戴上數學眼鏡看雍正王朝

Written By: 賴 以威

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2014/02/18

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• Shapley–Shubik
• 權力指數
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人類與生俱來的慾望清單裡，少不了「權力」這項。

Photo Credit：epSos.de

擁有權力，就能得到自己想要的任何事物。有些人為了權力甘願放棄一切，曹丕放棄了兄弟之情，逼曹植七步成詩。留下了「本是同根生，相煎何太急」的千古名言，道盡權力之下，一切都可被犧牲的感嘆。曹家兄弟兩個人的權力鬥爭就如此險惡，規模大一點的宮廷戲碼，動輒十幾位妃子的後宮，或十幾位阿哥的爭嗣，你來我往、合縱連橫，更是精彩萬分。從每隔幾年雍正就得被請出來一次，就可以看見這種權力鬥爭的劇情有多麼吸引人。坊間還會順勢推出許多《XX王朝教你的八十八件事》、《你沒看懂的XX傳》，進一步撈錢分析劇中人物的言行舉止，讓我們了解到許多看起來不起眼的動作，其實都牽扯到權力的操作、分配。

這樣的分析，請容許數學也參一腳。

※

假設今天皇阿瑪生日，五位阿哥決定合送一份禮物。要是這五位阿哥出的黃金都相同，每個人擁有一樣的決定權，唯有超過3人贊成，才能拍板定案要送啥。

但要是出資不同，每位阿哥說話的份量就不一樣了。

其中，四爺數學特別好，他想買一本流傳在夷洲的超有趣數學科普書，讓皇阿瑪喜歡上數學，關係可以更拉近一點。真是一位聰明的阿哥，應該要讓他當太子的。

因為這本書很稀有，又真的非常有趣，一時洛陽紙貴，定價高達100兩黃金，四爺為了達成目的，決定多出一些錢。

他巧妙地跟大家說：「我們湊個 100 兩黃金，我多出一點無所謂，36 兩。其他剩下來的餘額，各位兄弟就平攤吧。」

於是出資結果為 ($36,$16,$16,$16,$16)。

這步棋下的非常高明，完美有效地利用了金錢換取權力。再解釋清楚一點，在四爺出資 36 兩的情況下，他只需要拉攏任意一位盟友，就擁有了36+16=52 的過半票數，可以買任何想要的東西。但要是四爺稍微小氣點，數學差一點，只肯出到 32 兩黃金，在出資情形($32,$17,$17,$17,$17)時，四爺想買數學書還得尋求至少2位阿哥的同意 (四爺加任何1人也只有49票)，得超過 3 人才能夠通過表決，跟每人出 20 兩時的狀況相同。也就是說，四爺多出的12 兩都拿去打水瓢了，一點意義也沒有。要是其他三位阿哥決定拿這筆錢去買一個馬桶蓋，他也只能摸摸鼻子答應。

權力的關鍵不僅在於誰出多少，更重要的是，誰能影響過半。

※

比起擁有的票數多寡，有一種更精準的量化方式表示每位投票人的實質權力，稱之為「Shapley–Shubik 權力指數」：針對贊成與反對的投票，越容易左右結果的人，Shapley–Shubik 權力指數越高。

舉例來說，有四位投票者 A、B、C、D 分別握有 2 票、5 票、3 票、3 票。總票數為 13 票，7 票過半。如果今天 A 先投下贊成票，當 B 投下贊成票時票數會過半，B 就是所謂的「權力者」，只要權力者贊成，就能決定結果，喊水會結凍，就算 C 跟 D 要反對也來不及。

在此我們不考慮 C 跟 D 會霸占主席台的狀況，儘管這在台灣的宮廷戲碼中不會不常見。

另一種狀況，A 先投贊成票(2)，接著 C 投贊成票(2+3)，但依然不過半，所以沒人會在意 C，但下一位投票者一出場氛圍就不同了，因為只要他贊成，就過半，這人才是x權力者。

權力者不只由投票順序決定，和每個人手中握有的票數也有關。

權力指數的計算方式是，考慮所有依序投票的排列結果，好比有三位投票者A、B、C，即會有六種不同的順序，ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。再統計這麼多投票順序之中，每位投票者成為「權力者」的次數，除以總數，即是每個人的權力指數。

※

計算($32,$17,$17,$17,$17)跟($20,$20,$20,$20,$20)這兩種狀況的權力指數，結果都是(20%,20%,20%,20%,20%)，如同前面的討論，雖然四爺多出錢，但要決定一樣禮物時，還是得獲得3人以上的支持，5 個人的權力指數一模一樣，並沒有因為一個人多出錢而權力傾斜。

