研究：數學之美 如音樂繪畫文學 賴義中 2014/02/14 20:20

研究：數學之美 如音樂繪畫文學

賴義中 2014/02/14 20:20 點閱 557 次

根據英國科學家最新研究，《尤拉恆等式》在數學家看來，美麗不下於大師畫作和音樂作品。（photo by 維基百科）

【台灣醒報記者賴義中綜合報導】《畢氏定理》、《海龍公式》和《尤拉恆等式》數學的美，與莫札特的作品、莎士比亞四大悲劇和梵谷的畫作同樣令人驚艷！透過腦部掃描，英國科學家發現，數學家在欣賞偉大的數學公式時，腦部運作及產生反應的區域，與觀看藝術大師名作時是相同的，證明「數學之美」並非虛假。

這項研究於13日發表於《人類神經科學尖端》期刊。英國倫敦大學的研究團隊將60項數學公式分別向15名數學家展示，將其評價分為「美」與「醜」2組，再使用fMRI（功能性核磁共振造影）掃描腦部運作的情況。團隊發現，數學家在觀看「美」的公式時，大腦中負責控制決策和調節情緒的中央眼窩前額皮質就會產生反應，與欣賞名畫和聆聽音樂時的狀況相同。

負責這項研究的教授賽奇表示，若公式越「美」，fMRI掃描出的結果也就越明顯。他解釋，這項研究成果無法告訴民眾「美」為何物，但是以神經科學觀點看來，只要人類認為某件事物具有「美」的性質時，中央眼窩前額皮質就會產生反應。

數學公式的優美，常人或許難以領略，但在數學家眼中卻是妙不可言。

18世紀數學家瑞士數學家尤拉推導出的《尤拉恆等式》，被公認為是數學史上最優美的定理之一，其公式內容為e^iπ+1=0。數學家柏西解釋，《尤拉恆等式》看似簡單實則深奧，短短一條公式就將數學界5大常數包含進去，亦即0、1、e（自然對數的底）、π（圓周率）和i（虛數單位），同時又應用了加法、乘法和指數（取冪）3種基本幾何算數。

柏西說，e、π和i看似複雜又毫無關聯，《尤拉恆等式》卻能如此精準地串連3個常數，第一眼不覺特別，一旦理解其中龐大無窮的內涵後，就如同聆聽偉大的音樂作品一般令人驚艷。

數學家索托伊則說，他最愛的是17世紀法國數學家費馬發現的一項定理：任何除以4之後餘1的質數，也同時都是2個平方數相加的總合。比方說，41被4除會餘1，同時也等於16（4的平方）與25（5的平方）相加的結果。他說，質數與平方看來毫不相關，但隨著證明展開，就會發現兩者在一條條公式中交織出美麗樂章。

此外，20世紀印度數學家拉馬努金推導的無窮級數定理，以及19世紀德國數學家黎曼提出的黎曼ζ函數，則被受試的數學家評為最「醜」的公式。

戴上數學眼鏡看雍正王朝

人類與生俱來的慾望清單裡，少不了「權力」這項。

Photo Credit：epSos.de

擁有權力，就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切，曹丕放棄了兄弟之情，逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生，相煎何太急」的千古名言，道盡權力之下，一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡，規模大一點的宮廷戲碼，動輒十幾位妃子的後宮，或十幾位阿哥的爭嗣，你來我往、合縱連橫，更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次，就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》，進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止，讓我們了解到許多看起來不起眼的動作，其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析，請容許數學也參一腳。

※

假設今天皇阿瑪生日，五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同，每個人擁有一樣的決定權，唯有超過3人贊成，才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同，每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中，四爺數學特別好，他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書，讓皇阿瑪喜歡上數學，關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥，應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有，又真的非常有趣，一時洛陽紙貴，定價高達100兩黃金，四爺為了達成目的，決定多出一些錢。

他巧妙地跟大家說：「我們湊個 100 兩黃金，我多出一點無所謂，36 兩。其他剩下來的餘額，各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明，完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點，在四爺出資 36 兩的情況下，他只需要拉攏任意一位盟友，就擁有了36+16=52 的過半票數，可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點，數學差一點，只肯出到 32 兩黃金，在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時，四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票)，得超過 3 人才能夠通過表決，跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說，四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了，一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋，他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少，更重要的是，誰能影響過半。

※

比起擁有的票數多寡，有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力，稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」：針對贊成與反對的投票，越容易左右結果的人，Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說，有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票，7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票，當 B 投下贊成票時票數會過半，B 就是所謂的「權力者」，只要權力者贊成，就能決定結果，喊水會結凍，就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況，儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

