我的數學夢】再見了！九章俱樂部 2011 五月 11 Posted by MissZoe in 我的數學夢

【我的數學夢】再見了！九章俱樂部

2011 五月 11

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■ 你曾用過九章出版社的數學參考書嗎？在某個地方，正有人為了數學教育奉獻心力。這篇北投國小學生的投稿，寫下她對於九章數學俱樂部熄燈的紀念。

珮雅媽媽提供的照片：九章俱樂部分組討論一景。

撰文 ∣ 趙珮雅
　　兩年前，我在師大附中看到一個年紀大約五十歲的校工伯伯。他身穿背面印有「九章算數，勾股量天」的黑T恤，正在忙著搬東西，好像有些吃力。我直接叫道：「阿伯，請問你是九章基金會的人嗎？九章數學俱樂部的申請結果甚麼時候才要公佈？」他驚訝地抬起頭，似乎是因為不常被叫作「阿伯」…而這就是我對他的第一印象。
　　進了俱樂部，我才知道他就是九章數學俱樂部的講師孫文先老師。俱樂部裡的聽講方式和學校大不同，採用投影片說明。在剛上課初期，我覺得挫折感很 大，不像學校裡一樣的順利。上課時，先是發現我一個字也沒聽懂，再來就是發覺女生人數實在真的太少了，幾乎都是男生，要問問題不一定問得到。尤其是在孫老 師講到黃金比例和婓波納契數列的時候，只感覺自己很像笨蛋，什麼都聽不懂。孫老師上課時常常都 不會準時下課，因為他總是越講越起勁，越講越深入，臉上的笑容也越來越大。他最討厭看到我們呆呆的等著他告訴我們答案，他希望我們能夠和同學討論也要能在 聽講時發表自己的想法，不論是多可笑的看法都要嘗試說說看。我最喜歡的課程內容，是孫老師將九章出版社的玩具拿來當教材並證明這個玩具的解法數量以及證明 方法，內容就像是科展一般深入，但又很好玩。實在很難想像題目本身就只是一個益智玩具吧！這讓我對玩具的看法大為改觀，原來一個好的玩具不只是在長大後就 丟在一旁的玩意。
　　孫老師還有一個特點，就是不會強迫我們交作業，不過由於題目常常都很有挑戰性，所以我還是會嘗試去寫。後來，媽媽和其他同學的家長在聊天時，意 外讓我有機會和幾個同學一起討論，他們還成為我的小老師呢！之後漸漸的跟上了老師和同學們的腳步。在寫作業時，課本後面附有解答，但老師常常要求我們不要 照著後面的答案來寫，而是寫下自己的想法、思路，或是與眾不同的解法。如果這個解法不錯，而且這個題目也很少人會，老師就會提出這個題目，並把這個解法講 解給不會的同學聽，這可是很高的榮譽呢！
　　一年後，我很幸運的通過多次考試成為印尼教育部主辦國際小學數學及科學奧林匹亞的（IMSO）數學組台灣區代表選手。經過多次的徵選和培訓，又 讓我對孫老師有更深一層的看法。在多次的培訓中，只要當老師在全班都很安靜想不出題目的做法時叫出一些名字，這些人就會得到同學們的尊重，人緣也就會比較 好。漸漸的，老師對這些人的要求會比較高，罵得很兇。老師再三告誡我們出國門就是代表台灣，要遵守紀律外，更要有團隊精神，才是真正的數學人。我發現孫老 師特別討厭自私自利的行為，不參與討論，也不想教會同學的人，他不喜歡。就在討論和說明中，我漸漸了解數學解題好有趣，一點都不像補習班試上或學校內只有 講光抄，那麼無聊。孫老師從不會幫我們解題，只會告訴我們一點思索方向，再讓我們想破頭，就連做科展時也是一樣，不過他會一直關心我們，給我們壓力，譬如 問說「有沒有繼續做啊」、「有沒有什麼小結論可以向老師報告」之類的，並且找出其它發展的可能性。
　　待在九章數學俱樂部裡的這一年半多，對我來說是一個新的學習體驗和一種新的學習磨練方法。在我小五和小六之前，對甚麼科目都有興趣，這裡玩一 點，那裏玩一點，每個科目都不夠專精。但是自從遇見了孫老師後，我本來從不動腦的習慣變成是常常動腦，想要把題目整理出一些頭緒，再一點一點的解決掉，想 得越來越徹底，計算能力也漸漸變好。當我知道孫老師確定在我畢業的今年要將歷史悠久的數學俱樂部結束，我很難過，但我想孫老師更難過，因為聽媽媽說那是因 為小朋友花在補習的時間過多，都不太動腦想，只會等答案，讓老師教得很累很累，想休息。
　　我只聽過高斯等有名的數學家，不認識他們是誰。但是，在我心目中最偉大的數學教育家就是他——九章數學俱樂部創辦人孫文先老師！謝謝大家！
　　
作者簡介

趙珮雅，就讀北投國小6年13班。2009進入九章數學俱樂部。

紀念九章數學俱樂部將於2011/06劃下句點，就在我小學畢業的同年。在媽媽的鼓勵下寫下我參加九章數學俱樂部的感想。

【我的數學夢】當女孩遇上橋牌 2011 五月 5 Posted by MissZoe in 我的數學夢 | 4 Comments

【我的數學夢】當女孩遇上橋牌

2011 五月 5

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■ 追求夢想有很多方式，因為回應家人期許而無法進入數學系的女孩，從合約橋牌中開創了另一條屬於她的數學之路。

