【數感生活——數學家與間諜誰比較準？】

【數感生活——數學家與間諜誰比較準？】

前幾天有一則新聞講到對岸疑似修改飛機編號來壯大軍容。 智程梁 （Chih-Cheng Liang）將這則新聞連結到很有趣的數學歷史「德國坦克問題」。在經過作者同意後，我們也來和大家分享這則故事：

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二戰尾聲時，盟軍發現德國在戰場上推出新型坦克 Panzer V，性能相當強大，唯一值得慶幸的是目前看到的數量並不多。盟軍的情報網立刻開始調查德國投入多少資源來生產Panzer V，回報的答案有些不妙

「很大量，每個月能生產千餘台坦克。」

同一時間，盟軍數學家吩咐士兵在各地戰場撿拾Panzer V的殘骸、拆解，記下引擎蓋、車輪等等坦克元件上的「生產序號」。看似沒用的生產編號，在統計學家的眼裡比間諜的情報還珍貴。

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舉例來說，倘若今天抄到的號碼是(27, 40, 18, 5, 10)，我們通常會覺得坦克可能是40多台，因為在40號以後還有一些號碼，就如同5號以下還有1,2,3,4一樣。但不太可能到上百台，畢竟有上百台坦克，但遇到的都是40號以前，這機率挺小的。

數學家發明了一道簡潔公式估算總數
40+(40/5)-1=47
也就是「總數=取樣最大值＋取樣最大值/取樣總數 -1」。

他們利用這個公式估算，得到跟情報網截然不同的答案
「每個月了不起生產300餘台。」

二戰結束，盟軍歡欣鼓舞慶祝勝利，數學家也滿心期待，對答案的時刻總算到了。以下是數學家、情報網、德國生產報告的數據比較結果：

🎭1940/6：數學家認為有169台，情報網認為1000台，實際生產數量122台。
🎭1941/6：數學家認為有244台，情報網認為1550台，實際生產數量271台。
🎭1942/8：數學家認為有327台，情報網認為1550台，實際生產數量342台。

數學家大獲全勝！除了第一個月誤差稍大，其他兩個月都只有10%以內的誤差。情報網則被德軍矇騙，高估到4.5~8倍的產量。

這個故事從此成了一個經典案例，一則展示數學的威力，一則提醒我們資料安全的重要性，德軍成功讓情報網失去作用，但不小心遺漏的幾個數據，遇上專家，終究還是被萃取出關鍵資訊。

也歡迎大家閱讀智程梁 （Chih-Cheng Liang）臉書原文：goo.gl/LRPPYS

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相關新聞「遼寧號航母實彈演習穿幫 塗改飛機編號充數？」http://www.ntdtv.com/xtr/b5/2016/12/16/a1302275.html

如果幫軍方造飛機，編號一定不能乖乖從一開始數的啊

以前課本裡有個估計離散均勻分布最大值的方法，假設有個亂數產生器，給你最小值是 1 ，最大值未知的整數，要怎樣抽樣估計最大值是多少呢。假設抽了 4 個樣本 19, 40, 42, 60 ，統計學說套個公式 60 + (60/4) + 1 = 74 。大致可理解為，把樣本最大的數字 60 ，加上平均間距 60 除以 4 。

看過沒什麼感覺，直到後來看了一個德國坦克問題。

在 D day 前，盟軍內傳德軍有大量五號坦克。五號坦克性能威猛，盟軍的雪曼坦克不敵，然而五號坦克先前盟軍只遇到少量。
盟軍很想知道到底德軍有多少五號坦克。盟軍的資料科學家吩咐不願役去抄擄獲與銷毀的五號坦克編號，引擎蓋、工具箱、輪子的編號也都要抄（不願役哭哭 ...上戰場還要做這些雜事）。抄出來的坦克編號可用上面公式去估計最大值是多少，以知道總共有多少台坦克，其他零件的估法複雜些，但也可用類似邏輯提升估計精準度。