但在($36,$16,$16,$16,$16)時，我們列幾種順序：(紅色為權力者)

36→16→16→16→16

16→36→16→16→16

16→16→36→16→16

16→16→16→36→16

16→16→16→16→36

5 種順序面有 3 種順序，出 36 兩黃金的四爺都是權力者，因此他的權力高達 3/5=60 %。其餘4人平分剩下的 40 %，權力指數成了 (60%,10%,10%,10%,10%)。四爺擁有過半的絕對權力，想送哪一本數學科普書都沒問題。實際上的狀況也是如此，四爺只要找到一個人支持他就好，但如果其他人要反對他，一定得四位結盟才行。

※

透過權利指數，我們會發現不少「看起來的權力」與「實際上的權力」相差許多的狀況。例如，要是五位阿哥的出錢比例是($35,$28,$22,$14,$1)，出 14 兩黃金的人，剛好就是十四爺。但十四爺發現，自己明明出得也不算太少，想發表意見時，大家卻只會聳聳肩敷衍他，沒人認真聽，就連出最多跟他最好的四爺也不大理睬他。

「十四弟，你根本沒辦法影響決定啊，看看，這時候咱們的權力指數是( 37 %, 28 %, 28 %, 3 %, 3 %)，你跟那窮到只攢得出1 兩黃金的十九弟一樣沒用啊！」

十四爺忿忿不平，偏偏他阮囊羞澀無法加碼。好在他平常常跟四爺一起混，數學也不差。他掐指一算後，立刻慫恿出四爺再多出1兩，讓第三名的阿哥少出1兩。

僅僅是1兩的調整，調整後的權力指數頓時變成 (45 %, 20 %, 20 %, 12 %, 3 %)。四爺權力一口氣上升 8 %，四爺很滿意。但最大的受益者其實是十四爺，權力指數從 3 %暴增到12 %！

這背後的原因是，原本出最多錢的四爺得靠拉攏第二名、第三名才能過半，拉攏第四名的十四爺根本沒意義。但只要四爺一加碼，就算拉攏十四爺也能過半了。

讓自己變得被需要，不一定得提升自己的能力，也可以反過來，降低自己被需要的門檻。

也因此，權力遊戲中總是出現「聯合次要敵人，打擊主要敵人」的場景。

《戴上數學眼鏡看雍正王朝》，我們下周見。明天權力鬥爭的機率是70 %，出門請記得攜帶計算機。

初三數學五種錯誤如何逐個突破

　　不打題海戰，也不能不做題

　　不搞題海戰，可該做的習題還得踏踏實實地做。數學知識的載體就是習題，通過做題可以總結出一些解題方法，提高解題能力和效率。

　　臨近中考，一些成績中上等的學生較易走入另一個誤區：猛攻拔高題，忽略基礎題。複習時必須分一定的時間來鞏固基礎，在確保基礎萬無一失的前提下再談拔高。

　　看清五種錯誤，學會逐個突破

　　要注意收集做錯的題目，建議大家對最近做過的每套試卷進行分析、總結。題目做錯了不外乎五大原因：計算錯誤；審題錯誤；方法性錯誤；知識性錯誤；規範性問題。

　　對於計算錯誤、審題錯誤、規範性問題這三類非智力因素的錯誤，解決辦法就是靠自己去克服。值得提醒的是審題錯誤。讀題時要看準每一個條件，對條件進行整合，尋求解題方法。代數應用題可通過列表格幫助解答，幾何如果通過圖形語言來標識，就會更加直觀生動。方法性錯誤即做題方法選擇不當，知識性錯誤是知識掌握不到位，這兩類錯誤最好找老師尋求幫助，以免走彎路。

　　知道錯誤的原因，找到突破的方法，還不能到此為止，有必要找同類題目訓練，做到舉一反三。

　　1、瀏覽全卷，先易后難。這個道理人人都懂，卻不是人人做得到。有些優等生上來就攻難題，花大量的時間解出難題，前面的基礎題草草了事，反而丟了十幾分。大家一定要會算賬：同樣是6分的題，前面的選擇、填空可能花5分鐘就完成，後面的解答題要花40分鐘才能拿到。

　　2、認真審題，不走彎路。

　　3、掌握解題技巧，節約時間。選擇題和填空題最有可能「搶時間」。做選擇題要學會巧用排除法。填空題要擅用心算和速算，由於不需要過程，有些平時解答題不能用的結論可直接使用，比如兩個直角三角形共一條斜邊，可知其四點共圓。實在做不出來還可以憑直覺進行合理推理，就像英語語感一樣，題目做多了自然會有直覺。