另一種狀況，A 先投贊成票(2)，接著 C 投贊成票(2+3)，但依然不過半，所以沒人會在意 C，但下一位投票者一出場氛圍就不同了，因為只要他贊成，就過半，這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定，和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是，考慮所有依序投票的排列結果，好比有三位投票者A、B、C，即會有六種不同的順序，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中，每位投票者成為「權力者」的次數，除以總數，即是每個人的權力指數。

※

計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數，結果都是(20%,20%,20%,20%,20%)，如同前面的討論，雖然四爺多出錢，但要決定一樣禮物時，還是得獲得3人以上的支持，5 個人的權力指數一模一樣，並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時，我們列幾種順序：(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序，出 36 兩黃金的四爺都是權力者，因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %，權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力，想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此，四爺只要找到一個人支持他就好，但如果其他人要反對他，一定得四位結盟才行。

※

透過權利指數，我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如，要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1)，出 14 兩黃金的人，剛好就是十四爺。但十四爺發現，自己明明出得也不算太少，想發表意見時，大家卻只會聳聳肩敷衍他，沒人認真聽，就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟，你根本沒辦法影響決定啊，看看，這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %)，你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊！」

十四爺忿忿不平，偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混，數學也不差。他掐指一算後，立刻慫恿出四爺再多出1兩，讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整，調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %，四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺，權力指數從 3 %暴增到12 %！

這背後的原因是，原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半，拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼，就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要，不一定得提升自己的能力，也可以反過來，降低自己被需要的門檻。

也因此，權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人，打擊主要敵人」的場景。

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》，我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %，出門請記得攜帶計算機

宇宙解析／了解宇宙要靠數學翻譯 2014/03/03 【聯合報╱記者陳皓嬿】

宇宙解析／了解宇宙要靠數學翻譯

2014/03/03

【聯合報╱記者陳皓嬿】 國家地理頻道經典天文科普節目「宇宙」經重製、翻拍，成為新一季的「宇宙大探索」，主持人美國天文學家尼爾．泰森（Neil deGrasse Tyson），和安．德魯彥，希望能藉此喚起人們對探索自然和宇宙的熱情，不過談到科學教育，兩人不約而同都談到數學障礙。 許多人因接觸科學時碰到繁複的數學計算而心生厭惡、畏懼，進而排斥科學；德魯彥認為學科學應回歸到人本能對自然的好奇與熱情，不僅教法需改變，也要帶兒童從小開始問問題、探尋世界，而不是只給予知識。 泰森則認為，大家看待數學的方式，應該將其當成學習外語：如要了解一個地方的文化風俗，就會學習當地語言。若想了解宇宙的「文化」，就要用宇宙的語言－數學去理解溝通；現在的教育多把數學當成「你若不學，以後就活不下去」的存在，當然讓人無法理解為什麼要學數學。 提及近代科技、科學發展是否趨於緩慢、飽和？泰森舉例反駁，百年前科學家認為物理世界以幾乎探索完畢，只剩一點「小問題」需要解決，殊不知幾十年間，愛因斯坦發明相對論，接著量子力學出現，這些小問題根本是另一個新天地。 泰森常問自己「還有什麼問題，是我根本還想不到要去問的？」他認為當所知的範圍越廣，無知也跟著增加，科學探索是個沒有盡頭的旅程，也不會飽和。 至於應用科學的發展，泰森表示，有些國家曾長時間在科技上領先，後來優勢卻消失了；在沒基礎科學的持續探究下，技術也會跟著停滯，因為科學是科技的根基，如果科學沒有繼續發展，那就只能不斷的重複「改良式發明」，不會有新進展。 宇宙解析／星光無數為何夜空黑暗 2014/03/03 【聯合報╱記者陳皓嬿】 晚上的天空為什麼是暗的？最直覺的答案大概大家都答得出來，因為晚上太陽在地球的背面，所以照不到光。 但太空中有這麼多星星，每顆星星發出來的光都會擴散，就像用手電筒或探照燈往眼前照一樣，所以照理來說夜晚的天空應會被星光覆蓋住，相當明亮才對？ 這是相當有名的「夜空佯謬」，1823年時由德國天文學家歐柏斯提出，曾引起相當大的爭論。 歐柏斯假設，靜止的宇宙中，均勻分布著同樣的星體，若以地球為中心，畫出許多同心的「天球殼」，則在距離地球10光年球殼上的星星，亮度是距離地球20光年球殼上的星星的4倍。 不過20光年球殼上的星星數量，也會是10光年球殼上星星數量的4倍，所以兩個球殼所發出來的光，對地球人來說，看起來是一樣亮的。 由於每個球殼對夜空貢獻的亮度相同，所以累積的效應應該是無限亮的天空。 1901年，物理學家開爾文解開這個弔詭理論：宇宙的年齡有限、光的速度也有限，以地球的年齡約為50億年來說，我們只能看到距離地球50億光年內的星星，因為50億光年以外的星光，都還沒到達地球，換句話說，我們看向夜空中黑暗的部分，其實就是在回顧歷史。 宇宙紅移也是另一合理解釋，因為宇宙正在膨脹，當可見光傳到地球時，光的波長已轉變成微波，所以我們看不到星光。