當然，身為盟軍派個間諜也是挺合理。間諜自個兒工作去，按下不表。

最後細作回報，德軍應該恐有千餘台五號坦克。但資料科學家的估計只有百來台。

等到戰後德軍生產記錄揭曉，雙方答案得以驗證。統計估計還蠻準的！

年月 | 統計估計 | 情報估計 | 德軍記錄
June 1940 |169 | 1,000 |122
June 1941 |244| 1,550| 271
August 1942 |327| 1,550| 342

有了這件事之後，後來的人就學乖了。編號一定要夠亂，非常亂！

遼寧號航母實彈演習穿幫 塗改飛機編號充數？

更新時間 ： 2016-12-16 07:31 AM [紐約時間]

 首艘航母  |  遼寧號  |  致命缺陷

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中共首艘航空母艦遼寧號近日首次進行實彈演練，但軍事專家發現，艦載機殲-15的編號再次被塗改，暴露出遼寧號戰機仍嚴重不足，離真正形成戰鬥力還很遠。（新唐人合成）

【新唐人2016年12月16日訊】中共軍方首艘航空母艦遼寧號于近日首次進行實彈演練，但軍事專家從畫面中發現，艦載機殲-15的編號再次被塗改，暴露出配備遼寧號航母的戰機仍嚴重不足。軍方此種虛張聲勢的行爲也再次印證，遼寧號離真正形成戰鬥力還很遠。

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中共軍方近日首次進行了航母編隊實彈演習，但軍事專家發現，參加此次軍演的艦載機殲-15的數量僅有數架，且殲-15的編號被再一次塗改，以充數迷惑外界。

資深軍事研究員黃東表示，殲-15戰機的缺乏與其真實的數量，是「中國特色」的軍事機密，可正常操作的殲-15目前僅有4至6架。同時，殲-15的發動機仍使用著老舊的俄羅斯産發動機。

黃東在評論中寫道，首先之前已有國內網友說過，爲免産量太丟人現眼，海軍對殲-15編號大玩數字游戲。每次邀請官媒記者上艦前，就把其中幾架塗上新編號，大擺空城計濫竽充數，搏取網上無數點贊，以壯「強大軍容」。

當然這幷非專門指殲-15，只是該機目前真正的服役數量，特別是常態化部署在遼寧號航母上可操作數量，從官方資料都可以知道只有個位數字。很自然地，假如有較高强度訓練的話，因維護保養而趴窩的數量還要增加，若再加上地勤人員水平等不利因素，只剩下4至6架能够操作，絕對不會令人意外。

黃東此前披露，遼寧號航母存在三大致命缺陷，一、艦體自身壽命已過去一半；二、艦體存在極高的崩裂風險；三、艦載機遲遲不能形成戰鬥力。

殲-15戰鬥機技術不過關，無法正常裝備遼寧號航母。黃東說，只可惜最核心的戰鬥機不過關，甚至害死新飛行員，令艦機融合困難重重，拖了全艦戰鬥力生成的後腿。

（記者張明健報導/責任編輯：趙雲）

5點學生從「數學」當中學到的事，看到的人更認真算數學了！

聰明的人一看就懂！這名老師列出5點學生從「數學」當中學到的事，看到的人更認真算數學了！！

 語恩 | 2016-10-24|  檢舉

1年前，他幾乎要放棄英文！直到遇見了改變的契機…

沒有遇到對的老師，千萬別說「放棄」！Lucas從來沒想過他的英文能夠起死回生，他究竟如何改變自己，快來看看！

贊助商 TutorABC

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相信每個人都曾想過這個問題：我們為什麼要學數學？

從小到大，數學是很多學生最害怕的科目，甚至是很多人心中的痛、過不去的坎。每次寫題目遇到瓶頸時，就會忍不住抱怨：「我以後又不念數學系，為什麼還要受這種折磨？」

的確現在很多非數學相關科系的人除了算帳，幾乎忘了以前學過的數學公式和理論，這麼說以前上的數學課都是浪費時間了？

據BrightSide報導，數學教授傑瑞米(Jeremy Kun)就常常被問數學到底有甚麼用處，還有人問他：「我甚麼時候會需要用到sin、cosine、還有幾何和代數呢？」傑瑞米教授用他清晰的頭腦，列出了五條必須學數學的原因，讓所有人無話可說。