　　4、正確定位，重點突破。考試時根據自己的實力，確定自己的拿分方向。能拿分的題目要確保一分不失；無從下手的題目一定要捨得放棄；有一定思路但把握不大的題要堅持攻下來。

　　5、規範到位，保質保量。解答題每個題都有得分點，要知道各類題的得分點在哪裡，哪些步驟必須寫，哪些可不寫，哪些可簡寫，不僅要注重結果，還要注重過程，這樣才能確保會做的題不丟分。

詳全文 初三數學五種錯誤如何逐個突破-生活消費新聞-新浪新聞中心 http://news.sina.com.tw/article/20141207/13581371.html

中考數學指導：做題需要分類討論 2014年12月19日11:14

中考數學指導：做題需要分類討論

2014年12月19日11:14  新浪教育 微博   我有話說 收藏本文    

　　分類討論在數學題中經常出現，也是滿分率比較低的一種題，同學們在做題的時候經常會犯錯誤，小題經常忘記分類討論，大題經常討論不全，討論全了結果 還不一定對。所以，這種題很容易不小心丟分。跟老師合學生們交流之後發現，就算是學習成績很好的同學在這種題上都會多多少少的出現問題，因此我們在考試當 中一定要養成以下幾個好習慣。

　　第一、我們要有分類討論的意識。很多知識點是分類討論的常客，對於這些知識點，同學們在考試時要保持高度的敏感，時刻緊繃分類討論的弦，以免掉進出題老師的陷阱。

　　第二、分類討論是要有一定原則，不要東一榔頭西一棒子的的試，要具備一定的條理。

　　分類的原則：

　　(1)分類中的每一部分是相互獨立的；

　　(2)一次分類按一個標準；

　　(3)分類討論應逐級有序進行。以探尋直角坐標系中等腰直角三角形存在的問題來說，如果給定兩個點A、B，需要在X軸上找第三個點C使得這個三 角形ABC是等腰直角三角形，這個時候同學們可以線段來分類討論：AB為斜邊時，AC為斜邊或時BC為斜邊時點C的座標。這樣討論保證不會丟掉任何一種可 能性，並且效率較高。當然也可以按照角來討論，但是注意不要兩種分類方法穿插進行。有些時候有可能會進行二次討論，這個時候對於同學們的條理性要求就更大 了，例如探討含有30°角的直角三角形時，要先討論那個角是直角，在討論哪個角是30°或60°。

　　第三、在列出所有需要討論的可能性之後，要仔細審查是否每種可能性都會存在，是否有需要舍去的，最常見的就是一元二次方程如果有兩個不等實根，那麼 我們就要看看是不是這兩個根都能保留。同樣有些時候也需要注意是否有些討論結果重複，需要進行合併。例如直角坐標系中求能夠成等腰三角形的點座標，如果按 照一定的原則分類討論後，有可能會出現同一個點上可以構成兩個等腰三角形的情況，這種情況下就要進行合併。也就是說找到的三角形的個數和點的個數是不一樣 的。

　　以下幾點是需要大家注意分類討論的

　　1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對稱性，根據圖形的特殊性質，找准討論物件，逐一解決。在探討等腰或直角三角形存在時，一定要按照一定的原則，不要遺漏，最後要綜合。