國際橋牌比賽，大家專心打橋牌。（出處：德文維基）

撰文 ∣ 蔡佩真
　　我喜歡數學，也喜歡挑戰。求學時期科展與解題是挑戰的來源，國小三年級時參加北市科展，討論「從幾類書選幾本、類別可否重複，至少要有多少人選 書，才保證有人拿到相同的組合」的各種情況，我負責列全部組合。爸爸教我用組合符號C(m,n) (從m本相異的書任取n本) 計算和確認，有沒有遺漏的組合。他買了高中排列組合的書，還請家教幫我「惡補」這些符號，幫助我打下了排列組合的基礎。排列組合可延伸到機率，而撲克牌又 與機率有關，機率是一種數學，因此喜歡數學的我，也愛上了玩撲克牌。
　　小六時參加數學奧林匹克新加坡邀請賽，同學休息時互相切磋撲克牌，玩撿紅點、抽烏龜等等。有人興奮到半夜睡不著，去算2的1000次方除以某大質數的餘數是多少，為了加快速度，同餘與費瑪小定理在十多位選手間掀起熱潮。這時有人推薦了《數學小魔女》這本書，數論與密碼學緊密結合，令我從此對密碼學產生興趣。
　　高中時就讀北一女數理資優班，有幸享受學校豐富的數學資源。選修專題研究時，我選擇了數學組，以台大數學系為第一志願。為了參加數學奧林匹亞競 賽，我高一就學完高三數學，高二學微積分、線性代數等大學數學，從定義、定理延伸，交織成數學的畫面，數學的美，令我更加堅定自己的志向。
　　然而，高中是我數學受挫最深的時刻。

屢受挫折
　　首先是高二參加北市科展失利，我以「由抽烏龜遊戲探討進一步的數學問題」為題，天天用撲克牌模擬雙人對決，畫流程圖，把數學專題教室當成了第二個家。玩撲克牌雖然開心，但最後只拿到入選獎，有些失望。
　　接著是競賽屢戰屢敗，就是打不進全國賽。高二時代表學校參加北市數學競賽，是唯一的高二成員，但因對高中數學不夠熟練，並未得獎。高三順利取得 代表權，並努力加強較弱的幾何，研究如何找出輔助線。北市賽出了幾何證明題，我用解析證法，算錯一個係數，整題失分，最後只拿到三等獎，只差這一題就可晉 級，那晚我傷心痛哭。
　　感謝數學老師們的安慰與勉勵，我重新出發，準備學測，以申請上台大數學系為目標。但我學測的自然科多錯了一題，沒有滿級分，導致申請時第一階段未通過。唯一的好消息是，學測結束後參加的亞太數學奧林匹亞選拔賽，獲選參加第一階段選訓營。
　　在選訓期間，我開始跟同學打合約橋牌，這是我接觸橋牌的起點。某次拿到一手好牌，黑桃Ace、King、Queen帶頭的七張，旁門也有很多 Ace和King，如果定義點力計算方式Ace = 4, King = 3, Queen = 2, Jack = 1，整套撲克牌有40點，而我手上就超過20點！當時叫牌只要吃到所喊出的磴數就是贏家，於是我開叫一黑桃，保證要吃七墩以上。其他人都不叫牌，由我主打 這個合約。我很快清光其他人手上王牌，繼續吃其他門的贏磴，吃到第九磴時，有人大喊：「你的牌這麼好，為什麼只叫一線？13張牌，你吃12磴都沒問題！」 有沒有方法可鼓勵拿好牌的人叫多一些呢？我心中立志，不論大學是否成功進了數學系，我都想加入橋藝社。
　　接著是一連串的打擊，選訓營沒進第二階段，學測申請錄取了並不想念的交大電物，最後決心放棄，全力拼指考。這段時日非常難熬，因必須花時間補強 較弱的科目，沒時間讀高中以外的數學使我很痛苦。為了滿足自己想做數學的欲望，我把物理當成數學在算。無心插柳柳成蔭，我竟對應用數學產生興趣，物理科進 步將近20分，是意想不到的結果。
　　然而我的考驗還沒完，指考完的科系選擇更令人煎熬。
折衷夢想
　　就如高三時所懷疑的，最後我並沒有進入數學系就讀。儘管指考分數達到台大數學系門檻，但父母希望我讀出路好的科系，尤其是醫學，和父母討論後，折衷選擇台大電機系。
　　進大學以後，我加入了橋藝社跟電機系系橋，挑戰更困難的橋牌技巧。