宇宙解析／蟲洞 外星人的回家捷徑 2014/03/02 【聯合報╱記者陳皓嬿】

宇宙解析／蟲洞 外星人的回家捷徑

2014/03/02

【聯合報╱記者陳皓嬿】 蟲洞示意圖。 資料來源／NASA 韓劇「來自星星的你」男主角都敏俊來自外太空，因為事故在地球生活四百多年。 圖／摘自新浪微博 近日很紅的韓劇「來自星星的你」，當中從外星來的教授都敏俊一直期盼能等到彗星帶他回老家KMT 184.05星，先不論這顆恆星到底在哪裡、離地球多遠，離我們最近的類地行星，遠在12光年外。 由此推算，若都教授要乘坐彗星回家，起碼得花上幾億年，就算都敏俊可以長生不死，這趟回家路大概也會久到讓他無聊死，當然，身為人類的千頌伊也撐不了那麼久。不過，如果有個蟲洞，也許可以解決他倆的問題。 蟲洞…連接黑洞奇異點 宇宙大探索節目的製作人安．德魯彥（中）和主持人尼爾．泰森（右）。 圖／國家地理頻道提供 蟲洞和黑洞有些類似，簡單來說，可將蟲洞想成是兩個黑洞的核心「奇異點」相連，如果把黑洞具象化成漏斗，那就是將兩個漏斗的頸部相連，有入口也有出口。 如果我們把空間簡化成一片長12光年的塑膠板，太陽在這頭、都敏俊老家在那頭，將塑膠板對拗，使太陽和都敏俊老家一個在「上」一個在「下」（見圖），兩者中間由蟲洞相連。 反重力…可解決蟲洞難題 不過蟲洞若僅由單純的黑洞製造，那有幾個問題：第一、奇異點的重力無限大，即使和另一黑洞的奇異點相連，也只是短暫開通，馬上又閉鎖回去，其開口也太小，都敏俊和千頌伊無法通過。 第二、他們通過時，可能會被強大的重力扯碎、拉成像義大利麵條，或因為無限大的能量而化為灰燼。 要像做手拉坯時，將手探入陶土內一樣將蟲洞撐開，就必須對抗重力強制封閉開口、形成奇異點的問題，科學家想到可以利用「反重力」物質來達成這個目的。 根據文獻，反重力是由愛因斯坦在1917年首次提出。當時科學家認為宇宙應該是靜止的（那個年代還不知道宇宙其實正在膨脹）。 負能量…可以製造反重力 然而，有質量的物質彼此之間只會產生互相吸引的重力，照理說宇宙應該不停收縮；為了讓宇宙保持靜止，愛因斯坦說，應該有個相斥的力存在兩個有質量的物質間，即是反重力。 質量為重力來源，所以理論上根據質能等效公式E=mc2，我們可用負能量來製造反重力，事實上負能量亦被科學家稱為暗能量，是宇宙加速膨脹（物質間互相排斥）的可能因素。 只要將反重力物質投入蟲洞的喉嚨，也許就可以將隧道撐大，讓都敏俊和千頌伊穿越空間，甚至進一步穿越時間。 大難題…刺殺祖母謬論 不過台大物理系教授高涌泉說，蟲洞是相對論當中，時空形狀的其中一種數學解，其是否有物理意義仍有很大的問題；蟲洞要存在，要先解決「刺殺祖母謬論」的問題。 想像你透過蟲洞回到你阿嬤還是如花少女的年代，一刀把她殺了，那她便沒辦法結婚生下你媽媽，而你也不會出生，但既然你沒有出生，那要怎麼回到過去把阿嬤殺掉？ 有人提出因果迴圈、平行宇宙的等概念，試圖解決此謬論。但高涌泉說，目前還找不到很完整的論述能說服科學家，再加上要蟲洞真要能用，所需要的能量為無限大，亦不可行，所以蟲洞　只能出現在科幻小說和電影中而已。