　　2、討論點的位置，一定要看清點所在的範圍，是在直線上，還是在射線或者線段上。

　　3、圖形的對應關係多涉及到三角形的全等或相似問題，對其中可能出現的有關角、邊的可能對應情況加以分類討論。

　　4、代數式變形中如果有絕對值、平方時，裡面的數開出來要注意正負號的取捨。

　　5、考查點的取值情況或範圍。這部分多是考查引數的取值範圍的分類，解題中應十分注意性質、定理的使用條件及範圍。

　　6、函數題目中如果說函數圖像與坐標軸有交點，那麼一定要討論這個交點是和哪一個坐標軸的哪一半軸的交點。

　　7、由動點問題引出的函數關係，當運動方式改變後(比如從一條線段移動到另一條線段)是，所寫的函數應該進行分段討論。

　　由於考試題目千變萬化，上面所列的專案不一定全面，所以還需要同學們在平時做題的時候多多積累。

　　最後希望同學們在做題的過程中養成不斷總結的好習慣，考試中避免出現技術性錯誤，在中考中取得最好的成績！

连续素数间隔可以有多大：陶哲轩等获突破 2014年12月24日09:23

连续素数间隔可以有多大：陶哲轩等获突破

2014年12月24日09:23   新浪科技 微博    我有话说(229人参与) 收藏本文     

　　1985年，保罗·爱多士(左)正与陶哲轩在讨论数学。2014年8月，陶哲轩和另外四位数学家证明了爱多士的猜想，成为76年来有关素数间隔问题的最重大突破。

素数间隔问题

加州大学洛杉矶分校的陶哲轩说，这是他有能力解决的第一个爱多士的有奖问题。

牛津大学的詹姆斯·梅纳德写了两篇新论文中的第二篇，证明了爱多士关于大素数间隔的猜想。

　　新浪科技讯 北京时间24日消息，据国外媒体报道，素数可以说是数论中最基础，也是最重要的概念，指的是一个大于2的正整数，除了1和它本身之外，不是任何数的倍数。2013年5月，新罕布什尔大学的数学家张益唐发表了一篇关于素数研究的标志性论文，第一次提出了有无穷对素数，之间存在着一定的间隔。他还证明了这个间隔是在7000万以内。论文发表之后，短短时间内就有许多数学家掌握了他的新方法，开始尝试改进这个常数。从7000万到6000万，再到4200万、1300万、500万、40万，到目前为止，这个常数已经降到了246，越来越接近孪生素数猜想的范围。如果这一常数改进到2，就相当于证明了孪生素数猜想。

　　到此为止，数学家们在反过来的一个问题——连续素数的间隔可以有多远？——上已经取得了76年来第一个重要进展。随着数字增长，相邻素数之间的平均间隔会趋于无穷，但在任一有限的数字列中，最大的素数间隔可以比平均间隔大很多。没有人能计算出这些间隔到底有多大。

　　“这是一个很显而易见的问题。在谈论到素数的时候，这是首先要问的问题之一，”蒙特利尔大学的数论学家安德鲁·格兰维尔(Andrew Granville)说，“但对问题答案的探索停滞了几乎80年时间。”

　　2014年8月，两个数学研究小组发表了文章，论述了如何证明保罗·爱多士关于素数间隔的猜想。两个团队已经联合起来，进一步深化素数间隔问题的研究结果，并预计于12月再发表一篇新的论文。

　　保罗·爱多士(Paul Erd?s)是20世纪成果最为丰硕的数学家之一，终其一生解决了数百个数学问题，并热衷于为数学问题的解决提供现金奖励。尽管大部分的奖励只有25美金，但爱多士“有点儿鲁莽地”(他自己后来写道)提供了一份1万美金的奖励，用于解决他提出的素数间隔猜想的证明问题。

　　爱多士的猜想基于苏格兰数学家罗伯特·亚历山大·兰金(Robert Alexander Rankin)在1938年提出的一个看似奇怪的边界。兰金称，对于足够大的数X，小于X的最大素数间隔至少为：

　　加州大学洛杉矶分校的陶哲轩说，在数论公式中会出现许多的“log”(自然对数的简写)。他与伊利诺伊大学香槟分校的凯文·福特(Kevin Ford)、牛津大学的本·格林(Ben Green)以及莫斯科斯捷洛夫数学研究所的谢尔盖(Sergei Konyagin)合作撰写了两篇新论文中的一篇。

　　不过，兰金的结果是“一个不可理喻的公式，你永远不可能自然地展示出来，”陶哲轩说，“所有人都认为这个公式很快就会得到改进，因为它太奇怪了。”然而，在超过七十年的时间里，依然没有人能对兰金的公式进行哪怕最微不足道的改进。

　　许多数学家认为，最大素数间隔很可能大得多——大于(log X)²的数量级。这一理论是由瑞典数学家哈拉尔德·克拉梅尔(Harald Cramér)在1936年首先提出来的。(log X)²数量级的素数间隔是在素数表现得像随机数的集合——在很多方面它们看起来的确如此——时会出现的。但是，没有人能接近证明克拉梅尔的猜想。陶哲轩说：“我们对素数的了解还不是很多。”

　　爱多士提出了一个更为温和的猜想：可以随意用一个大的数字取代兰金公式中的1/3，只要你在数字列表上取的数字足够大。这意味着素数间隔可以比兰金公式所呈现的大很多，但仍小于克拉梅尔的猜想。

