大美开封 风雅汴梁：宋代数学 蓬勃发展
南宋杰出的数学家杨辉像。
长方台垛。
算筹计数摆法。
数学是中国古代科学中一门重要的学科，历史悠久、成就辉煌。
宋元数学是中国古代数学的黄金时代。公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面，北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进。公元1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，公元1213年鲍擀之又进行翻刻，这为数学发展创造了良好的条件。在这一时期，数学研究的很多领域都达到古代数学的高峰，其中一些成就也是当时世界数学的高峰。宋代在数学研究方面取得了诸多重大成就，如贾宪三角与开方作法本源图、增乘开方法、大衍求一术、隙积术、垛积术、会圆术、纵横图、筹算和珠算等。然而，宋代后期，算盘和珠算的使用使数学的抽象思维被禁锢，数学的发展开始滞后。
“宋代数学的研究成果呈‘井喷’式大爆发，与前朝和后代相比，这一时期的数学研究成果众多，不少理论我们至今还在教学和运用。”提起宋代数学，河南大学历史文化学院副教授惠冬博士说。
中国数学的发展可分为中国古代数学的萌芽、中国古代数学体系的形成、中国古代数学的发展、中国古代数学的繁荣、中西方数学的融合五个阶段。中国古代数学的萌芽始于原始公社末期。春秋战国时期，筹算作为中国古代的计算工具，已得到普遍应用。秦汉时期，随着社会经济和文化的迅速发展，算术成为一个专门学科，以《九章算术》为代表的数学著作出现。魏、晋时期出现的玄学，运用逻辑思维，分析义理，这有利于数学从理论上加以提高。至唐朝后期，计算技术有了进一步改进和普及，出现多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷，推动了古代数学的发展。
“到了宋元时期，中国古代数学达到了巅峰。”惠冬说，在古代，数学叫做算术，又称算学、术、算、九九、九算，别称很多。术作为一门单独的学问在先秦的时候就有了，周礼六艺“礼”“乐”“射”“艺”“书”“术”中最后一个术指的就是数学。第一次提到数学这个词是在宋代，南宋秦九韶提出“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数”，是说先有物才有象，象的繁衍滋生才有了数，这也算是数学的第一个定义了。“现在我们所知道的宋代算学专著已知其名字的大概有54种，而传世的只有十几种。”惠冬介绍说，“宋代对数学家极为重视，历史上第一次对数学家的追封是在宋徽宗时期，一次追封了70位数学家，供后世供奉，官方的重视和支持也是数学繁荣发展的原因之一。”
北宋数学家贾宪在《黄帝九章算经细草》中首先提出开方作法本源图，即现在的指数为正整数的二项式定理系数表，是一个由数字构成的三角形数表，现称“贾宪三角”，因见于南宋数学家杨辉著作，故亦曾称“杨辉三角”。杨辉在《详解九章算法》一书中明确指出“贾宪三角”为开方作法本源图，称这个图系“出释锁算书，贾宪用此术”，并绘出了“古法七乘方图”。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》中扩充“贾宪三角”为“古法七乘方图”。欧洲人称“贾宪三角”为帕斯卡三角，比贾宪的提法晚了600多年。除“贾宪三角”外，贾宪还引入了一种新的开平方、开立方的方法，即增乘开方法，把方法中的乘平方、乘立方等步骤用随乘随加的方法加以代替。贾宪创造的增乘开方法的运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。惠冬说，在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的过程，直到1804年，意大利数学家鲁非尼创立逐次近似法解决数字高次方程的近似值问题，并因此获得了意大利科学协会颁发的金质奖章。1819年，英国数学家霍纳才提出了与增乘开方法演算步骤基本一致的算法，后被称为“霍纳法”，这比南宋数学家秦九韶提出的算法晚了500多年。
“在中国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算术》《张丘建算经》等都提出了一些有关等差级数求公差及求和的公式。”惠冬说，高阶等差数列的研究始于沈括。《隙积术和会圆术》中所记的隙积术和会圆术就是他的两大重要研究成果。隙积术是用来计算诸如累棋、层坛、积罂（堆砌的酒坛子）一类堆垛物体的体积公式，其中包含了高阶等差级数的计算公式。“隙积术”的计算方法和现代数学中“积弹”的算法相似，现在又称为二阶等差级数的求和法即把同样的很多物品层层堆积，各层都是一个长方形，自下而上，逐层在长、宽方面各减少一个，求其总数。沈括的研究开了中国垛积术研究的先河。后来，南宋时期的数学家杨辉发展了这一成果，创造了垛积术公式。会圆术是计算圆弧的弦、矢（弧的高）与弧长间数量关系的数学公式，已知圆的直径和弓形的高，求弓形的弦和弧长的方法。在我国数学史上，沈括第一个利用弦、矢求出了弧长的近似值。这一公式为元代郭守敬创制《授时历》提供了直接的数学依据。
