊協定的安全性。只要A乘上B值夠大，那麼電腦就需要花上更多時間來破解加密。可想而知，隨著電腦的技術進步，越來越多的質數被寫在質數表上，銀行勢必要不斷更換更大的A值與B值，以杜絕駭客的破解，由此尋找更大質數就成了一個需求。

▼在密碼學領域裡，只要有更多的質數列表可供使用，駭客就能縮短破解RSA演算法的時間

在大自然中，也許還有更多的質數被隱藏著，我們不清楚，那是源於我們對質數的不了解。這就是為何科學家要花大錢懸賞「黎曼猜想」，因為如果解決這個疑問，很有會引發一批新的「科學大革命」，讓我們發現宇宙萬物中，我們從來不知道的規律。

有些人貧困一生，鑽研數學與科學，就是為了讓我們更能夠看得更遠，但這些難題太難了，甚至默默無名就這樣結束一生的人太多太多。

我們都站在巨人的肩膀之上，有的時候我們腳踩的，是不少有才華洋溢的科學家屍體，他們是為了人類科學文明所犧牲的烈士。這種壯烈犧牲，你們怎麼可以說他們是騙經費，沒有意義、與人類生活無關的知識呢？

▼微積分共發明人牛頓畫像（圖／達志／美聯社）

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數學界最大的謎團：日本數學家望月新一的論文與無法測透的證明

上週數學界發生一件大事： Peter Scholze 和 Jakob Stix 相信他們發現望月新一所作 ABC 猜想證明的一處致命缺陷。二者已在望月及其同事所在的京都大學進行了為期一週的訪問，他們的報告認為 ABC 猜想並未得證。不過望月本人並不買帳，他在個人網站上貼出了反駁，認為 Scholze 和 Jakob 的對其證明的批評存在「某種根本上的誤解」。我們就來回顧一下，數學界的傳奇大師望月新一，以及他的 ABC 猜想證明有多令數學界頭痛。

當有數學家宣稱解開了某一知名的猜想，卻沒有人能解讀，那數學界該怎麼反應？任職於京都大學的數學家望月新一（Shinichi Mochizuki），在 2012 年於其個人網站刊登出四篇論文，共五百多頁，宣稱已證明數論中很重要卻未被證實的猜想「ABC 猜想」（ABC conjecture）。但從論文發表至今，每個曾嘗試解讀此證明的數學同行，在經過一段時間的努力後，都只能絕望的放棄。

數學界在過去幾十年中，曾出現幾件轟動一時的大新聞。1994 年，懸宕近三百年的費馬最後定理被英國數學家懷爾斯（Andrew John Wiles）解開，2003 年，龐加萊猜想由俄羅斯隱士數學家裴瑞爾曼（Grigori Yakovlevich Perelman）所破解，而最為大眾所熟知的是在2013年，當時仍名不見經傳的華人數學家張益唐，證明存在無窮多對質數距離都小於 7000 萬。望月新一在幾年前提出 ABC 猜想的證明時，也讓數學界震撼不已，許多國際知名媒體都曾大幅報導。 

ABC 猜想與其意義

ABC 猜想是在 1980 年代分別由兩位數學家分別提出，它的內容其實不難理解。假設有三個正整數 a、b、c，滿足 a+b=c，三數互質（沒有大於 1 的公因數）。令 d 為 a、b、c 三數的質因數乘積，那 d 通常會比 c 大。舉例來說，a=3，b=7，c=3+7=10，a、b、c 三數互質，d=3×7×2×5=210，d>c。

ABC 猜想為何如此重要，主要有兩個原因。一是從直覺來說，a 和 b 的質因數與兩者加總的質因數應該沒有任何關係，但此猜想卻將它們連在一起，意味著如果 a 和 b 能被許多數值較小的質數分解，那能分解 c 的質數將很少且較大。往前推一步，如果 ABC 猜想被證明是正確的，將顛覆我們一般認知──在加法和乘法的代數交互上，會產生無限可能和不可解問題，換句話說，在加法、乘法和質數之間，一定存在人類未曾觸及過的某種關聯。