1948年的一則「口袋橋牌」廣告，訴求天涯若比鄰，可以跟遠處的人玩牌。

橋牌是機率的遊戲。橋牌的計分，鼓勵拿好牌的人叫到高線位，叫到並完成一定門檻以上合約，可得比一般低階合約更高的分數。有太多人誤以為打橋牌 只要完成合 約或擊垮敵方的合約就贏了，正確觀念是「橋牌要得到較多的分數才算獲勝」，相同的牌要傳到其他桌再打一次，有比較才有勝負。要叫到分數高，又有一定機率可 完成的合約，需計算期望值，即為應用數學。[1]
　　橋牌的合約分為三種：部分、成局、滿貫合約。部份合約是指線位低，保證要吃的墩數少，打成的獎分低者。成局合約是指三線無王、四線黑桃或紅心、 五線梅花或方塊以上的合約，保證要吃的墩數分別為九、十、十一墩以上，獎分比部份合約打到相同的線位高。滿貫合約是指六線和七線的所有合約，也就是最多一 墩沒吃到，獎分極高，較少出現。相對而言，可以得到較多分數，而且比較容易叫到和打到的是成局合約，所以如何叫到期望值為正的成局合約，是重要的課題。 （橋牌的計分較為複雜，除了合約計分，還分為有身價與無身價兩種，略有不同，為方便起見，在此全部以有身價時算分。）
　　假設成局合約的完成機率是x，0<x<1，以四黑桃為例：叫到且打到可得620分，叫到卻少吃一磴倒約會失去100分，如果只叫到 三線，打成三線有140分，打成四線有170分。列出該叫上四線的條件：620x-100(1-x) > 170x+140(1-x)，解出x > 34.78%，也就是說成約機率超過35%的成局合約值得叫上去，即使是2 / 5的機率也值得去嘗試，因為成局獎分夠甜美。
　　但是滿貫獎分不能輕易嘗試，我們也可以列出不等式來解釋原因，以六黑桃為例：叫到且打到可得1430分，叫到卻少吃一磴倒約會失去100分，如 果只叫到四線成局，打成五線有650分，打成六線有680分。不等式為：1430x-100(1-x) > 650 + 30x，解出x > 50%，因為四線的成局獎分已經很高，所以滿貫不可輕易嘗試，幾乎確定了才要去叫，叫到了幾乎都要打活。
　　合約打成的機率計算，例如有八張王牌，需要外面王牌一邊三張、一邊兩張，此機率為68%。如果除了前一條件，還需要方塊Q在左敵家手上，事件發 生機率為50%，整個合約打成的機率是68%*50%=34%。但有些時候可以增加機率，根據叫牌與打牌的過程，發掘更多關於敵方牌的資訊，例如做莊主打 三線無王合約，對面的牌攤下來，手上的梅花是Ace、Jack、一張小牌，桌上是King、Ten、一張小牌，其他花色總共可以也只能吃到六磴，這時只要 猜對梅花Queen的位置就可以吃到三磴梅花，完成合約。打其他花色時計算，左敵家共出了十張紅心和方塊，右敵家只出了四張，可以算出左敵家還有三張黑桃 和梅花，右敵家還有九張，所以梅花Queen的位置在左邊的機率是3/12=1/4，在右邊的機率3/4，比直接猜測的50%機率大。即使在右邊為3 /4，還是有1/4的機率猜錯。橋牌是機率的遊戲，並沒有哪邊是一定正確的選擇，只有機率比較大的選擇。長期下來，跟著期望值走才能拿到最多正分。
　　橋牌也是團隊的遊戲。在牌桌上，對面是同伴，兩旁是敵方；要和同伴合作，盡力取得最多的分數。在兩桌以上的橋牌比賽裡，則要盡力取得比其他桌同 方位者更多的分數，因為各桌同方位的牌張完全相同。不是只有拿好牌才能取勝，每副牌都有機會。和同伴有約定制度（例如開叫一黑桃要保證五張以上與 13-21個點），培養默契，成為重要的課題。（註）
　　在牌桌上宛如數學競賽，我在意成績，我想贏，想打得更好，不想犯錯，不想失分。當做出不合期望值的判斷導致失分時，除了面對同伴或學長的責備，也會感到自責。打橋牌很不開心，但也很開心。
承擔重任
　　大一只覺得打橋牌很有趣，升大二時意外被選為系橋隊長，才開始認真練牌，為了教學弟妹，我期許自己要有一定的實力。寒假時參加青少年國手選拔賽，不意外的墊底了，但我從此屢敗屢戰，積極參加國內各項橋牌比賽。
　　為了橋牌，必須練習基本功，主打、防禦、叫牌兼顧，一切技巧都是為期望值設計，有數學背景，較容易理解。平常要背叫牌制度、看橋牌的書、在網路上練牌，希望把所學的技巧應用在牌桌上，有時連做夢都會夢到牌局。中午找一家舒適的小吃店，邊吃飯邊看橋書，是一種享受。
　　橋牌的路跌跌撞撞，第一次在橋賽中晉級已經是升大四。在練牌的過程中學到很多，包含決賽的綜合測驗，可以看到自己的問題癥結，加以改進。今年寒 假，我再度挑戰青少年國手選拔賽。這次賽制的年齡限制改成20歲以下，應屆大二學生都可能超齡，我還能參賽實在幸運。這次我終於進入決賽與培訓，選上國 手。現在我的目標是參加今年六月的亞太杯打進前三名，取得世青賽代表權。我不會打牌，但仍然為了增加1%機率而備感驕傲；我不會叫牌，可是每叫到一個有機 會的好合約，仍會感到開心；我拼不出全貌，如果可能幫助同伴，還是十分興奮。
　　如今，我推甄上了台大電機研究所計算機科學組碩士班，打算研究密碼學與資訊安全，計畫未來攻讀博士。今後我還是會繼續打橋牌，享受挑戰。
　　自從開始學數學，我從未想過放棄它。橋牌展現了數學的本質，我的橋牌夢，就是我的數學夢。
　　
作者註釋

1. 合約橋牌初學講義：http://tw.myblog.yahoo.com/gentleman-bridge/article?mid=2581

作者簡介

投稿作者小照。

蔡佩真，目前就讀國立台灣大學電機系四年級。她的自述：「喜歡算數學和打橋牌，處理問題冷靜似冰，對有興趣的事物熱情如火，可謂之『冰火共存』。」
責任編輯：MissZoe