南宋秦九韶在《〈数书九章〉序》中提到算数又分为内算和外算，内算是指数术中秘而不传的部分，是大数术，包括缀术和三式，缀术又包括天象和历度；三式又包括太乙、六壬和奇门遁甲；内算的功能是“通神明，顺性命”。外算是数术中公开传授的部分，是小数术，其功能是“经世务，类万物”。宋代以前，内算与外算是一个整体，内外之分不甚明显，统称数术、术数、道术、历数、历算、算法、算经、算术、数学、度数之学或象数之学，数术从业者一般称为畴人。
秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其著作为《数书九章》，创立了大衍求一术。大衍求一术就是求解联立一次同余式问题，被世界上称为中国的剩余定理。秦九韶在其著作《数书九章》中详细、系统地介绍了大衍求一术求解一次同余式问题，这是我国古代数学的杰出成就，在世界数学史上占有重要地位。在西方，直到18世纪~19世纪，著名数学家欧拉和高斯才对一次同余式问题进行了详细研究，得到了与大衍求一术相通的结果，并给出证明。这比《数书九章》晚了近500年。在数学史上，上述定理过去被称为“中国剩余定理”，现多改称为“孙子剩余定理”或“孙子定理”。
纵横术亦称幻方，《数术记遗》载有“九宫算”，这实际上是一个三行纵横图，各行、各列及两条对角线上的数字之和都等于15。“九宫图”后世通称为“洛书”，其起源早于汉代，同时它也是世界上现在已知最早的纵横图。
南宋杨辉在《续古摘奇算法》卷1始有“纵横图”之名，其中给出了3~10阶的幻方及其变体共13种。杨辉给出的方形纵横图共有13幅，它们是：洛书数1幅、四四图2幅、五五图2幅、六六图2幅、七七图2幅、六十四图2幅、九九图1幅、百子图1幅。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。此外，还记录了聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等圆形或环形的新型数字组合图，这些都可以说是纵横图的进一步演变和发展。可以说，杨辉是世界上第一个排出纵横图和讨论其构成规律的数学家。
李冶是金元时期的数学家、诗人，在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质，其著作为《测圆海镜》。惠冬说：“从11世纪～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，李约瑟也称‘这是一个数学家的时代’。”
惠冬介绍说，宋代数学与其之前和之后的数学研究相比，较为突出的地方就是宋代数学注重抽象思维。“这之前和之后的数学实用性比较强，宋代的数学则注重逻辑思维，这是它的一个特点。”惠冬说，这正是宋代数学受理学思想影响的结果，首先，当时很多数学家本身就是士大夫、官员，对数学的抽象思维是受到了理学的启发。其次，理学讲究“格物致知，物格而后知至”，认为格物致知是一切的基础。“此外，宋代的任官制度也是宋代数学繁荣昌盛的另一个因素。”惠冬说，宋代任官制度有官、职、差遣三个体系。官，官名用于表示官位、俸禄高低；职，是官员在三馆、密阁中所担任的职务，称为“馆职”；差遣，指派遣。部分士大夫只有官职，而没有实际差遣，空拿朝廷俸禄，还拥有博物情怀，这也是宋代科技文化发展的原因之一。
惠冬告诉记者，宋代的数学教育主要分为官学、私学和家学。官学由封建朝廷直接举办和管辖，定额210人，专职教授算学的人称为算学博士，相当于现在的数学老师，内算外算均有教授，官府研究算学主要运用于天文历法的推演计算。在宋代，算学往往与天文苑、司天监等机构融合起来。私学方面，宋代各地书院都开设了算学科目。在家学中，最具代表性的人物是苗训与其子苗守信，苗训，善天文占候术，以谋略见长，曾预言赵匡胤陈桥兵变。
宋代之前，作为主要计算工具的算筹存在使用不便、演算速度和效率低下的缺点。宋代社会的快速发展和满足大量繁杂计算的需求，推动了该时期筹算法的研究。费正清、赖肖尔所著的《传统与变革》一书中指出，“宋代后期开始用算盘，自此以后成为东亚商人的主要计算工具。”算盘起源于宋代，在张择端的《清明上河图》“赵太丞家”的药铺正面柜桌上放着算盘，经中国珠算专家鉴定，确认画中之物的确是和现在使用的算盘类似。杨辉在《乘除通变算宝》里、朱世杰在《算学启蒙》里都记载了有关算盘的《九归除法》，可见，在宋代算盘的使用已经比较普遍了。
“到元代后期，算盘和珠算的普及对前代的数学理论研究是一个巨大的挑战。珠算的大量使用使数学开始实用化，对于抽象思维的探索被禁锢，而后，数学的发展开始滞后，进而阻碍了中国古代数学的发展。”惠冬说，“所以，元初之后，我国古代数学的发展相对缓慢，再也不复宋时的黄金时期。”
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