另一個原因是 ABC 猜想能證實許多知名且尚未解決的難題，例如費馬最後定理的推廣猜想、Mordell 猜想、Erdős–Woods 猜想等。此外 ABC 猜想還能間接推導並簡化很多已被證明的重要定理，比如懷爾斯用幾百頁的篇幅證明了費馬最後定理，但如果 ABC 猜想被證明，那麼要證明費馬最後定理只需一頁的篇幅。ABC 猜想在數論的應用非常廣，甚至可以衍生證明超過二十個定理。

令數學界困惑的論文

望月新一自小是天才兒童，16 歲就讀美國普林斯頓大學數學系，19 歲畢業，22 歲拿到數學博士學位。他在二十幾歲時就在遠阿貝爾幾何（Anabelian geometry）領域做出重大貢獻，還被邀請到四年一度的國際數學家大會上演講。但在 1988 年他突然消失於數學界，潛心研究 ABC 猜想，他所使用的數學工具，正是遠阿貝爾幾何。在苦心研究二十幾年後，望月以自己獨創的「宇宙際Teichmüller」（Inter-Universal Teichmüller）理論，證明出 ABC 猜想。

▲ 望月新一教授。（Source：Naver）

但當數學界興致勃勃的想要解讀望月的論文，卻發現裡面的所有公式就像來自未來的產物，整篇論文就像天書一樣，所有的概念與定義都無法連結到現有的語言或技術；再加上作者一些古怪的堅持，不想在大眾面前發表、不想到處旅行解釋他的發現等。種種的一切讓這份論文越難被解讀。

有鑑於過去望月在數學領域非常細膩與傑出的研究，數學界並沒有將它束之高閣，或乾脆視它為「不可能成功」的證明，而是為此舉辦會議，招聚當今世界頂尖的數學家共同討論。由克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）與牛津大學數學研究所共同資助的研討會，雖然望月沒有與會，卻有許多優秀的理論學家或算數幾何學家參與其中，但會議宗旨並非去證明望月的論文是對的，而是去裝備這群人，讓他們有足夠的背景知識來閱讀望月的論文。

「但會議的結果卻令人感到挫折」，參與其中的佛羅里達大學數學教授 Knudson 指出。特別是在會議最後兩天，底下的聽眾一再要求提出說明性例子，講者卻只能再次保證那不知何時能兌現的諾言。Knudson 認為，對於探索望月論文中的未知世界，數學家看起來沒有多少耐心，但或許還是能激發出一些人想要更深入挖掘的動力。

根據望月自己的說法，要讀懂他的論文，數學所研究生需要花 10 年左右的時間，英國諾丁漢大學數論學家 Fesenko 則表示，就算是學有專精的算數幾何學家，也要花上 500 小時才能看懂。而到目前為止，全世界只有四位數學家表示能完全讀懂所有的證明。

孤寂的天才

望月可說是孤寂的天才。熟識他的人說，望月並非天生性格內向，但他非常專注於自己的數學研究中。這對許多成名甚早，往後卻因過多的榮耀與邀約，而失去通透心靈的數學家而言，望月能在人生達到第一次學術高峰時，斷然遠離會令其分心的學界，追求研究上的卓越，可說是相當不容易。或許他明白要遠離人群，獨自在數學理論中遨遊，才有機會更上層樓，解開宇宙中最深邃難解的謎題。

但可惜的是，望月卻忽略一件事，他忘記偉大的研究是需要讓眾人理解，也需要花費心思去解釋，否則只會讓一切的努力枉然，也將想要更進一步認識他的人阻擋於牆外。就如同牛津大學教授 Minhyong Kim 對望月的行事作風所下的評論：「當沉浸在自己的理論世界太久，會察覺不到他人所發出的困惑，因為你先入為主地假設了所有人都明白很多基礎知識。」

（首圖來源：Flickr/Tom Brown CC BY 2.0）

• The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof
• An ABC proof too tough even for mathematicians
• A purported new mathematics proof is impenetrable – now what?
• abc conjecture

• 本文授權轉載自:TechNews(科技新報)