　　新的两种证明爱多士猜想的方法都基于一个建立大素数间隔的简单方法。一个大的素数间隔相当于两个素数之间的一长列非素数(或称复合数)。这里介绍一个建立100个复合数列表的简单方法。先从数字2,3,4，…，101，开始，然后每个数加上101的阶乘(101!)。这列数字就变成101! + 2, 101! + 3, 101! + 4, … , 101! + 101。因为101!可以被从2到101的数字整除，因此这列数字的每个数都是复合数，即101! + 2可以被2整除，101! + 3可以被3整除，以此类推。“所有关于大的素数间隔的证明采用的方法，都只是这一高中代数方法的细微变形。”牛津大学的詹姆斯·梅纳德(James Maynard)说道。他撰写了两篇新论文中的第二篇。

　　上面所列的复合数是非常大的，因为101!具有160位。为了改进兰金的公式，数学家们需要建立更小一点的复合数列表——在类似2,3,4，…，101这样的列表上加上一个更小的数字，获得复合数列表是可能的。两个团队对有关素数间隔的最新研究结果(各自不同)进行了分析。梅纳德的论文采用了他自己去年开发的工具，研究了素数之间的较小间隔。

　　现在，上述的五位研究者已经联合起来，重新设定新的边界，并计划在一周或两周内发布一篇预印稿。陶哲轩认为，这篇论文利用现有的方法，将兰金的基础方法尽可能地进行了延伸。

　　这项新工作并不能立即投入应用，但了解大的素数间隔将最终影响加密算法的研究。梅纳德称，如果存在比克拉梅尔猜想所预测的更长的复合数列表，那将会给依赖于寻找大素数的加密算法带来麻烦。“如果他们很不走运，在一个巨大间隔的开端开始寻找，那这个算法就会耗费很长的运行时间。”

　　保罗·爱多士于1996年逝世，但另一位与他广泛合作的数学家，来自加州大学圣地亚哥分校的罗纳德·格雷厄姆(Ronald Graham)决定好好处理这1万美金的奖项。　　对于素数间隔，陶哲轩有着更加个人化的研究动机。“一段时间之后，你会感到这些东西在嘲笑你，”他说，“你被认为是研究素数的专家，但你回答不了这些基础的问题，即使人们已经对此思考了好几个世纪。”

　　1985年，10岁的神童陶哲轩在一次数学活动中遇到了爱多士。“他平等地对待我，”这位2006年赢得数学界最高荣誉菲尔兹奖的数学家回忆道，“和我谈论了非常严肃的数学问题。”现在，陶哲轩已经第一次有能力解决爱多士提供奖励的问题。“所以这其实挺酷的，”他说道。

　　格兰维尔说，近期有关素数间隔的研究进展已经催生出新一代的数论学家，他们认为一切都是可能的。“在我学习数学的成长时期，我们以为这些问题将是永恒的，不会看到有人能够回答，直到另一个时代的到来，”他说，“但我觉得，过去一两年中，人们的态度已经改变。有许多年轻人比过去的人更有野心，因为他们已经看到了实现重大突破的可能。”(任天)

文章关键词： 素数数学最大素数间隔陶哲轩

英國教師眼中的中國數學教育秘密 沙沫兒2014-12-20 10:00:12素質教育 基礎教育 閱讀(4773) 評論(35)分享到

　　英國教育部選派72名小學數學教師到上海考察學習

　　英國教師眼中的中國數學教育秘密

　　編者按

　　前不久，英國教育部選派72名小學數學教師到上海考察學習。起因是上海中學生在國際學生評估項目（PISA）中連續兩屆獲得數學、閱讀和科學第一，而且數學平均分（613）遠高於英國學生（496），優秀率也高於英國學生（55.4%∶11.8%），這樣的成績引起了發達國家和全世界的關注。在上海30所小學學習考察結束後，英國教師進行了專門的討論總結，上海師範大學原校長張民選將此次討論寫作成《英國教師眼中的中國數學教育秘密》一文，現全文刊登，以饗讀者。

　　2014年9月19日至10月4日，英國教育部通過“中英人文交流高層對話機制”選派了72名優秀小學數學教師，到上海師大和上海市30所小學進行學習考察。最後兩天，由英國領隊組織全體英國教師進行集中討論小結，上海師大專家作為觀察員列席了英國教師的小結會。在小結會上，英國教師們暢談了他們個人的學習感想，形成了共識。最後，英國教師歸納出認同度最高的上海數學教育六大優勢和“秘密”。