我的數學夢】尋找狐狸的足跡 2011 五月 3 Posted by MissZoe in 我的數學夢

【我的數學夢】尋找狐狸的足跡

2011 五月 3

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■ 「有些事現在不做，以後也不會做了！」這是一個法律系學生熱血前進數學的故事，在他眼中，法律與數學並沒有那麼的不同。
撰文 ∣ 戴佳原
　　國一時我一直不明白為什麼x+2=3會得到x=1，而不是x=x這個不言自明的答案。更不明白為什麼當我這樣回答，考試總是零分。我的疑惑，那 時沒有人能解答。直到有一次家政老師看我在算數學，她和許多人一樣，也不懂為什麼我不會那麼簡單的問題，但不一樣的是，她很大方地嘲笑我，而我哭了，但命 運很奇妙，我從此就會了。
　　後來，我讀了些數學哲學，知道人類從數覺（如一隻羊）到數（如抽象的1），從結繩到符號，必須經歷幾萬年的演化。才知道當時在我的生命中也經歷了演化，雖然只有幾個月，但已讓我如此強烈地意識到數學的存在。
　　高中，不知是否因為經歷某種佛洛依德式的不滿足，我變得擅長操弄符號，加上一點耐心，成為了解題能手。某次高二數學課，老師透過矩陣求解一般線性方程組，我看著黑板上的x，y和z，突然想起國中懵懂的自己，再想起現在卻能處理那麼多未知數，不禁激動難以自已。
　　人生許多選擇，探尋到最後，驀然回首，都是這些回憶碎片。

　　我曾申請台大數學系，但感謝神，我落榜了。原本父母希望我去念森林系，因為他們認為我是個太「條直」的孩子，比較適合去跟樹在一起。不過最後我 透過指考進入了台大法律系。不知為何，我對數學念念不忘，於是大二時申請了雙主修數學系，因此我常自嘲為「法數系」學生。有些法律系同學認為法律跟數學很 不「搭」，甚至認為既然都讀法律，就不再需要數學或科學。然而，我認為人類事務極其複雜多元，法學在知識面上不可避免地要與哲學、政治學、經濟學、社會 學，甚至自然科學「先衝突後整合」，才能妥善處理各種紛爭。這種體認不但是我選擇法律系的初衷，也促使我思考如何在近代學科專業分化的趨勢中，提醒自己保 持寬闊開放的學術心胸。為此，當時年輕狂妄的我，琅琅上口「法律數學本一家」，理所當然引起不少質疑。
　　為了證明自己是對的，我研讀一些「學術史」方面的書籍，了解數學（或數學哲學）在啟蒙時代後引起方法論的風潮，例如Bentham相信功利主 義，想建立「快樂的微積分」來分析如何極大化社會福利；美國憲法具有數學公理化演繹邏輯的風格；在自然法與純粹法學的概念中也可看到數學的影子。直到現 在，「非線性」、「蝴蝶吸子」、「混沌」和「拓樸」等數學術語也納入刑法學、哲學和歷史學關於因果關係的討論。當然，以上例子無法充分釐清「法律數學本一 家」中「本一家」一語所具備的歧義性，而學科術語跨界混用也值得省思，但一路走來，我始終相信，積極開放心胸會讓學術生命將更為豐富。
並不孤獨
　　讀過歷史上許多數學家的學思經歷之後，我發現兼具法律與數學訓練的人其實不少！例如笛卡兒（René Descartes）是法學博士，是律師；費馬（Pierre de Fermat）也是律師；萊布尼茲（Gottfried Leibniz）大學主修法學；惠更斯（Christiaan Huygens）大學主修法律與數學；魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）承父命在大學主修法律與財政，但為了數學，據說他寧可酗酒，向他父親抗議。他們出入於法律與數學之間，讓我知道自己並不孤獨。
　　但到底是什麼吸引我的這些「法數系」學長們如此熱愛數學，甚至奉獻一生？從真善美的角度，我認為，數學「公理化演繹邏輯」的方法論能產生其他學 科無法擁有的「確定性」。為此，數學思考近似接觸真理，數學證明則等同發現真理。另外，數學總散發著一種簡潔純粹的美感，例如我最喜歡的Euler公式： e^iπ + 1 = 0，一個簡單等式結合了加法、乘法和指數律等常見運算，以及Euler數e、虛數i、圓周率 、乘法單位元素1和加法單位元素0等宇宙中最重要的幾個常數。
　　然而，數學很美，數學也很難，抽象的符號系統是數學「冷峻」的一面，也是不少人「害怕」數學的源由。不過，只要回想幾世紀前的數學家們以藝術看 待數學，並認為數學能發現預測宇宙規律，榮耀創造萬物的上帝，或許「冷峻」就只是真理之門前的大理石雕像，要人們心懷敬虔而謙遜。至於善，數學在所不問， 所以數學「可能無益，但絕對無害」。拿著紙筆，讓心靈依循著直覺前進，透過邏輯一步步整理足跡，直至真理之門，多麼自由與和平！