【原來可以靠簡報救人】數學女神南丁格爾靠這張統計圖，直接把士兵死亡率降低整整 40% Posted on2017/01/06

【原來可以靠簡報救人】數學女神南丁格爾靠這張統計圖，直接把士兵死亡率降低整整 40%

Posted on2017/01/06

 BO 肥皂箱

【為什麼挑選這篇文章】

我們都聽過白衣天使「南丁格爾」在戰場上救下許多士兵性命的故事，但南丁格爾原來除了靠愛心、勇敢和醫療技術，還曾經成功用數學拯救了無數人呢！

（責任編輯：林芮緹）

By Welcome to trust limited, Gallery,CC BY 4.0,

文／ 大姊鷗

今天看到了一個很有趣的新聞。

在遊戲《Fate/Grand Order》中，歷史上知名的「提燈天使」南丁格爾在遊戲中的位階是狂戰士。於是有日本網友找出了資料，證明了南丁格爾的狂，遊戲所言非假。據說南丁格爾曾經面對刁難她的軍隊長官，一拳打破木箱，強行把藥取走以治療傷患。

看來要在軍中成為白衣天使，也是要練就一身本領的。

南丁格爾（Florence Nightingale）1820 年出生在義大利的上流家庭，從小接受良好的教育，並在年輕時就展現數學的天分。

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當時護理人員被認為是低賤的職業，充滿骯髒和疾病。因此南丁格爾下定決心去讀護理時，母親可是大力反對，父親每年還給她優渥的零用錢，以使她沒有後顧之憂的工作，也成就了日後的白衣天使。

但你知道嗎，南丁格爾也曾經用數學救了許多人呢。

南丁格爾最有名的貢獻是在克里米亞戰爭的時候，她參與軍營的護理工作、並見證了 1855 年 3 月時，英軍改善了軍營中的汙水管道、通風設備以及衛生條件，救了許多士兵的生命。

回國後，她深感衛生的重要，決定要說服大家「改善衛生、減少感染」便是拯救人命的關鍵。

於是她做出了著名的統計圖——極座標圓餅圖（又稱圓形直方圖、雞頭圖，如附圖）
這種圖表將圓心角十二等份，但用面積來表示數據，同時有顯示時間推移與面積差異的效果。

南丁格爾玫瑰圖。
顯示 1854-1855 年，因為衛生不良而死的士兵、相對重傷身亡的士兵的逐月數據。

在這個圖中，南丁格爾畫了 1854 年 4 月至 1856 年三月，整整兩年的士兵傷亡數據。
－藍色為透過衛生改善能避免的死者。
－紅色為傷重死者。
－黑色為其他死因的死者。

很明顯的能看到，1854 年 8 月後到 1855 年 4 月的藍色面積非常廣，在經過衛生改善之後迅速的減少了藍色面積的死傷人數。本張圖片也隨著南丁格爾的製作而發揚光大，影響了許多國家的護理與衛生狀況。

據信南丁格爾是第一個將此圖表發揚光大的人，因此極座標圓餅圖又稱為「南丁格爾玫瑰圖」來紀念之。

南丁格爾本人也因為此貢獻，於 1859 年成為英國皇家統計學會的第一位女性會員。

南丁格爾不只是書中慈祥的天使，她勇猛無畏的態度以及科學理性的精神，才讓護理走到了新的高度。我們也該多體諒身邊辛苦的護理人員，並感謝衛生條件進步讓我們能更免於病痛的侵擾呢。

參考資料：

1.維基百科-南丁格爾 
2. 遊戲相關新聞 
3. 拯救生命的圖表 — 南丁格爾玫瑰圖

（本文經原作者 大姊鷗 授權轉載，並同意 BuzzOrange 編寫導讀與修訂標題。）

同心圓捷運圖簡單明瞭 網友大推好評不斷 發稿時間：2017/01/19 01:17

同心圓捷運圖簡單明瞭 網友大推好評不斷

發稿時間：2017/01/19 01:17

最新更新：2017/01/20 12:13

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（中央社台北19日電）真的是高手在民間！近來有網友為了讓台北捷運圖更美化和簡單明瞭，將捷運圖畫成同心圓狀的路網圖，讓許多網友大推「超清楚的」，直呼完勝官方版本。

隨著桃園機場捷運即將通車，台北捷運的路線圖也變得更加「眼花撩亂」。網友曾元濃在PTT上分享自製的「同心圓」捷運圖，加上使用了新版的車站編號標誌，讓看到的網友驚豔，比官方版簡單明瞭，且設計更加美觀。