　　第一，“相信”與“期望”。英國70多名教師認同度最高、提到最多的詞是“相信”與“期望”。在英國教師的眼中，上海學生數學成績好的首要原因是，上海的老師普遍相信，每個孩子都能夠學好學校所教的基礎數學，上海老師和家長對每個孩子都寄予很高的期望。中國教師普遍認為，雖然並不是每個孩子都能成為數學家，但是數學是中小學生應該學習的最基本、最重要的基礎知識；每個孩子不僅都應該學好基礎性的數學，每個孩子也都有能力學好基礎數學。在這樣的教育理念的支配下，學校老師總感到有責任，總是想方設法面向全體學生教學；又用各種方式鼓勵、引導、説明和教育孩子，努力不讓任何一個學生掉隊。當然，這樣的成績也來自上海教育的均衡發展。對此，英國教師普遍認為，上海每個班級學生的數學程度很一致，差距很小。英國教師還反思說，也許英國太強調個性發展，結果個性發展成為放棄學生、允許學生不學數學的理由或者藉口。

　　第二，“上海教師專業性強”。英國教師強烈感受到，上海數學教師的專業性強。他們發現，首先，上海小學教師與英國教師一樣，基本都受過大學本科教育、具有學士學位，有的還有碩士學位；其次，大部分上海數學教師都受過專門的學科教育，即教數學課的老師，在大學裡都學過數學、數學教學法或者小學數學教育，所以他們知道教什麼和怎麼教；再其次，上海的小學數學教師大多專教數學課，以教數學課為主，另外可能再當班主任或承擔學校其他任務；最後，上海教師每週實際上課時間少於英國教師，也不用像英國教師那樣，既要“包班”、又“所有學科都教”，忙於應付。所以，上海教師能夠專注于數學教育，教師專業素養和能力也容易得到提升。不少英國教師坦言，他們的數學學科知識和數學教學水準不如上海教師。

　　第三，重視“在職進修”，強調“集體分享”。英國教師非常羡慕上海教師的在職教師進修機會，還有職業發展臺階，教學成就大，獲得發展和提升的機會多，同時他們感到上海教師的“集體分享”機會多、很有價值。許多英國教師對上海學校的教研組和備課組活動特別感興趣，上海老師們在教研組集體備課，討論問題，分享心得，研究課程，改進教法。他們在討論中，直截了當，坦誠交流，老師們又分享經驗，共同提高。英國教師發現，英國學校規模太小，每個教師又“包班”上課，同學科、同年級的教師難以組合，缺少分享學習機會。許多英國教師明確提出，回國後一定要與附近學校的同專業教師結成教研組，實現教學能力的共同提高。

　　第四，中國傳統數學教學方法和信念有價值。討論和小結過程中，許多英國教師對中國傳統的數學教學信念和靈活使用“老辦法”十分佩服。譬如，他們瞭解到，中國人相信“學會數理化，走遍天下都不怕”。中國小學生都會背誦“乘法口訣表”，計算特別快。中國老師教學生用“珠算”和“心算”，做算術經常用“豎式”，中國學生還用撲克牌玩“24點”，各種方法一起用於計算。不少英國教師承認，他們不會用這些辦法。英國教師很想請中國老師幫他們一起教，讓英國孩子也在“玩”中“學”。

　　第五，“小步前進”與“多變式”。英國教師發現，上海數學教師強調突出重點，又分小步教學，不斷為學生搭建學習和掌握數學知識和技能的階梯，幫助學生把一個大難題分為若干小問題，由易而難，一個臺階、一個臺階地學習前進。另外，為了幫助學生真正掌握數學知識，中國教師還非常注意用不同變式，讓學生從多側面和多形式的變化中真正掌握知識的內涵。課堂提問非常能夠體現上海老師們的這些“良苦用心”，他們善於用不同難度的題目對不同程度的學生發問，讓每個孩子都有成就感，並且真正掌握知識要點，又在提問過程中，把運用變式和小步前進的教學理念和特點充分體現出來。

　　第六，“政治優勢”。有一位英國教師在小結中特別提出，他們組還發現一個重要的秘密。這就是中國的“政治優勢”。她說，上海學習第一天，教授講課就提到教育規劃綱要。到學校後，他們在各個學校也都發現，幾乎每個學校都有3年、5年甚至10年的發展規劃，這樣老師們很清楚，現在應該做什麼，未來應該往什麼方向發展，目標和步驟都清楚，上海教師心裡有底。反觀英國，英國教育部的名稱反復改，兩黨競選、政府幾年一換，反復折騰，每屆都有新花樣。教育部長換得更勤快，“我們不喜歡的部長剛下臺，我們喜歡的副部長最近又成了環境大臣，學校教師真無所適從。”“我們常常還來不及準備，‘改變’就已經變掉了。”“這是中國最大的優勢，政治體制穩定、政策方向一致、難能可貴。”