到底是哪五點呢？

就讓咩咩蟲一條一條解釋給你看吧！

GreatDaily

(source:jpppt)，本文未特別標註之圖片皆源於同處，文字為自行編輯。

你不只要學會承認錯誤，還要跨過它，直到解決問題。

每個人算數時一定都曾算錯過答案，但是算錯就放棄了嗎？當然不行。

當你發現算超久才解出來的答案是錯的，你就必須從頭來過，因為犯過錯，才會知道什麼方式才是正確的。

GreatDaily

「精準正確的詞語」聽起來像是國文課應該教的東西，但是這也是數學課教會你的一點。還記得數學課時學到的勾股定理、餘弦定理等理論，從字面上根本不知道是在學什麼，也不知道為什麼公式會是這個樣子，但是當你使用這些公式時，會發現每個數字都是那麼的精準。這就像你無法解釋什麼是愛一樣，你只能從想的到的詞語中，盡力挑出最精準、最接近的答案。

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這就像下棋一樣，一步錯，步步錯。

算數學時，尤其是複雜冗長的算式，一旦在過程中出現小錯誤(像是加號看成除號、5寫成6)，你就絕對不可能算出正確答案。這除了告訴你要細心，還教你做任何決定前都要深思。

GreatDaily

盲從是永遠不可能成功的。

任何理論、規則似乎都是無法改變的鐵律，但現在很多數學定理都被推翻了。這告訴你沒有任何人事物是絕對正確的，你必須要有自己的想法，走出自己的道路。

GreatDaily

最後也最重要的一點，就是永不放棄。

相信這點不用我解釋你也明白吧！

看完是不是覺得數學的確非常重要呢？

咩咩蟲覺得其實數學只是個媒介，當然如果你發現自己對數學很有興趣就能繼續走這條路，但就算不喜歡，你還是可以透過數學學到人生中重要的道理，這就是傑瑞米教授想要告訴我們的答案。

【人物專訪】舒宇宸老師─數學，使我們的生活更美好！

【人物專訪】舒宇宸老師─數學，使我們的生活更美好！

2013 年 12 月 16 日   第10期：聽數學與生命對話

■ 很多事情，你只要透過數字的運算，你就可以得到答案。這時數學就會給你一個相信的理由、進而給你相信的力量。」──舒宇宸老師

採訪／陳品妤
攝影／黃道佐

你是否曾質疑過，求學時期所學的三角函數、對數函數、空間向量等，在往後的人生中到底有什用呢？或許就如同電影「那些年，我們追的女孩」中的台詞「十年後，我連log是什麼都不知道，還是可以活的好好的」一樣，似乎都沒有派上用場的機會。

那麼，學數學做什麼？事實上，數學就在我們生活周遭的每一處，只是它被隱藏起來了，它就好像科學的母親，用它的愛和知識，默默地讓我們的生活更美好。

數學可以給你相信的力量
「舉例來說，你可曾想過，假設一個人一天成長1%，那麼一年365天之後，他會成長為自己的幾倍？你只要拿計算機把1.01拿來365次方，你就會發現這個驚人的答案：一年之後他會變成自己的37倍！」「很多事情，你只要透過數字的運算，你就可以得到答案。這時數學就會給你一個相信的理由、進而給你相信的力量。」舒宇宸老師是這麼看待數學的。在採訪舒老師的過程中，會發現他對於生命、生活以及數學有著源源不絕的熱情，他會不斷地翻出各種小東西向你解釋這裡面隱藏著哪些數學原理；他也會用一個又一個的例子告訴你，原來數學與我們的生活如此貼近；甚至，在他的課堂上，連談戀愛和挑選伴侶，他都可以告訴學生如何利用微積分，來解答這個千古大難題

舒老師高中時便代表國家參加奧林匹亞數學競賽，而當時接受記者採訪的他便已確認志向：「我會朝著應用數學的方向前進。」至今，舒老師仍堅持著數學就是生活的信念。「進入大學後，你可能會覺得，怎麼數學跟高中時的想像又不大一樣了。很多定義、理論好像跟生活漸漸脫軌。但事實上，我們現在所討論的數學或物理問題，很有可能一開始就是從一個生活化的問題而來。」舒老師解釋，其實數學中的符號或一道公式與定義，都是從生活中的問題抽象化，並經過後人不斷研究、演算才產生的。在這樣的架構之下，大家覺得數學與生活無關，但當把這些定理具象化之後，你會發現我們其實天天都在使用數學，而且透過數學讓我們的生活更加美好。。