這張「自製」的路網圖，受到許多人喜愛及好評不斷，且站跟站之間的相對位置，跟真實的狀況也相當接近，讓網友都盛讚「有考慮印成海報嗎」，甚至建議「可以設計成杯墊、口袋地圖」。

其實去年10月間，該名網友就曾分享過「同心圓」版本的捷運路網圖，當時表示只是在模仿莫斯科的國土鍊成陣繪製台北捷運的未來展望圖，加上受到港鐵同心圓路線圖的啟發，便自製出一張涵蓋興建中的萬大線、西環段和信義線東延段的捷運路線圖。

除了北捷有同心圓版的路線圖外，「高雄點 Kaohsiung.」臉書專頁日前也PO出過一張，高雄4鐵設計圖，集捷運、台鐵、高鐵、輕軌等路線，透過同心圓的方式，讓錯綜複雜的交通車網能夠更一目了然，引發不少網友熱烈迴響。1060119

用數學幾何蓋出沒有柱子的建築！巴爾蒙德的倫敦蛇形藝廊 2002 2016/12/13| 專欄活得科學萬物之理 |標籤： 伊東豊雄元素塞西爾．巴爾蒙德正方形秩序的隨機蛇形藝廊

用數學幾何蓋出沒有柱子的建築！巴爾蒙德的倫敦蛇形藝廊 2002

2016/12/13|

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• 伊東豊雄
• 元素
• 塞西爾．巴爾蒙德
• 正方形
• 秩序的隨機
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英國倫敦海德公園旁，曾有一棟相當著名的實驗性建築蛇形藝廊 2002（Serpentine Gallery Pavilion 2002），蛇形藝廊從 2000 年開始每年都會在夏季舉辦為期三個月的建築展覽，結束後會拆除隔年再換下一個實驗性建築，世界上許多建築大師都曾參與其中[1]，算是建築界非常有名的年度盛事。

倫敦蛇形藝廊 2002 建築物外觀。圖／Balmond Studio 授權使用

蛇形藝廊 2002 是由建築師伊東豊雄（Toyo Ito）、結構設計師塞西爾．巴爾蒙德（Cecil Balmond）與 Arup 團隊共同完成，是一棟長寬高為 18 m × 18 m × 4.5 m 的建築物。意外的是建築內沒有看到明顯的柱體，反而是由許多直線交織出不規則的圖形，來構成天花板與牆面，使得建築物散發一種特殊的美感。具體上無法形容和說明這個建築帶給我的感覺，但從數學人的觀點來看，這構造和幾何息息相關。

巴爾蒙德與伊東豊雄合影。圖／Balmond Studio 授權使用

建築的最基本元素是正方形？！

乍看之下，建築物中的線條十分複雜看不出有什麼規律，但實際上裡頭運用了非常簡單的數學原理與演算法規則。結構設計師巴爾蒙德在建築結構設計中，運用許多典型之外（informal）的設計方式[3]，改變一點大家習以為常的規則，創造出許多有趣的建築。

在蛇形藝廊 2002 的建築設計中，巴爾蒙德以正方形為元素（element）作為設計結構的思考起點。他將一個正方形的其中一邊的中點也就是 1/2，連至鄰邊邊長的 1/3，以此類推至四個邊，卻發現這四個邊無法構成一個正方形，所以再將這四個邊的邊線延伸至出去，得到了一個小正方形。再按照此 1/2 → 1/3 演算法的原則進行多次之後得到如下圖右下方交錯的線條網路[4]。

我們一般人如果想要在正方形中得到另一個正方形，大概就是 1/2 → 1/2 原正方形四個邊的中點連中點吧。1/2 → 1/3 的演算法和 1/2 → 1/2 有什麼不同呢？

首先是中心點與胚騰〔註〕的偏移（skew of pattern）打破了原有圖形的對稱性，新的正方形會超過原本正方形的邊界，在重複進行多次以後也會產生螺旋的形狀。

• 註：胚騰（pattern）可解釋成圖樣、紋理、規律、規則等。

接著選定正方形內較小的一四邊形當作屋頂設計的樣式後，去掉四個角落之後將四邊形外多出的線條垂直向下摺疊 90 度形成一個盒子，再進行結構分析選擇哪些空間是具乘重功能的結構體、哪些空間則保持簍空，使整個系統成為一個無傳統梁柱的建築結構系統。也就是說，這個造型本身就是結構體，而不是只有外觀裝飾功能。