　　這70多位英國教師雖然是英國政府100多年來首批派往中國學習的教育工作者，而且學習的時間也僅有半個月。但他們的確都是優秀教師、教育專家，在有限的觀察學習中，他們真實深刻地看出了上海數學教學、乃至中國基礎教育發展的不少特色和優勢。國際學生評估項目（PISA）兩輪測試的世界第一成績和英國教師們發現的中國“秘密”都清楚地告訴我們：我們無需妄自菲薄。我們完全可以自信地說，我們有獨特的中國經驗！我們要講好中國故事，我們可以讓世界分享中國經驗！當然，尺有所短、寸有所長，要建設中國特色、世界一流的教育，我們還任重道遠，需要創新，需要向世界各國學習，更需要不驕不躁、不懈奮鬥。（作者系上海師範大學原校長、上海師大國際與比較教育研究院院長、上海國際學生評估項目負責人、中英數學教師交流專案負責人 張民選）

數學的諾貝爾獎 作者／李武炎（任教於淡江大學數學系）

2014年12月2日

數學的諾貝爾獎

作者／李武炎（任教於淡江大學數學系）

每年十月陸續揭曉各項諾貝爾桂冠得主，這是科學界的一大盛事，《科學月刊》12月號更以專刊報導科學類獲獎人的事蹟及研究成果。數學與物理、化學及生醫同屬基礎科學，為什麼諾貝爾獎沒有數學的獎項？相傳諾貝爾不設立數學獎，是因為他要防止他所討厭的數學家米泰萊弗勒（Mittag-Leffler）得到獎項。米泰萊弗勒是19世紀末瑞典頗具聲名的數學家，聽說他奪走了諾貝爾的女朋友，引起諾貝爾不悅，所以諾貝爾故意不設數學獎。

其實這些都是無稽之談，因為諾貝爾生前與米泰萊弗勒並沒有太多交集，只有在諾貝爾晚年時米泰萊弗勒曾試圖說服諾貝爾，捐款資助瑞典斯德哥爾摩大學的研究工作，所以他們兩人之間的嫌隙只是人們茶餘飯後談論的話題而已，其實諾貝爾後來捐款設立的獎項不設數學的原因，可能是與其設立的宗旨有關。諾貝爾認為獎項是用於獎勵對人類具有重大貢獻的「發明或發現」，數學的研究是純理論的，對人類沒有很直接的利益，所以不符合諾貝爾設立獎項的初衷，加上當時已經有很有聲望的數學獎項，所以沒有必要在諾貝爾獎中再設數學獎。

菲爾茲獎

在數學界中，也有一個像諾貝爾獎那麼崇高的獎，那就是菲爾茲獎（Fields medals），菲爾茲獎正式名稱為國際傑出數學家獎（The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics），是加拿大數學家菲爾茲（J.C. Fields, 1863~1932）所創立，自1936年開始頒獎，二次大戰時中斷了十六年。1950年起每四年召開一次國際數學家會議，每次頒授二至四名有卓越貢獻而且年齡不超過40歲的數學家。菲爾茲獎被公認是年輕數學家最高的榮譽，獎金有15000元加幣，另頒一枚刻有阿基米德頭像的金質獎章。到目前為止，只有59位菲爾茲獎的得主，其中有六個東方人，日本的小平邦彥（1954年）、廣中平祐（1970年）、森重文（1990年）、越南的吳寶珠（2010 年）、伊朗的米爾札哈尼（2014 年）以及香港的丘成桐（1982 年）。

丘成桐生於廣東，長於香港，大學三年級前都是在香港受教育，他是第一位華人獲得菲爾茲獎。近年來他常遊走兩岸三地催生設立數學研究中心，也積極鼓吹培養華人數學人才。菲爾茲獎歷年的得主的國籍大多數是美、英、法、蘇俄等數學大國，這些國家也是世界的強國，由此可見，數學的發達與國力的強盛有很大的關係。因此世界上各國無不極力推動數學教育，因為這關係到國家科技的發展，只有臺灣教育當局反其道而行，近年來在數學課綱的變革中，一味想砍數學課程的上課時數，幸好有許多有識之士站出來反對，才急踩煞車，否則後果不堪設想。