奧斯陸的阿貝爾像。

雙主修數學系後，我得以比較中學數學與高等數學的異同。解題是數學的核心，中學數學著重計算，題意、條件與答案明確，只要看清一兩個「眉角」加 上些許耐心即可駕輕就熟。高等數學則著重證明，透過各種數學結構的細膩分析來「一網打盡」相關問題。例如為了處理極值問題，中學數學發展出算幾不等式及柯 西不等式，但只能處理一小類問題。微分學的極值檢定法，則幾乎能處理各種極值問題。不過事實上，不論在中學或大學，類推比較、以簡御繁及分類化約一直是我 們處理數學問題的基本思維，只是高等數學需要更細膩的觀察、更神妙的巧思以及更繁複的運算。以類推比較為例，Fourier級數中的Parseval等式 是中學畢式定理的類推，然而，類推的過程絕對是數學家們充滿挫折的奮鬥史。
　　為什麼高等數學需要更多奮鬥？原因在於「面對無窮」並「馴服無窮」是高等數學永恆的任務。以積分學為例，為了計算曲形面績（如橢圓面積），由於 線形。面積（如矩形面積）計算容易，透過以簡御繁的思維，我們會用數個線形面積的總和去「逼近」曲形面積，再論證當線形越來越多，則所有線形面積的總和會 「等於」曲形面積，而非逼近。以上論證的關鍵處是「無窮過程」，亦即「從有窮到無窮的飛躍」如何成立！數學史告訴我們，從古希臘時代就有「無窮的恐懼」， 而近現代，無窮級數的收斂性是分析學的基本問題，無窮的分類則豐富了拓樸學，許多由無窮產生的悖論一直是惱人而重要的數學問題，直到兩千多年後，本世紀六 〇年代的非標準分析學才真正馴服無窮。
我的數學思想史
　　猶記得那天早晨天氣晴朗，在新數101教室，林紹雄老師證明高等微積分的Heine-Borel定理。當證明寫完後，我感動到不可自禁地驚呼： 「人類怎麼想得出來！」而且，老師說數學界花了三十年才發現並證明這個定理。那時，我告訴自己，一定要發掘這三十年來數學家們探索的過程，因為人類挑戰了 看似不可能的事物。為此，我開始研讀數學史，先反思微積分學的發展，發現教科書的內容次序：「極限→連續→微分→積分」，竟然與數學史「積分→微分→連續 →極限」的發展背道而行！我意識到原來文章書籍的「邏輯理路」（the way of logic）與數學思考的「探索理路」（the way of discovery）可以如此不同。當然，邏輯理路直接明快，像食譜一樣，學習者一步步照做即可，但缺點是常常覺得「天外飛來一筆」。至於探索理路，葛兆 光先生的《中國思想史》給我不少指引，他認為在思想史研究中，展現知識積累與發展的「加法」固然重要，然而，找回思想被刪減隱沒的「減法」更有啟發。阿貝 爾（Niels Henrik Abel）曾形容高斯（Carl Friedrich Gauss）像一隻狡猾的狐狸，在沙漠上一面行走，一面用尾巴抹掉足跡，探索理路就是「重現」被抹去的足跡，這就是我的數學夢，我的「數學思想史」！
　　於是，我決定報考數學研究所，不少人關心我，提醒法律系出路較為寬廣。不過，或許受到影片《練習曲》中那句話的鼓舞：「有些事現在不做，以後也不會做了！」我相信，走上數學之路的決斷，我不會後悔。
　　就讀數學研究所那兩年，我不再擁有法律與數學的「雙重身份」，我必須完全獻身在「典範」中。我的碩士論文以生態學上的反應擴散方程為主題，她是 一份不錯的文獻回顧，因為我盡可能以探索理路的方式呈現，雖然我曾努力，想要發現屬於自己的命題與證明。在碩士階段，我深刻體會到「研讀數學」跟「研究數 學」是兩回事，以及研究數學思想史之前，必須先精通數學。
　　夢想之路上有時花朵繽紛，有時荊棘坎坷，但我的神，我的數學夢引領我，即使迷霧重重，我仍能大步前行。如今我在服兵役，退伍後即將去柏林自由大學參加數學博士班面試。未來充滿可能性，而我還年輕！
　　
作者簡介

戴佳原，台灣大學法律系法學組92級，台灣大學數學研究所畢。

他的自述：「去年新訓，常常得在嘉義的美麗夕照下，全副武裝持槍肅站重覆背頌國軍準則，而那時，我的心中是滿滿地渴望留學德國、鐵馬環球與當好爸爸。」

責任編輯：MissZoe

本文為CASE專題「我的數學夢」連載第三篇。

【我的數學夢】一張十元馬克 2011 四月 22 Posted by MissZoe in 我的數學夢 | 2 Comments

【我的數學夢】一張十元馬克

2011 四月 22

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■ 一張陳舊的十元德國馬克，正向你娓娓傾訴高斯的另一段傳奇；翻開鈔票背面，看見數學家的測量人生。本文為CASE專題「我的數學夢」連載第一篇。

目前已過時的德國貨幣，面額十元馬克。正面印著德國人的驕傲：數學家高斯。背後則另有玄機。

撰文 ∣ 張孟哲
　　如果要將自己的生平事蹟製成一張鈔票，你會希望它長得什麼樣子？也許，別人的觀點會和你自己的期待大不相同，至少對德國數學家高斯（Carl F. Gauss）來說正是如此。
　　在一九九一至二○○一年間流通於市面的德國舊貨幣十元馬克鈔票，它的正面印著高斯的肖像。肖像左側還印上了鐘形曲線，那是他在一八○九年出版的 數學著作中重要的成果之一；但印在背面的圖案，出乎意料之外的並非關於高斯自豪的正十七邊形作圖法、或是他一生中在眾多數學領域裡非凡的成就，而是一具與 大地測量有關的六分儀和三角測地成果圖。
　　高斯曾經實際領導測地工作達數年之久。這張十元馬克的印刷帶有淡淡的藍紫色基調，與一種來自纈草花的顏色很相近。這樣的設計也許不是任意的選擇，因為這種纈草紫與高斯為測地作業發明的儀器「回光儀（heliotrope）」，恰巧有著相同的名字。

　　