宇宙解析／膨脹的宇宙 推算137.3億歲 2014/03/03 【聯合報╱記者陳皓嬿】

宇宙解析／膨脹的宇宙 推算137.3億歲

2014/03/03

【聯合報╱記者陳皓嬿】 「宇宙就是現在、過去、未來的所有一切」，這是美國知名天文學家卡爾．薩根在天文科普節目「宇宙」中，如此定義宇宙。換句話說，宇宙包含所有時空，而宇宙 之外什麼有沒有，這樣的說法或許還是籠統，因此有些科學家試著把宇宙身家量化的「身份證」調出來，看看宇宙到底是什麼、長相如何。 首先是，宇宙到底有幾歲？根據科學家的推算，宇宙現年約137.3億多歲。不過，那是在天文學家哈柏之後才提出的觀點，從啟蒙運動到愛因斯坦的時代，科學家認為宇宙是靜態的，既沒有開始、也不會結束，就一直在那兒。 直到哈柏（就是太空望遠鏡以他命名的那個哈柏）發現，周遭的星系正離我們遠去，且和我們的距離越遠、離去的速度就越快，科學家才知道，原來宇宙正在膨脹中。 根據觀察，這些星系正以每秒30公里每百萬光年的速度離我們而去，也就是說，如果星系距離我們100萬光年，就會以每秒30公里的速度離開，如果星系距離我們200萬光年，那就會以每秒60公里的速度離開。 如果回推一下，某個離我們100萬光年遠的星系，大概多久前壓在我們身上，假設宇宙膨脹的速度不變，是每秒30公里，而100萬光年等於1019公里，距 離除以速度，我們得到約3×1011百萬秒，換算成年，就是約100億年；如果將「宇宙過去膨脹的速度更快」加入考量，宇宙年齡比100億年還多些。 膨脹的宇宙揭露：宇宙是有個開始的，那時所有東西都擠在一個點上，在時間為零時發生大爆炸，自那時起已經過137億多年。 身份證總要有照片，不過兩吋大的框框對宇宙來說顯然太小，事實上，無論多大的框框都不夠，因為宇宙可能是「有限而無邊」的。 台大物理系教授高湧泉說，想像我們是一顆氣球裡面的螞蟻，球的表面積是有限，但球面沒有邊，螞蟻只能在球內表面不停地爬，仍究不會找到任何邊界。 宇宙也是，他可能是有限的（甚至可能是無限的），但其包含時空是卻無邊，宇宙大爆炸發生在一個點上，那個點就是當時的「所有地方」，除非我們能跳脫時空、來到五維來看宇宙（就好比我們把螞蟻抓到空中讓牠俯視那顆球），才能看見宇宙的「形狀」。 不過高湧泉說，我們還是可以根據時空被彎曲的方式（曲率），來判斷宇宙的形狀，如果宇宙是閉合的，時空可能長得像球面，如果是開放的，時空可能長的像平面或是類似馬鞍的形狀。 值得注意的是，宇宙沒有中心，或也可說宇宙處處是中心。再回到螞蟻和氣球，當我們將氣球吹漲時，氣球的體積以球中心向外擴張，球面也隨之撐開，但對球面上 的螞蟻來說，面上沒有哪一點是中心，所有點都互相遠離彼此；宇宙中的每個點也是，大家彼此互相遠離，沒有以誰不動為中心。 資料來源／science.howstuffworks.com

解析臺灣PISA 2012系列(4)---臺灣的教育成功嗎? 李明洋

 解析臺灣PISA 2012系列(4)---臺灣的教育成功嗎?