就拿很多年輕人喜歡的線上遊戲來講，以前畫面上的人物總是有菱有角，但現在的3D遊戲我們已可以看到擬真的人物線條、甚至是精細的髮絲，這些都是數學的進步。以前的遊戲用平面來逼近曲面，用的是高中學的線性內插法；但若是透過內插方法的提升，例如使用二次函數(拋物線)或三次函數(例：貝茲曲線)，就可以將線性的平面修補成漂亮的曲面，再搭配上顯示卡與CPU的高運算支持，我們就能看到越來越精美的遊戲畫面。再比如家用電話，你一拿起來所聽到的聲音就是440個sin波。而通話的過程中經過內建晶片上的傅立葉變換把高頻雜音給濾除，就能使得我們從電話中清楚聽到對方的聲音而非雜音。這些背後都隱藏著數學的運算，並提升了我們的生活品質。

醫學影像中的數學

與醫學進行跨領域的研究與合作，是從舒老師服國防役時開始的。當年在中央研究院應用科學中心工作時，身旁的同事(崔博翔，現為長庚大學醫學影像暨放射科學系副教授)就是在進行醫學影像的研究。遇到一些數學問題，便找了主修數學的舒老師幫忙，進而有了這樣的契機接觸醫學影像領域。然而跨領域的結合在一開始是很辛苦的。兩方人馬常常會遇上溝通上的困難。譬如「肝若好，人生是彩色的；肝若歹，人生是黑白的。」雖然這句話耳熟能詳，但你(或數學家)又怎麼知道什麼是肝不好？而當數學家談到微分運算時，醫生也需要時間來喚醒記憶。因此這樣一個跨領域合作的團隊，必須花很多時間彼此磨合，並學習彼此領域中的知識。

那在醫學影像當中，數學是怎麼應用的呢？以X光影像為例。通常拍攝X光片，我們可以從正面、側面下手。但是當我們想藉由X光片取得腹部剖面圖時，我們該怎麼做？總不會是從頭頂往下拍吧？！那所有內臟也都會一併被拍進去，導致什麼都看不到。這時的解決方式便是以多道不同角度的X光束切入腹部，藉由多種角度的X光束所得到之資料，再透過聯立方程式求解和推算，把欲知的未知影像將其還原。再例如超音波，其實也是透過超音波在人體中的傳遞與回波，並加上數學的運算取出波形的振幅，並將振幅的大小以影像具體化呈現。

在採訪舒老師後，才知道，原來數學這門學科，不只是公式的反覆演算與證明；藉由跨領域的合作，它可以拯救生命、還可以輔助各種新發明產生。只要用心，生活中處處都可以找到數學的蹤影。而數學有不有趣，就看你用哪一個角度去看它。加入創意的發想，數學甚至可以讓你在不同的科學領域，譜出美妙的交響曲。

責任編輯 Vita Chen

數感生活——尿液篩檢的統計陷阱】

數感生活——尿液篩檢的統計陷阱】

最近有民代跟政府單位計畫推動中學生尿液篩檢，來遏止吸毒人口的成長。預防吸毒絕對是正確的，但在使用尿液篩檢這個手段之前，除了有些人顧慮的人權問題外，可能更要注意「數學」問題。

劉玉皙博士與佘健源教授在2013年的投書指出了這個問題。

假設一個地方有一萬人，該地方的吸毒人口是1%，也就是100吸毒人口。尿液檢測的準確度是很高的99%，每100個人會有一個人檢測錯誤。所以100個吸毒人口，只有1個漏掉。