舊版十元馬克的背面，以纈草紫色調印著奇妙的機器。

　　或許出於熱愛純數學理論的天性，高斯本人對於這段經歷並沒有太高的評價。他曾經在給友人的信中寫道：「世上所有的測量工作，都比不上一個能讓永恆真理確實得以進展的理論。」但後世的一些製鈔者顯然不這麼想，他們甚至把高斯在測量學和數學方面的貢獻相提並論，放進了同一張鈔票的正反面。這不禁讓人開始好奇：到底高斯在測量的領域裡完成了哪些事情，使他的這重身份如此受到重視呢？
　　在十九世紀初期，大地測量是受到官方正式贊助的工作。一張準確的地圖在經濟及軍事方面的好處十分明顯，幾乎所有歐洲大陸上的主要國家都展開了各 自的測地計畫。一八一六年哥本哈根大學的教授舒馬克（H. Schumacher）開始了在丹麥王國的測地計畫，其中一項目標是整合南方的鄰近王國漢諾瓦（Hannover）原有的測地成果。作為高斯的好友，舒馬 克詢問高斯是否有興趣參與這項任務，而後者很快就答應了。自一八一八年開始的三十年裡，他在這個計畫上投注了大量的心力，幾乎排擠掉研究純數學和天文學的 時間。
　　高斯對測地學的興趣源自青年時代。他在一七九九年發表了第一篇測地學論文，當時僅有二十二歲。在一八○三至○五年間，他帶著自己的儀器參與了法 軍的小型測量任務，正好就在在他的出生地布倫瑞克（Brunswick）。決定參與測量計畫後，高斯向官方提出附有任務執行步驟及所需人員物資的說明書， 獲得了正面回應與派遣士兵的隨行，他本人則被任命為計畫領導者。然而，高斯低估了實務上的困難，這項任務意外地成為之後十數年間他的生活重心所在。
　　原有的目標只是連接兩個地區的測量網絡，但漢諾瓦地區當時的測量成果相當糟糕，一部份的測量基準點甚至早已無人知曉。任務目標很快演變為對漢諾 瓦地區的重新測量，之後更擴張到將不萊梅（Bremen）納入目標區域。高斯親自參與了計畫的起始階段，在夏天操作經緯儀進行現地作業。他必須選定適當的 三角測量點、指揮各組人馬前往架設儀器，並且不斷以信件連絡進行細部調整。冬天來臨時他得獨自整理測量所得的成果。在那個缺少先進計算機的時代，繁複龐雜 的計算工作必需以人力來完成，這是高斯後期的主要任務。整個計畫結束後，他估計自己處理了超過一百萬個數字的計算。
測量大地
　　大地測量實際的工作十分艱苦，有非常多的困難需要面對。比方說，不萊梅附近的區域幾乎是一片平坦，不利於測量工作中「基準點之間必須能夠通視」 的條件，因為平地上能夠阻擋視線的事物太多了。清除障礙物的工作是必要的，有時可能是一座穀倉、一小片樹林，而在最後一棵樹倒下前甚至無法確定三角形的兩 個點是否真的能夠彼此相連。任務期間的日子往往充滿焦慮，有好幾年的夏天高斯幾乎沒有在家中渡過、總是來回奔波於不同的村莊，和當地的農夫對砍掉幾棵樹的 補償討價還價。相較於一般數學家，高斯有著足以應付測地任務辛勞的體格。對他而言，或許夏天的悶熱、令人不適的交通和居住環境、與各方面的協調、經費的短 缺以及無止盡的計算工作，才是最難以忍受的部份。
　　當時的測量技術有個持續存在的瓶頸：距離太遠時難以標定遠方的目標物。解決方法之一是以夜間的提燈作為標示，但夜間測地是十分不便且累人的工 作，於是「如何在日光下設立出足以辨識的目標物？」就成了仍待妥善解決的難題。當高斯在一八二○年由呂內堡（Luneburg）對漢堡（Hamburg） 作測量的時候（兩地直線距離約五十公里），他發現一扇教堂屋頂的小圓窗恰巧向他反射出光芒，就產生了以平面鏡反射陽光作為目標的念頭。隔年，他設計並委託 工匠製出了世上第一具回光儀。
向陽轉動
　　回光儀的名字「Heliotrope」源於希臘文，意思是「隨著日光轉動」，和一些向陽性的花朵名稱有 著同樣的意含。回光儀主要一組平面鏡與望遠鏡組成。操作時，先用望遠鏡精確地對準另一個三角測量點的位置，再定時調整平面鏡反射的角度以跟上太陽移動的軌 跡。平面鏡尺寸的設計經過估算，實際反射出的日光從二十公里外觀測仍有一等星的亮度，足以作為合適的日間標定物。在這種儀器的輔助下，高斯得以測量較以前 更遠的距離，同時擁有更高的精度。很快地，回光儀成為當時大型測地計畫的標準配備。高斯對他發明的儀器有一段阿基米德式的評語：「把一百片面積1.5平方 公尺的平面鏡擺在一起，就足以用回光儀發送出清晰的信號光，直抵月球。」