李明洋

一個成功的教育體系除了分數高以外，更要落實公平的教育。

早自2009年開始，每屆PISA結果公布之際，OECD都會專門出版一本探討各國教育公平性的報告書[1]；PISA 2012也不例外，就在2013年12月3日PISA結果公布時，OECD就同步在官網上刊登一本名為"2012 Results: Excellence through Equity. Giving Every Student the Change to Succeed"的報告書，針對各國和經濟體的教育公平性進行深入的探討。去年五月，24個歐盟會員國的教育首長齊集芬蘭首都赫爾辛基，舉行歐盟教育高峰會，會中各國代表也以落實優質且公平的教育做為各國共同努力的目標[2]。而國際著名教育學者Pasi Sahlberg亦表示，一個真正成功的教育體系是讓各種社經背景的學生均能在PISA評量中獲得高分[3]；奧克蘭大學的Fiona Ell博士也指出，教育當局真正應該關心的是有否照顧好每個學生，並進一步批評到，高低分學生差距過大的國家，其教育特徵就是教育的不公平性[4]。由此可見，教育的公平性，已然成為當今國際社會用以衡量一個國家的教育體系有否成功的關鍵。


臺灣在這次PISA的數學評量中獲得了560的高分，在得分的排行榜中更是高居世界第四。但我們不禁要問的是:

1.臺灣有落實公平的教育嗎?

2.臺灣的教育體系成功嗎?


這裡所謂公平的教育，亦即學校教育能保證學生的學業成就不受到個人身家背景及社經地位的影響。因此，若學生學業成就愈是受到身家背景和社經地位影響的國家，則表示該國的教育體系愈不公平，反之則愈趨近於公平。根據Fiona的見解，以下兩個指標可用來檢核某國的教育公平性:其一是某國富裕家庭和貧窮家庭學生的數學得分差距有否比大多數的國家或經濟體大；其二是某國學生的數學成就被社經地位影響的程度有否比大多數的國家或經濟體強[4]。

針對上述兩項指標，我們就以PISA  2012所提供的資料來逐一檢視臺灣的教育公平性吧!

指標1: 臺灣富裕家庭和貧窮家庭學生的數學成績差距是否比大多數的國家或經濟體還要大?

針對這個指標，我們可以從圖1提供的資訊加以檢視。圖1所呈現的是參與PISA 2012的65個國家或經濟體，家境富裕(程度75以上，以三角形表示)、中上(程度介於50至75之間，以圓形表示)、中下(程度介於25至50之間， 以菱形表示)和貧窮(程度25以下，以線段表示)學生的數學得分，各國或經濟體各社經地位學生平均分數的排名，以及各國或經濟體富裕家庭和貧窮家庭的貧富 差距指數。

圖1 各國或經濟體貧富差距指數、各社經地位學生得分及排名
(引自PISA 2012, vol.2, p.43)

由圖1所呈現的資料可知，臺灣富裕家庭的社經地位指數為0.68，貧窮家庭為-1.47，兩者的差距(即貧富差距指數)為2.15，低於OECD平均值(2.3)，在東亞國家和經濟體中，只大於南韓(1.89)和日本(1.84)，在全體國家或經濟體中名列第47。
其次，最富裕家庭的學生平均得分為626分，僅落後上海(660分)和新加坡(627分)，排 名第3，但最貧窮家庭的學生平均得分只有497分，不僅落後上海(562分)、香港(532分)和新加坡(523分)等原本總平均排名高於臺灣的國家或經 濟體，甚至還落後總平均排名較臺灣低的澳門(521分)、南韓(516分)和日本(500分)，名次掉到第7。

將貧富家庭學生的分數差距加以計算的結果顯示，臺灣貧富家庭學生的得分差距高達129分，與斯洛伐克(Slovakia)並列世界第一，比排名第三的法國還高出10分，更遠比新加坡(104分)、上海(98分)和OECD平均值(90分)高出25到將近40分，顯示臺灣貧富家庭學生的數學得分差距遠比PISA 2012大多數的參與國家或經濟體還大。

除了計算貧富家庭學生的得分差距外，尚可進一步針對優弱勢學校間的得分差距情形加以了解。根據 PISA官方的定義，所謂優勢學校，係指該校學生的社經地位指數顯著高於該國全體學校學生的平均社經地位指數；而所謂弱勢學校，則指該校學生的社經地位指 數顯著低於該國全體學校學生的平均社經地位指數。圖2所呈現的是65個國家或經濟體的優勢學校、一般學校和弱勢學校的數學平均得分、排名以及差距情形。

圖2 各國或經濟體優弱勢學校得分差距和排名
(資料修改自PISA 2012, vol.2, p51.)