精準地揪出了吸毒者，一切看起來都很美好，。

但如果回頭看沒吸毒的9900人，卻會因為尿液檢測的1%誤差，有99個人明明沒吸毒但也沒通過檢定。

換句話說，最後可能有99(吸毒)+99(沒吸毒)=198人沒通過尿檢。這之中只有一半的人有問題。

這就是很有名的貝氏定理，我們根據每次的實驗，會得到更新的資訊，但這些資訊只把我們帶到離真相更近的地方，並非是最終的結果。

最後引述兩位老師投書的內文：

"而任何初次檢驗是陽性的人，都必須再複驗，而不是馬上把他們當成罪犯。然而，新竹市教育局和學校基層人員是否了解這個統計陷阱？機率意謂風險，而不是蓋棺論定的依據，如果老師們都用「有罪推定」的心態把機率看成證據，又萬一弱勢學生（窮、單親、課業表現不佳）剛好呈現偽陽性反應，那對一個中學生會造成多麼毀滅性的結果？"

希望有關當局能清楚這個數學陷阱，真的要執行尿檢時，也能因應做出相關配套。

全面尿液篩檢的統計陷阱（劉玉皙、佘健源）

2013年05月08日 

 

 

 更多專欄文章

日前經議會提議，新竹市政府決定五月起全面實施國高中全面尿液篩檢。贊成者認為此舉將有效遏止學生濫用毒品，並且認為「人權」不是規避全面尿篩的藉口。然而，全面尿篩有其統計陷阱：看似中立的全面尿液篩檢，在統計上卻不見得有相應的準確度，這並不是人權問題，而是在數學上即存在極大誤區，在執行上若稍有不慎，就會變成教育上的災難。
統計學上有「貝氏機率」，計算的是在某條件成立之下，某一事件發生的機率。尿篩結果即是一種貝氏機率。假設現在測試的準確度如下：若受檢者吸毒，每次檢測呈陽性反應的機率為99%；若受檢者沒吸毒，陰性反應的機率為99%，偽陽性反應的機率則為1%。「吸毒╱吸毒」即是給定的條件，99%是貝氏機率。表面上看來，誤判的機率似乎只有1%；其實不然，若實施全面尿檢，誤判的機率甚至可能超過50%，比「跋杯」還差！

無法判定真的吸毒

這怎麼說呢？事實上全面尿篩並無法告訴我們學生是否真的吸毒，全面尿篩只能告訴我們某些學生呈陽性反應。「陽性反應」包含了真的在吸毒的學生，也包含未吸毒但呈偽陽性反應的學生。當未吸毒的人口比率越高時，偽陽性的學生也就越多。目前政府單位推估全台約有1%吸毒人口，而新竹市國高中學生（含高職）約有36000人。若以上述假設99%敏感度的尿檢為基礎進行估算，我們可以貝氏機率推得，當實施全面尿篩後，將會有約712名學生呈陽性反應，其中卻只有356名學生是真的在吸毒。換言之，若某生在全面尿篩中呈陽性反應，則他真的在吸毒的可能性只有50%，誤判的比率將達五成！
這是令人震驚的結論，卻是數學上的現實。任何科學的證據，其實也只是機率的結果。也因此，在醫學和法律上，有嚴謹的程序降低誤判機率。既然「未吸毒人口佔母體比率」有決定性影響，一般便只針對很有可能吸毒的嫌犯尿檢，而非全民尿檢。而任何初次檢驗是陽性的人，都必須再複驗，而不是馬上把他們當成罪犯。然而，新竹市教育局和學校基層人員是否了解這個統計陷阱？機率意謂風險，而不是蓋棺論定的依據，如果老師們都用「有罪推定」的心態把機率看成證據，又萬一弱勢學生（窮、單親、課業表現不佳）剛好呈現偽陽性反應，那對一個中學生會造成多麼毀滅性的結果？ 

將牽涉到學生未來

一個持有「全民有罪推定」的全面尿檢，牽涉的不僅是人權問題，而是鐵錚錚的統計誤區。尤其教育牽涉到的是學生的未來，依前述計算，影響的可能是三百多名學生的人生。一個理盲的社會，將以下一代的成長為代價，而這並不是宣稱全面尿檢已簽署「家長同意書」可以抹滅的事實。 