一度無人問津的大作《算數研究》（Disquisitiones Arithmeticae）封面。

身為一位高明的數學家，高斯很自然地也使用數學方法處理實務上的問題。三角測量所使用的基本數學相當容易：從一段已知精確長度的基準線作為三角 形的底邊，在兩個端點測定與特定目標（作為頂點）的夾角，再使用三角函數求得另外兩邊長。重覆進行相同的操作，就能將整個目標區域納入以三角形為基本構造 的網格內。然而，該如何使用量測數據是個大問題，因為誤差是無法避免的。即使改善測量技術減少人為誤差，仍然無法消除因各種因素造成的隨機誤差，這使得對 相同目標物的測量會出現不同的數據，而恰當的數值為何則仍有待決定。
　　面對這個問題，高斯以數學上的「最小平方法」（method of least squares）來消除誤差的影響，這是他在計算穀神星（Ceres）軌道時發展出的方法。他假定了誤差會以鐘形曲線的形態出現，並且求出了最小化誤差量 平方總和的解。實際測量時，就能夠使用額外的量測數據來消除誤差。這部份的研究成果至今仍出現在工程領域的大學數學課本裡。即使擁有當時最先進的數學工 具，高斯的測地成果仍然不能彌補因為實際作業困難造成的偏差，使成果無法達到他所期望的精確程度。最終得到的三千多個三角測量點座標被描繪成漢諾瓦王國的地圖，但無法作為非常準確的參考之用。
　　值得一提的是，鐘形曲線的圖形正好又出現在十元馬克的正面。或許那群製鈔者真的把在漢諾瓦進行的測量計畫視為高斯一生中最重要的事件。
　　鑽研過數學的人都曉得高斯在數學歷史上的地位，但是在一般大眾的心中，他到底是什麼時候變得知名、受到普遍的尊崇呢？他的初試啼聲來自對於矮行 星的觀測，因為天文學研究在當時受到很大的注目，讓他成為擁有國際知名度的學者，卻也僅限於學術圈。在這之外，身為一位理論派的數學家，高斯發表的的成果 總是充滿了讓人望之卻步的數學式子，因為領先他的時代而很少受到理解。高斯在數論方面重要的著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）甚至因為經費短缺而被迫刪節出版。
　　也許正是大規模的測地作業提供了機會，它所牽扯到的現實考量、它帶來的實際效益，讓高斯本人的聲望跨出了狹小的數學與天文學圈子之外。在接下了 測地任務並有了顯著進展後，高斯被視為當時最傑出的測地人員之一，為之後的大地測量立下了新的標準，而這是個比天文學和純數學更有實際影響力的領域。這可 能就是那些製鈔者想要表達的事情：高斯在測量方面的成就讓他得以真正接觸同時代的人們，並且為社會貢獻出心力，而這張十元馬克鈔票正是榮耀他這一面的獎 章。
　　
作者簡介
本文作者為國立交通大學電控工程研究所碩士，目前是中華民國陸軍測量兵。
責任編輯：MissZoe

[新奇創意]

漲見識了！長這麼大現在才知道這些奇特的骰子...

1樓

從小到大，一直玩的都是那種只有6面的骰子，也從不知道有些骰子居然有100個面的，真是長見識了！各種奇特的骰子，一個面的兩個面都有...XDDDDDD 一面的骰子...（額！這個~~~） 兩面 三面 四面（居然是三角形的...） 五面 六面（最喜歡這個了，好有金屬的質感...） 七面 八面 九面 十面 十一面 十二面 十三面 十四面 十五面 十八面 二十面 三十面 五十面（這個該怎麼看啊？？？） 一百面

婚姻方程式

Photo Credit：Lel4nd

台灣一年約有13萬對新婚夫婦。
但根據統計，民國九十九年，全台有高達58,037對夫妻離婚，平均下來一天有159對夫妻簽下離婚協議書，一小時6.6對，十分鐘1.1對。這是 一組相當不浪漫的數字，對月下老人來說，綁了又解，解了又綁的，更造成嚴重的超時加班，導致迄今依然沒輪到我。有關單位必須正視這個問題，我建議將離婚定 為法定傳染病，宣布台灣為疫區。不過這得挺住婚宴飯店還有婚禮相關產業的抗議，畢竟他們是離了又結的唯一受益者。
每一對夫妻，都想尋找一組能分析婚姻的方程式。知名心理學家提出一道只有減法的解答：

The frequency of love-making minus the frequency of quarrels.

－Robyn Dawes

好像怪怪的。這種事情，還是請數學家來解釋比較可靠。
※
牛津大學數學教授James Murray花了好幾年，邀請數百對夫妻到研究室，針對生活中特定主題對談，例如金錢、政治、兩性。他在一旁記錄聊天過程，分析夫妻對話互動：是笑到掉眼淚、還是講沒兩下就在比賽誰的眼白比較多，翻到抽筋也在所不惜。
利用互動中透露的細節，James Murray量化出夫妻情感。
以下是各種反應的量化分數。加四分最佳反應有：愛意、幽默、認同、喜悅；表現出「有興趣」，加兩分；沒有零分的反應；扣一分的負面反應：生氣、不講理、哀傷、發牢騷；扣兩分：挑釁、防禦、拒絕聆聽；臉歪一邊表露出「令人作嘔」扣三分；最嚴重的是「鄙視」，扣四分。
從這樣的量化結果可以得到一個結論，許多人常說另一半幽默很重要，反映在量化上也的確如此。此外，你可以氣一個人、討厭一個人，但你還是有可能愛他。唯有鄙視一個人是最糟糕的，畢竟，你不大可能愛上一個你瞧不起的人。
利用量化結果，去分析夫妻對話時的分數變化，以對話時間為x軸，可以得到下面的圖

正面互動的夫妻情緒隨時間變化的例子

這是一對有著穩定婚姻的夫妻，好比布萊德彼特(Brad Pitt)與安潔莉娜裘莉(Angelina Jolie)，雙方互動有如剛發布iphone的Apple股票指數節節上升感情。若夫妻關係很差，分數將隨著時間不斷下跌。可以預見，最終將走上布萊德 彼特與珍妮佛安妮斯頓(Jennifer Aniston)的離婚結局。

