【數學力】政黨票該怎麼投才不浪費？ 2016-01-12 17:50:47

【數學力】政黨票該怎麼投才不浪費？

2016-01-12 17:50:47

圖／聯合報系資料照片

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這是最近相當熱門的議題，許多數據分析紛紛出爐。選民既想讓政黨多元化，又擔心小黨無法衝過5%門檻，浪費了一票。同樣一則討論，他人眼中看到了政治，我看到的卻是數學。從在學校被討厭的科目到能受到眾人如此廣泛的討論，如果數學是人，這幾天走在路上應該都面帶微笑，下了班還會去居酒屋喝一杯慶祝吧。

為了讓數學更開心（講得好像我是數學的工具人男友），我想繼續政黨票的數學討論。政黨票的分配很複雜，目前討論大多是舉出各種可能的選票結果，再用數學計算對應的席次，例如苗博雅候選人或李柏鋒的擴大機的文章。

這種案例討論可以有效化簡問題，讓讀者清楚看見不同狀況的結果。

唯一的問題是，每個人認定最有可能發生的選舉結果，不一定有被這幾篇文章列出來。選舉千變萬化，台灣民調某種程度上也是千變萬化，就算是對選舉有深入研究的兩位專家，對各政黨得票率也可能有不同的看法。

比起用案例討論，今天我想做的是——用數學式子描述「投給沒過5%得票率門檻小黨的影響」。只要學會這道式子，帶入自己認為最有可能發生的結果，就能了解小黨沒通過得票率門檻的影響。

這道式子只有加減乘除，國中生也能輕鬆理解。

※

我們首先將問題重新定義清楚：此次選舉大致上分成兩個陣營，每個陣營都由一個大黨與數個小黨組成。不分區立委選舉中，如果政黨能通過5%的得票率門檻，便能分配到不分區立委席次。有些選民想自發性配票，讓小黨通過5%的得票率；但同時也有選民擔心小黨無法通過5%得票率，投的票就等於丟到水裡浪費了（註）。

目前多數的這類討論著重在分配己方陣營票數，這個思考角度的缺點是「變數太多」，得同時考慮己方數黨支持率的不同分配狀況，討論起來沒完沒了。有些人對這個狀況可能有種似曾相識之感：甲乙丙丁戊五人排成一列，甲乙分隔，請問有幾種排法？

這是高中排列組合的經典問題，我們也有標準的經典思考方式：正面算很麻煩，不如用反面來扣。正面得討論甲乙之間相隔一人、兩人、三人。反面只需要用全部去扣掉甲乙兩人排在一起的狀況。

同樣的思維可以應用在政黨票的討論中：比起分析自己屬意的陣營因為有小黨沒過5%得票率而造成的損失，不如去思考己方損失的投票率，會給對方帶來多少好處。

也就是對方會因此增加多少席次。

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接下來進入數學的討論。

我們先假設所有政黨都通過了門檻，則若對方陣營的總得票率為B%，對方大大小小政黨加起來可以獲得的席次便是34×B%（暫時不考慮席次為整數的問題）。

當換了一種狀況，我方有部分小黨沒通過5%門檻，對方就算得票率依然是B%，總席次卻會比34×B%還要多。

因為能分席次的政黨變少了，每個政黨相對分到的席次便會增加。

假設我方陣營沒過5%門檻的總得票率為T%，席次計算的分母則從100%變成100%-T%，對方陣營可獲得的總席次相對從34B%/100%變成34B/(100%-T%)，增加數量為：

34×B%/(100%-T%)-34×B%= 34×B%×T% /(100%-T%)

34×B%/(100%-T%)-34×B%

假如小黨只有一個，T%的上限是4.9%；兩個就是9.8%。

T的值相對來說比較小，因此100%-T%趨近於1，我們也能用34×B%×T%來粗估對方會增加的席次數目：舉例來說B%=40%，T%=9%，便能得到「損失1.2席次」的估算結果。

觀察此公式，我們便能知道在不分區立委選舉中，小黨沒過門檻帶來的影響和「對手得票率(B%)」以及「小黨損失的得票率(T%)」有關，兩者與對手增加的席次都是大約正比的關係。

我們還能利用這套公式輕易跑出所有可能的狀況

製圖／賴以威

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從這個角度來看，讓己方陣營的小黨過門檻是較好的策略，可避免分母變小，讓對手陣營不會因此獲利。

但公式也有它的缺點：真正的席次分配是整數，不管是34B%/100%或是34B%/(100%-T%)，都必須要先取整數部分，然後再去比較各政黨的小數部分，小數部分大者可以優先進位，多拿一席。在我們的公式中，要是考慮到比較跟取整數的部分，會變得更複雜，所以我們只能提供近似的結果，不像其他文章能精確算出某種結果的席次分配。但大致上我們可以從觀察得知，要是己方過門檻的政黨數多，能玩「進位多一席樂透」的機會也越多，越容易在此佔到便宜，這點其他文章也有提及。

※

最後，政黨票該怎麼投，雖然技術上可以用數學分析，但本質上我想這是一個非常主觀的問題，每個人都能有自己的看法。儘管算了這麼多，但我個人傾向照自己心意去投。

畢竟就算是極端的對方得票率45%，我方損失高達11%，損失幅度大約是1.89席（可能因為進位會再失去一兩席）。比起請求對方支持，減少損失，我想政治人物們在當選後致力「降低5%門檻」，並改良投票制度，讓選民能夠選得更心甘情願，不用每個人都在算數學分析棄保算得比期末考還認真。

政治是替眾人服務，服務業不是應該要多站在客人的角度思考，而非要客人好好配合的嗎？

註：事實上不會浪費，因為在5%之前，還有好幾個得票率門檻，通過就會有過關獎勵：只要有1%的支持度，小黨以後的政治獻金就能抵稅；2%的得票率下次便能直接提名不分區立委；3.5%則能獲得選舉的政黨補助款。

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賴以威

《聯合報》、《國語日報》、《潮人物》專欄作家。作品亦散見網路各大媒體。師大附中，台大電機博士，長庚大學助理教授。

信奉數學大師約翰．馮．諾伊曼的名言：「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.」

最新著作《超展開數學教室》，散文集《再見，爸爸》，譯有《平面國》。作者個人臉書，請搜尋「賴以威」。