劉玉皙為美國薩佛克大學經濟學博士候選人、佘健源為中山大學企管系助理教授 

改變世界十個數學公式 十張尼加拉瓜發行的郵票。

改變世界十個數學公式

十張尼加拉瓜發行的郵票。

　　西元1971年5月15日，尼加拉瓜發行十張郵票，表彰十個對世界發展極有影響的數學公式。

　　 另外還有很多人，也對世界文明做出貢獻，我們只要努力，對世界發展也會有幫助的哦！

阿基米德槓桿原理 Archimedes's principle 　　阿基米德說：『給我一個支點，我就可以移動地球！』，希臘國王要求他證明，他便借了一艘大船，他運用槓桿原理以及滑輪巧妙地組合機械，船載滿乘客及貨物後，阿基米德讓國王用手輕輕的拉一條繩子，大船就直線前進了。國王很是驚訝與佩服並立即宣佈：「從現在起，阿基米德說的話我們都要相信。」 　 　　阿基米德的成就，除槓桿原理外，還有著名的浮力原理─「物體在液體中的浮力等於它所排開的液體重量」。他也是傑出的數學家，著有《圓的量度》《拋物線的求積》《論螺線》《論球和圓柱》《論劈錐曲面體和球體》《數沙術》《論平板的平衡》等書。阿基米德最得意的傑作是導出圓柱內切球體的體積是圓柱體積的 2/3 倍，這個圖形就刻在他的墓碑上。

波茲曼關係式 Boltzmann's law 　　用牛頓力學來解釋物體內每一個分子的運動，實際上是不可能的，波茲曼用統計的觀念，只考量分子運動排列的機率，來對應到相關物理量的研究，是很難懂，但卻是很聰明的辦法，對近代物理發展非常非常重要。 　 　　波茲曼奠定了「氣體分子運動學」的基礎，他最大的貢獻是在1871年找到熵與機率之間聯繫的關係式，對熱力學上的問題，用統計的觀念來解釋，引起物理界很大的爭議，後來證實他是對的。也熱力學因而與分子動力理論結合，導致統計熱力學的誕生。另外他提出非平衡態的理論，促使統計力學的建立。 　 　　1854年德國的科學家克勞宙斯 (Clausius)首先引進了「熵（Entropy）」的概念。 　熵是表示雜亂程度的一個量。這個量在可逆過程不會變化，在不可逆過程會變大。像懶蟲的房間，若沒有人替他收拾打掃，房間只會雜亂下去，決不會自然變得整齊。 　 　　熵的變化，具體來說，等於用絕對溫度除熱量變化的商。熵是希臘語「變化」的意思。生物也離不開「熵增大的法則」，生物需要從體外吸收負的熵來抵消熵的增大。

德布羅意關係式 de Broglie's law 　　德布羅意本來是學歷史的，受數學家龐加萊的影響而改學科學。1924年他在博士論文中提出「物質波」的概念，轟動全世界，他認為任何實物、粒子都同時具有波與粒子二種性質，還運用愛因斯坦的相對論，導出物質波波長的公式。他的看法後來被戴維森的實驗証實。而物質波的概念也為波動力學的發展提供了重要的理論基礎。 　 　　當德布羅意的論文發表後，愛因斯坦驚嘆不已稱道：「瞧瞧吧，看來瘋狂，可真是站得住腳呢！他揭開了一幅大幕的一角」。 　　 也驚動了老一輩物理學家：「這些青年人認為，拋棄物理學中老的概念簡直易如反掌！」 　 　　量子力學不僅是理論物理學，也是科學哲學研究的範疇，甚至影響了我們日常生活中的一些基本假定。量子力學有三個革命性的概念。第一個就是德布羅意的波、粒二重性─在微觀世界裡，很多東西具有波動和粒子雙重的特性。第二個是說所有的物理事實都只具有或然性，而沒有必然性。與古典物理學認為事件有確實性和可決定性相反。第三個是海森堡的測不準原理─測量粒子時，我們不能同時確切地知道粒子的位置和速度。若我們測量到粒子的位置越準確，則所知的速度越不準確，反之亦然。它們推翻了人們對物理學上一些假定的認知。