沒有柱子的實驗建築誕生

其實最一開始的時候，伊東豊雄了解到可以在材料與型式上進行許多實驗，由於只有三個月的展期，因此不用擔心建築的功能，也無須擔心建築物會隨著時間老化的特性。他和巴爾蒙德打算採用一般的盒形幾何，透過胚騰的參與（patterned intervention）轉化成一個特殊且與眾不同的建築。

倫敦蛇形藝廊 2002 建築物內觀。圖／Balmond Studio 授權使用

伊東在概念發想階段提出兩個問題：第一是如何將一個樓板漂浮在空中，也就是說沒有可見的鉛垂線，亦沒有傳統上樓板在柱子上的限制；第二個問題則是如何轉化一個盒子？也就是做一個沒有柱子甚至沒有窗戶與門的盒子（column-less box）[5]，沒有任何一般建築會有的元素。

總而言之，伊東想要呈現的是非線性的過程。他們想出的策略是秩序的隨機（ordered random），看似隨機但背後隱含著秩序。伊東交了一個有很多大型不規則氣泡在建築體的草圖給巴爾蒙德之後，巴爾蒙德修正提出了 1/2 → 1/3 的演算法，將乾枯的算術轉化成可用在結構、建築、裝飾的代數規則。

具備將元素轉化成結構設計規則這種能力的結構設計師並不多，巴爾蒙德在這方面是佼佼者，世界上許多知名的建築師都喜歡找他合作。2016 年重新開幕的台中歌劇院也是伊東豊雄和巴爾蒙德的作品，看歌劇院流動的造型就知道他們總是喜歡挑戰一些高難度的建築。

用「元素」玩出結構新貌 巴爾蒙德的建築世界

除了前述的從元素正方形中設計出建築的基本構造之外，巴爾蒙德也擅於從大自然的元素中提取設計的靈感還寫了一本叫做《元素》（Element）的書[6]，裡面有稻草堆、花朵生長的方式、甚至還有一個章節是數學裡面的元素，像是伊斯蘭圖樣、數字等概念。

Element 展覽裡以圖形化呈現吠陀方形的數字規律。 圖／Alex Fradkin 和 Balmond Studio 授權使用

巴爾蒙德早期也曾經研究過位數根（digital root），憑藉著對數字的熱愛以及其中蘊含的規律，寫了《數字 9》（Number 9 : The Search for the Sigma Code）這本書，裡頭也有提到源自古印度數學的吠陀方形（Vedic square）以及位數根的各種規律[7]，下圖是吠陀方形在 Element 展覽中呈現的樣態；最新的書 Crossover 則是整理了以往的藝術、建築、橋梁的創新設計案例與概念[8]。

Cecil Balmond 的著作。圖／Amazon

雕塑家朱銘說過：「人類創造立方體，卻被立方體所框。」他認為自然生態之中並沒有立方體的型式存在，而僅存在於人類社會之中。被創造出的立方體對人的生活空間與思考都是一種框架，朱銘也在思考如何跨越這個限制。

巴爾蒙德創造出了一個立方體，顛覆了一般大眾對於立方體的認知，以及建築設計、工法上的限制。以秩序生成隨機體現於建築中，不再被立方體所框，而這一切不過就是一個正方形從 1/2 連到 1/3，將線條延伸出原本的邊界去。

讀巴爾蒙德的書除了覺得對於數學的著迷這一點與大師心靈相通之外，還發現他的書書名可以寫成一個跨界方程式：仔細觀察自然或數學中的元素（Element），乘以別人想不到的非典型方式制定新規則（Informal），便可以跨越邊界創造新事物（Crossover）！

Element × Informal = Crossover

• 此文作者本系列文章獲得臺北市政府文化局藝文補助

參考資料：

1. Pavilion | Serpentine Galleries, 2016.
2. Balmond Studio, 2016.
3. Balmond, C. Informal, Prestel, Munich, 2007.
4. Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
5. Ito, T., Balmond, C. Serpentine Gallery Pavilion 2002: Toyo Ito with Arup, Workshop for Architecture and Urbanism, Japan, 2002.
6. Balmond, C. Element, Prestel, Munich, 2007.
7. Balmond, C. Number 9, Prestel, Munich, 1998.
8. Balmond, C. Crossover, Prestel, Munich, 2013.