菲爾茲獎歷屆的得主有許多在幼年求學時，數學的潛能就頭角崢嶸，很多人都是參加過國際奧林比克競賽的金牌選手，由於受到良好的栽培，後來都成為頂尖的數學家。值得一提的是，多位菲爾茲獎得主的指導教授也是菲爾茲獎的得主，真的是「名師出高徒」。臺灣每年也有學生參加奧林比克數學競賽，也有不錯的成績，期待臺灣未來也會有菲爾茲獎的得主。

拒絕菲爾茲獎的數學

在菲爾茲獎歷屆的得主只有一位拒絕接受，那是數學界的一名「怪咖」格利戈里．佩雷曼（Grigori Perelman）。佩雷曼出身蘇俄聖彼得堡大學，他的故事充滿傳奇，在2002年時他曾在一個網站arXiv上發表一篇文章，這是一系列文章的第一篇，這些文章似乎說明佩雷曼証明了「龐加萊猜想」。

龐加萊（Jules Henri Poincaré, 1854~1912）是法國的數學家，被公認是繼高斯（Gauss）之後對數學及其應用有全面認識的最後一人。他在1904年提出一個猜想，這是一個數學拓樸學的問題，大意是說，在一個封閉的三維空間，如果每條封閉的曲線都是收縮於一點，則這一個空間必定是一個圓球，這個猜想被稱為「龐加萊猜想」。

佩雷曼的文章就是與「龐加萊猜想」有關。arXiv是一個專門收集物理、數學、計算機與生物論文的網站，雖然有一套「認証」系統，但不像一般期刊有嚴謹的同儕審稿制度。他的文章發表後獲得數學界極大的回響，對解決「龐加萊猜想」，他所提的方案是有效可行的，佩雷曼因此被提名為2006年的菲爾茲獎得主，對一個從事數學研究工作的人，這是莫大的榮耀，但佩雷曼卻宣布不接受此獎，也是首位拒絕接受菲爾茲獎的數學家。他在1996年也曾拒絕過歐洲數學學會頒給他的「傑出數學家獎」。2010年他也被授予千禧年大獎，千禧年大獎是美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）於2000年公佈的七個數學難題的獎金，每題懸賞一百萬美金給破解的解答者，「龐加萊猜想」就是其中之一，可是他也沒有接受這個獎項。佩雷曼在2005年辭去數學研究所工作就隱居起來，靠著微薄的積蓄為生，也不與外界聯絡，最近聽說轉往瑞典在一間科技公司工作。佩雷曼這種不為名也不為利的作風雖然「特立獨行」，卻是典型數學家的風範，研究數學的人是因為熱愛數學而數學，而非追求名利才去學數學。

亞倍爾獎與邵逸夫

除了菲爾茲獎外，世上還有幾個專門為數學所設的獎，這裡再介紹兩個，它們的得主就沒有年齡的限制，而且獎金都是美金一百萬，與諾貝爾獎相近，其中一個是與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。阿貝爾（Niels Henri Abel, 1802~1829）是挪威的數學家，以証明五次方程式沒有根式的解而聞名，對近世代數的發展奠定不可磨滅的貢獻。他與法國的蓋羅瓦（Galois）被推崇為「抽象代數之父」，為了紀念他，代數群論中的交換環就叫做「阿貝爾群」，英文為abelian group，英文名詞中第一個字母 a 為小寫而不是大寫，表示這個專門名詞已經被普通化了，阿貝爾能擁有這種待遇，是因為要表彰他卓越的貢獻。挪威政府為了紀念阿貝爾二百周年誕辰，在2002年設立阿貝爾獎，2003年頒發第一次的獎，獲獎人是法國數學家讓．皮埃爾．塞爾（Jean-Pierre Serre），塞爾也是1954年的菲爾茲獎得主，他在數學上主要貢獻的領域是拓樸學、幾何學與數論，前幾年他曾到臺灣訪問講學，獲得臺灣數學界很大的迴響。

還有一個由香港的邵逸夫爵士於2002年所創立的「邵逸夫獎」，其中有一項也是專為數學所設的。首屆數學獎的得主為華人數學家陳省身（1911~2004），陳省身是國際著名的微分幾何專家，他也是菲爾茲獎得主丘成桐的恩師。第二屆的得主為安德魯．懷爾斯教授，懷爾斯在1995年正式發表「費馬最後定理」的証明，他已經42 歲，並不符菲爾茲獎的年齡規定，所以1998年的國際數學家大會中，特別頒發他給一個國際數學聯盟特別獎，以表彰他証明「費馬最後定理」的成就。