愛因斯坦質能互換率 Einstein's theory 　　愛因斯坦小時候發育比較慢，三歲才開始講話，被人認為是反應遲鈍的孩子，他五歲的時候，父親給他一個羅盤，他被羅盤針永遠指同一方向的神奇性質吸引住了。他後來回憶當時的感覺是：「在真正事物的背後，必定隱含若干真理。」 　 　　1905年是愛因斯坦「神奇的一年」，26歲的他發表了四篇最富創造性的偉大論文，使他獲得博士學位、1921年諾貝爾獎、並創立狹義相對論。相對論推論的結果真是匪夷所思，令人不敢置信，可是後來都證實了。現在我們經常聽到的黑洞、時光旅行、空間彎曲等等好像是科幻名詞，可都是相對論所推導來的哦！ 　 　　令愛因斯坦最感後悔的是，在1939年他寫了一封信給美國總統羅斯福，促成原子彈的研究，因此與羅素合作，極力向世人呼籲禁止核子武器的開發和使用。

手指計算 Using fingers to count 　　小孩子對數量的認識，幾乎都是從用手指頭數數開始。人類的祖先，從數指頭開始，逐漸累積經驗，堆石子、數貝殼、樹支、竹片，而後有刻痕計數、結繩計數等，後來創造文字、數字及計數用具如算盤、籌算、計算器等，一切都從手指頭開始。嗯！可能是因為人有十隻手指，計算時以手指輔助，自然就形成了十進位的觀念吧！ 　 　　人類發明了文字以後，相對就有了數字與數碼，數字是指數的詞，如一、二、三、四、五、…、十、百、千、萬；數碼是指數的符號，如1、2、3、4、5、6、7、8、9、0（以上為阿拉伯數碼），而明清兩代盛行用數碼來表示，就寫成： 中國算籌計數：為十進位制，以下為1~9之表示法，有縱、橫兩式，交叉運用：  瑪雅數字：由中美洲的瑪雅所創造出來的一種象形文字，20以下採 5進位的累進數制，20以上用位值制： 埃及的僧侶文：出現在世界上最古老的數學書賴固德紙草書上，這是象形文字的簡化，以下為各種不同數字的表示：

馬克斯威爾電磁方程式 Maxwell's law 　　馬克斯威爾用數學式子概括一切電磁現象，並預言：1.電場及磁場的波以光速在空間傳遞，2.光為電磁波的一種。這是無線廣播的理論基礎，因此被稱為「無線電之父」。23年後，赫茲證實馬克斯威爾的預測創造出無線電波，開啟了無線電時代。這發現，也是愛因斯坦狹義相對論的重要背景。 　 　　1865年馬克斯威爾預測電磁波輻射傳播的存在，將庫倫、安培、法拉第的研究結果整理成四個電磁場理論的數學式，這個理論提供了連續性的電的流動。1887年德國科學家赫茲（Hertz） 實驗證明出電磁波。馬克斯威爾的理論將電學與磁學統合成一體。 　　 愛因斯坦：「馬克斯威爾的工作是自牛頓以來，物理學上影響最深遠與豐碩的工作。」 　　 電磁波包含有長波、無線電波、微波 、紅外線、可見光、紫外線、 X光線、 射線等。

納皮爾對數法則 Napier,logarithms 　　納皮爾原是一位蘇格蘭的修道士，業餘研究數學，他為尋求球面三角計算的簡便方法，經20年的努力，創造出對數的關念，出版了《奇妙的對數表的描述》一書。天文學家刻卜勒利用他的對數表簡化了行星軌道的複雜計算。「對數」被譽為「用縮短計算時間而使天文學家延長壽命」，也對整個科學的發展起了重要作用。 　 　　納皮爾運用對數設計了所謂的「納皮爾的骨頭」的計算器，用數字木棒的排列來計算。十年後，威廉奧特運用對數設計了稱為「計算尺」的器具，成為往後 350 年工程師都會用到的工具。 　　你知道納皮爾花了多少時間來建構整個對數表嗎？請注意這是發生在十六世紀末、十七世紀初的事情，所有的計算，只能利用紙筆一項一項慢慢地算，此納皮爾整整花了二十年的時間建立他的對數表，簡直是匪夷所思吧！試著想像一下二十年之間，每天都在重複做同類型的繁瑣計算，這種乏味的日子絕不是一般人能忍受的，但納皮爾熬過來了，而他的辛苦也得到了報償 對數受到了熱切的歡迎。