關於作者

Shark 在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味，一直懷著強烈的好奇心探索世界，不小心發表過數學論文；近來嘗試進行數學藝術創作，曾經參加過視覺混種展覽、獲得臺北市政府文化局藝文補助，以及進行數學科普互動活動。一個既不是念數學也不是學藝術出身的藝數創作者。聯絡方式：(1)信箱 sharkgallium@gmail.com (2)推特 (3)臉書。

交換禮物抽法其實不公平？數學家教你絕不失敗的玩法 2016/12/22|

交換禮物抽法其實不公平？數學家教你絕不失敗的玩法

2016/12/22|

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一年一度的聖誕節又快要到了，大家最期待或是最感困擾的事情之一應該就是交換禮物吧！如果是和朋友交換的話，自然是邁向新年之前最期待的事；但如果是在職場上和不熟的同事交換，腦中小劇場演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困擾。

交換禮物是件既期待又害怕傷害的活動！圖／By Kelvin Kay, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

西方基督教的聖誕節傳統之一是秘密聖誕老人（Secret Santa），大家在匿名的情況下彼此不知道誰送誰什麼禮物，只知道自己要送哪一個人禮物，所以這活動叫做秘密聖誕老人；但在台灣的交換禮物派對，普遍來說在大庭廣眾之下送禮物、拆禮物、惡搞禮物才是活動的高潮，很少玩匿名的秘密聖誕老人。

今（2016）年 11 月英國數學家漢娜．弗萊（Hannah Fry）以及湯瑪士．伊凡斯（Thomas Oléron Evans）出了一本新書，叫做《聖誕老人的存在是不爭的事實》（The Indisputable Existence of Santa Claus）[1]，裡頭就有一章專門介紹交換禮物的數學。無論匿名與否，交換禮物其實有很多種抽法，不同的抽法會影響誰是你／妳的送禮對象。

接下來我們就跟著英國數學家的腳步來看看交換禮物的數學吧！

聖誕老人的存在是不爭的事實。圖／@ Amazon

第一種是最常見的方法，一個一個輪流抽，如果抽到自己的號碼再把紙條丟回去，算是一種基本常識，總不會有人希望抽到自己的禮物吧。可是如果最後一個人抽到自己的號碼呢？這時候沒有固定的解法，有可能隨便和一個人換禮物，但這種解法除了尷尬之外，同時失去交換禮物的意義；或者是大家全部重抽一次，不過這除了麻煩之外也難保下一次不會再發生同樣的事情，不論哪一種都有點棘手。

對數學家而言，交換禮物只不過是一種排列組合。來看看如果只有三個人交換禮物，抽禮物的順序是如何影響誰送誰的機率！

現在有 A、B、C 三個人玩交換禮物，我們將所有抽籤的可能性整理成以下的圖表。當 A 第一個抽，有可能抽到 A、B、C 其中一個，將 A 抽到自己的狀態扣除，以 X 表示，因此這條路線的機率是 0，而這時 A 抽中 B 或 C 的機率各是 1/2。接下來輪到 B 準備抽籤，如果剛剛是 A 抽中了B，那 B 可以抽 A 或是 C 機率各是 1/2，不過這時如果 B 抽到 A 的話，那 C 就只能自己和自己交換禮物，因此也等於交換失敗（X）；如果 B 抽到 C，那 C 就只剩下 A 可以抽，機率是 1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的機率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一開始抽到 C 呢，換 B 抽的時候如果抽到自己就會丟回去（X），所以只剩 A 可抽，機率為 1，換 C 抽的時候也只剩下 B 可抽。因此 A 送 C、B 送 A、C 送 B的機率是 1/2 × 1 × 1 = 1/2。

從上圖發現兩條路線中送禮對象的機率竟然不同，C 送 B 的機率竟然是 C 送 A 機率的 2 倍。就算不是 A 先抽也一樣會發生同樣的問題。最常見的交換禮物抽法，實際上會影響送禮對象的機率，很顯然這種抽法並不公平，即使人數較多也是如此。