由圖2所呈現的資料可知，臺灣優勢學校的數學得分高達641分，僅次於上海(678分)和新加坡(655分)，排名世界第三；但臺灣弱勢學校的數學得分為 485分，不僅落後於總平均排名高於臺灣的上海(541分)、新加坡(526分)和香港(510分)，也落後於原本排名低於臺灣的澳門(527分)、芬蘭 (499分)、愛沙尼亞(498分)、瑞士(497分)、南韓(493分)和加拿大(489分)，排名掉到第10。

計算優弱勢學校的得分差距，結果顯示臺灣優弱勢學校的得分差距高達156分，一枝獨秀，名列世界第一， 比上海的137分和新加坡的129分高出19分和27分，更遠比OECD平均的104分高出52分。由此可見，臺灣優弱勢學校學生的得分差距也遠比 PISA 2012任何一個國家或經濟體還要大，換句話說，臺灣在指標1:"富裕家庭和貧窮家庭學生的數學成績差距是否比大多數的國家或經濟體還要大?"的檢核結 果，是嚴重不及格的。

指標2: 臺灣學生的數學成就被社經地位影響的程度是否比大多數的國家或經濟體還要強?

針對這個指標，我們可從各國學生數學成就和社經地位影響程度的關係加以檢視。如圖3所示，畫面 由一條水平線和一條垂直線均分成4個象限。水平線代表的是OECD會員國數學平均分數(494分)，水平線以上表示分數高於OECD平均，以下則表示低於 OECD平均；垂直線則代表OECD會員國社經地位指數與數學得分相關性的因素解釋量(14.6%)，此解釋量即代表OECD會員國社經地位的強度指數 14.6，垂直線往右即表示學生得分受到社經地位影響的程度低於OECD平均(即公平性低於OECD平均)，垂直線往左則表示學生得分受到社經地位影響的 程度高於OECD平均(即公平性高於OECD平均)。影響程度若達顯著，則另以藍標和灰標呈現，前者代表顯著低於OECD平均，後者則代表顯著高於 OECD平均。

圖1  各國或經濟體數學得分與社經地位影響程度
(引自PISA 2012, vol.2, p27.)

由此可知，最理想的教育體系應該是得分高於OECD平均，但受到社經地位的影響程度顯著低於 OECD平均，也就是坐落在第一象限且以藍色標記的國家或經濟體。坐落在此區各國或經濟體，按照社經地位強度指數，由高至低依序是列支敦士登 (13.8)、澳大利亞(12.3)、南韓(10.1)、日本(9.8)、加拿大(9.4)、芬蘭(9.4)、愛沙尼亞(8.6)和澳門(2.6)，顯示 這些國家或經濟體的學生數學得分高，而且受到個人家庭背景和社經地位的影響程度也比其他各國或經濟體還低得多。

咱們臺灣呢?

由圖3可知，臺灣坐落在第二象限，表示學生的數學得分高於OECD平均，但社經地位的強度指數為17.9，影響程度顯著高於OECD平均，和強度指數達18.4的紐西蘭同樣為學生得分高於OECD平均，卻嚴重受到個人家庭背景和社經地位影響的國家或經濟體。顯見臺灣在指標2:"學生的數學成就被社經地位影響的程度是否比大多數的國家或經濟體還要強?"的檢核結果，也是嚴重不及格的。

總上所述的各項分析可知，在65個國家或經濟體中，臺灣的貧富差距相對較小(名列第47)，但貧富家庭學生的得分差距卻高達129分，高居世界第一；而且 不僅學生間的差距非常大，優弱勢學校間的分數差距更是大得驚人，高達156分，也是高居世界第一。除此之外，在數學平均分數高於OECD平均的國家和經濟 體中，臺灣學生分數受到社經地位影響的程度，除了稍低於紐西蘭外，也顯著高於其他國家和經濟體，強度指數高達17.9。

總此而觀，對於文章開頭所提問的第一個問題:臺灣有落實公平的教育嗎?

答案是:不僅沒有落實，而且還極端的不公平!

至於第二個問題:臺灣的教育體系成功嗎?

既然教育的公平性奇差無比，臺灣的教育體系還能算是成功嗎?


參考資料

[1]OECD.(2010). Overcoming Social Background: Equity in Learning Opportunities and Outcomes. (Vol.2), PISA, OECD Publishing.

[2]Finalnd Times. (2013/04/27). Efforts to ensure quality education underscored.

[3]The Guardian. (2013/12/08). The PISA 2012 scores show the failure of 'market based' education reform. (中譯版:PISA 2012證明市場本位的教育改革是失敗的)。

[4]The Newzealand Herald.(2013/12/05).Real issue is the gap, not rankings.(中譯版:真正的問題是差距，不是排名)。
 
[5]OECD.(2013). PISA 2012 Results: Excellence through Equity. Giving Every Student the Change to Succeed.(Vol.2), PISA, OECD Publishing.