負面互動的夫妻情緒隨時間變化的例子

※

同樣一筆資料，要是將丈夫與妻子的分數分別當成x軸與y軸，可以得到下面的結果

夫妻互動示意圖(丈夫情緒x軸，妻子情緒y軸)

第一象限表示雙方都有好心情，第三象限是雙方都不開心，第二與第四象限則是各有一方開心，一方不悅。在這個例子裡，起始的黃點在第一象限，約莫是出 門撿到十元的小確幸程度。接著依據向左走、向右走會出現兩種收斂狀況：往右，互動越來越好，開心過了頭，最後收斂回起始點右上方的星號，表示經過這次對 話，雙方都更開心了。但也可能往左，丈夫先不開心，妻子看到丈夫「結屎臉」，好心情受到影響，也皺起眉頭，之後兩人大吵，把該摔的東西摔一摔，稍微冷靜 後，收斂在左下角的星號，落在雙方都心情不好的第三象限。

※
James Murray進一步用遞迴數列模擬情感變化：
W_t+1=a +r₁W_t+I_HW(H_t)
H_t+1=b +r₂H_t+I_WH(W_t)
t是時間。H_t和W_t是丈夫和妻子在時間t的情感數值。(a,b)是妻子與丈夫的情緒起始值。(r₁,r₂)是前一刻情緒累積到這一刻的係數，越高表示越容易記得另一半對他的好，也越容易記得以前的不好。儘管，根據經驗，我認為念舊跟翻舊帳的係數應該有所不同。I_HW(H_t)是方程式，表示此刻妻子受到丈夫前一刻反應影響的「影響方程式」。I_WH(W_t)則是反過來妻子前一刻的反應，對此刻丈夫的影響。舉某位妻子的影響方程式為例，x軸是丈夫的情緒變化，y軸是妻子因此受到的情緒影響。

妻子受丈夫影響的情緒方程式例子

從這圖中，我們可以看見這位妻子的反應是：在一定範圍內，她的情緒隨著先生成正比。但超過一個範圍時，就會開始和先生唱反調。
相當符合經驗法則。
James Murray進一步將影響函式以二段式的線性逼近(piecewise linear)。繼續以上圖為例，當丈夫生氣時，線性逼近的線段斜率大於1，表示妻子會更激動，比丈夫更生氣；當丈夫開心時，線性逼近的線段斜率小於1，妻子比較沒那麼開心。

※
每一對夫妻，都有自己獨特的影響方程式。
有些夫妻在對方不爽時，會一點反應都沒有，有些則會放大對方的情緒。根據不同的影響方程式，James Murray將婚姻分成五種類型：
不穩定型(volatile)：浪漫、熱情，戲劇化。上一秒在客廳上演無差別格鬥，下一秒又在廚房激動地擁抱在一起。代表人物同樣請參考布萊德彼特與安潔莉娜裘莉合演的「史密斯夫婦(Mr. & Mrs. Smith)」。
理智型(validating)：冷靜、價值觀相當，細水長流。代表人物是經典大茂黑瓜廣告裡「老伴，明天吃素啊」的老夫老妻檔。
逃避型(avoiders)：感情好時什麼都願意分享，樂於表達自己的情緒。意見不合時盡量避免爭執，寧願躲到山上去找個樹洞大吼
「我老公是混蛋！！」
就算大吼時撞見另一半蹲在另一顆樹前，兩人也只會尷尬笑一笑說
「噢，你知道，我有個同事綽號叫老公…」
代表人物是瓊瑤小說裡的小媳婦。
這幾種類型的夫妻，儘管相處模式不同，但都有穩定的婚姻。
不穩定婚姻最主要的起因是夫妻個性不同。
敵意型(hostile)：妻子是不喜歡爭執的逃避型，但丈夫卻是理智型。每次都推推眼鏡，很理性地將妻子逼到牆角說
「妳如果有不滿，可以說出來，我們討論討論？」
「遇到問題不要逃避，逃避不能解決問題的。」
「我看得出來妳在不開心…」
明明是好心想溝通，但看在習慣逃避的妻子心裡卻滿不是滋味
肚子痛又不是放個屁就不痛了，好心忍著不放，有人卻不信邪，非得逼人放屁才甘願。
就算心裡這麼想，妻子還是說不出口。
分裂型(hostile detached)：妻子是熱情奔放的不穩定型，但丈夫是理智型。一直沒機會被推到牆上或餐桌，妻子覺得買那麼多塑膠碗盤真虧。好不容易灌醉丈夫，說服好他了，他卻先捲起袖子，收好餐桌上的碗盤，洗碗，烘碗，擦乾淨餐桌，最後遲疑了半秒說
「你確定餐桌不會垮嗎？」
可以確定的是妻子的臉一定垮了。
以上這些，是James Murray教授的婚姻方程式簡介。有興趣的話，不妨算算看你和另一半的影響方程式吧。

參考文獻
The Mathematics of Marriage: Dynamic Nonlinear Models(J. M. Gottman, J.D. Murray, Catherine C. Swanson, Rebecca Tyson, Kristin R. Swanson). MIT Press, Cambridge, MA, 2002.

About Author

賴 以威

任職中研院的EE PhD，曾於德國、香港、日本、美國外派研究。 喜歡將理工的訓練應用來觀察生活，推廣數學教育。受邀至多所大學、高中演講。 現為泛科學(PanSci)、均一教育平台、果殼網、聯合報《閱讀數學》、CAREhER 、有物報告 (yowureport)、今周刊專欄作家，著有散文集《再見，爸爸》。 最愛的名言是 ： "If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is." 個人臉書請點此處