那如果換個方法大家一起抽呢？也就是一個一個抽卻不當場打開紙條，大家一起打開這樣就不會受到丟回去的紙條影響，可以把這樣的抽法視為一種排列組合。但如果是這種玩法的話，愈多人玩交換禮物，就會有愈高的機率有人抽到自己的禮物，一般來說大約是高達 37 %的機率有人會抽到自己的禮物[2]，即使參與人數不同也大約是這個數字。

如果要將有人抽到自己禮物的機率降到 5 %以下，那麼至少要抽 4 次耶！[1]應該沒人會有耐心這樣慢慢玩，只好捨棄第二種大家一起抽的方法。

抽一次就成功的交換禮物方法

從以上的兩種方法可以發現，玩交換禮物需要的是一種不會抽到自己名字的排列組合，在數學上稱為錯位排序（derangement）。

英國數學家在書中提出了第三種方法能夠符合錯位排序，又有以下的優點：程序透明（大家自己動手抽不是用電腦）、公平（每個人送給其他人的機率相等）、有效率（一次搞定，絕不會再抽第二次）、秘密（包括主持人在內，沒人知道誰是誰的秘密聖誕老人，雖然這優點在台灣似乎不被認為是優點）。

方法像是下面的圖在紙的上方寫上自己的號碼 「你是 2 號」，下方則是寫上「送禮物給 2 號」，大家分別寫上屬於自己號碼如下：

再來搜集所有的紙條，將它們翻到背面並將順序打亂，重新排列成一個直線。接著關鍵步驟來了，沿著中間的虛線剪開紙條。接著把紙張上半部（你是 O 號）向右移一個位置，最右邊的紙條則是移到最左邊，如此一來就完成了交換禮物的配對。紙條上面的號碼代表聖誕老人是幾號，下面的則是收禮物的人。最後大家在另外一張紙上填入自己的號碼和名字，如此一來就知道該把禮物送給誰了。

第三種方法中不會有人抽到自己的號碼沒拿到禮物，而且只要抽一次就能完成，是一種簡單而有效的方法，唯一的小缺點是不會有兩個人互相送禮。英國數學家認為這未必是缺點反而是 Z > B 呢，看來這樣的認知也是文化上的差異。如果不想在聖誕節也感受到職場上表面河蟹的氣氛，可以考慮用第三種方法加上匿名。

話說第一種方法也不是完全沒用，可以用在想要送給心儀的對象卻又不敢直接送，人少少的交換禮物派對之下，不用默默祈禱也不一定要和主持人串通好，透過數學就能知道，如何讓你／妳的禮物送到對方手上的機率增加。

很數學的聖誕節

除了秘密聖誕老人之外，英國數學家還在書中介紹了許多關於聖誕節的數學，像是裝飾聖誕樹的數學、怎樣送禮效果才會好、控制烤雞溫度的方程式、分析與模仿英國女王的聖誕夜談話、聖誕老人在旅途中是胖了還是瘦了？不得不說英國數學家真的相當有創意，讓大家知道數學除了實用之外也很有趣。

而且兩位作者最近在推特上（@FryRsquared 和 @Mathistopheles）舉行聖誕節的「每日數學小活動」（The Indisputable Santa Mathematical Advent Calendar），從 12 月初開始到現在已經累積了許多數學謎題。第一天的活動是開放讀者投稿數學聖誕裝飾，最佳的五名可以獲得他們的新書。最後選出了六名，得獎作品在此網址。有興趣的讀者可以用#Christmaths 這個 hashtag 搜尋，會有更多有趣的貼文和圖片。

參考資料：

1. Fry, H., Evans, T.O., The Indisputable Existence of Santa Claus, Doubleday, UK, 2016
2. 黃俊瑋，交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts），2014

關於作者

Shark 在國二無聊的早自習意外發現數學的趣味，一直懷著強烈的好奇心探索世界，不小心發表過數學論文；近來嘗試進行數學藝術創作，曾經參加過視覺混種展覽、獲得臺北市政府文化局藝文補助，以及進行數學科普互動活動。一個既不是念數學也不是學藝術出身的藝數創作者。聯絡方式：(1)信箱 sharkgallium@gmail.com (2)推特 (3)臉書