牛頓萬有引力定律 Newton's law 　　任何兩件物體會因質量而互相吸引，吸力大小與質量成正比，與距離的平方成反比。 　　牛頓小時候並不聰明，功課也不好，身體差、性格沉默又愛做白日夢，他的超人才智竟然是被一個野蠻的同學踢了一腳而喚醒的！牛頓決心發奮，誓言在功課上超越他，結果他不單在學校中名列前茅，18歲時便考進劍橋大學。 　 　　牛頓24歲時，倫敦發生流行病，他便返回故鄉，在一年半的時間裏有了三個非凡的創見，發明「微積分」，發現「萬有引力」，發現「光分七色」。1681年出版《自然哲學的數學原理》，總結出萬有引力定律，並提出三大運動定律，建立了古典力學的基本體系，被譽為最偉大的科學著作。牛頓十分謙虛，他說：「如果我看得比較遠，是因為我站在巨人的肩上。」 　 　　有人說，沒有哈雷，就沒有《自然哲學的數學原理》這本改變歷史的書，這話一點也不假。哈雷想盡辦法、好說歹說才讓牛頓同意寫書，皇家學會也同意出版，卻因瀕臨破產無法印刷，哈雷於是自掏腰包，所有出版庶務都一手包辦，和印刷商周旋、校訂、驗算數據和審圖。靠哈雷的鼓勵與努力《自然哲學的數學原理》一書才有機會呈現在世人眼前。

畢達哥拉斯畢式定理 Pyhthagorean theorem 　　這個定理中國和巴比倫人早在畢氏之前一千年就在使用，但仍被稱為「畢氏定理」，主要是因為畢氏證明了定理的普遍性。據說在證明成功的當天，畢氏叫學生們宰殺了一百頭牛，舉行盛大的宴會來慶賀。所以，畢氏定理又有「百牛大祭」的美稱。 　 　　若正方形的邊長為１，對角線的長度不能用分數來表示。整數構成的分數是有理數，不能寫作整數與整數比的數稱為無理數。無理數的存在是畢氏學派首先發現，也是數學史上重要的里程碑。 　　你知道嗎？歷史上關於畢氏定理的證明，超過四百種方法喔！ 　　三國時代的數學家趙爽注釋「周髀算經」時給的證明：「弦實」：以弦為邊的大正方形面積 「朱實」：四個直角三角形的面積和 「黃實」：中間圍起來的小方塊面積 「弦實」－「朱實」－「黃實」 　　數學家劉徽的證明，叫做「出入相補法」： 簡單的說，就是剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)， 移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

希歐考夫斯基火箭公式 Tsiolkovski's law 　　希歐考夫斯基是自學成功的，他本來是中學教師，有一次在教室裏向學生大談天象奧秘，引起一位參觀的物理學家的注意，從此天才被發掘，引導俄國科學界放眼太空。後來，他對一群科學家說，只要大家努力，俄人將第一個走出地球，他的話成為事實，他也被稱為俄國火箭之父。 　 　　1895年他在科幻著作《地球與天空的夢想》中提出了用多節、液態火箭來脫離地球的想法。1903年在論文中說明將火箭用於星際交通的可能性，並提出太空航行火箭的設計原理。1957年他的夢想成真。 　 　　1957年蘇聯發射第一顆人造衛星，揭開太空時代的序幕，1961年送出第一位太空人─蓋加林，贏了太空競賽的第一役，美國在1969年送阿姆斯壯踏上月球，扳回一城。 　 　　他著重鑽研中國古代火箭技術，請人翻譯明末及清初的軍事著作參考，尤其對《武備志》最感興趣。當時中國已擁有近三十種軍用火箭，“神機火龍箭”或“火龍出水”之類的武器令他著迷，他產生了更多的夢想和靈感，不久寫成《地球與天空的夢想》一書。